11. Seja A, 3×3 e v, não nulo, tal que A*v = 0. Considere as afirmativas abaixo:
(I) Existe w, não nulo, tal que AT*w = 0
(II) Existem {v1, v2, v3}...

Question

11. Seja A, 3×3 e v, não nulo, tal que A*v = 0. Considere as afirmativas abaixo:
(I) Existe w, não nulo, tal que AT*w = 0
(II) Existem {v1, v2, v3} tal que {AT*v1, AT*v2, AT*v3} é um conjunto LI

a) I é falsa e II é verdadeira
b) I é verdadeira e II é falsa
c) Ambas são falsas
d) Ambas são verdadeiras
e) Não sei.

Ed · Answer

Vamos analisar as afirmativas:

(I) Existe w, não nulo, tal que AT*w = 0:
Se A*v = 0, então v está no núcleo de A. Isso implica que o núcleo de A não é trivial. Portanto, existe w não nulo tal que AT*w = 0. Logo, a afirmativa I é verdadeira.

(II) Existem {v1, v2, v3} tal que {AT*v1, AT*v2, AT*v3} é um conjunto LI:
Se A*v = 0, então v está no núcleo de A. Isso implica que o núcleo de A não é trivial. Portanto, não é possível encontrar um conjunto de vetores {v1, v2, v3} tal que {AT*v1, AT*v2, AT*v3} seja linearmente independente. Logo, a afirmativa II é falsa.

Portanto, a resposta correta é:
b) I é verdadeira e II é falsa

11. Seja A, 3×3 e v, não nulo, tal que Av = 0. Considere as afirmativas abaixo: (I) Existe w, não nulo, tal que ATw = 0 (II) Existem {v1, v2, v3}...

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