Questão resolvida - Dada a função: f(t)=t³+3t-2; Qual a taxa média de variação de f(t), em relação a t, no intervalo no intervalo 1t5? E qual a taxa instantânea de variação de f(t), em relação a t, em

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a função
 
 f t = t³ + 3t - 2( )
 
 a) Qual a taxa média de variação de , em relação a t, no intervalo no intervalo f t( )
? 1 ≤ t ≤ 5 
b) Qual a taxa instantânea de variação de f(t), em relação a t, em ? t = 1
 
Resolução:
 
a)
 
A taxa média de variação é dada por;
 
Taxa de variáção média =
f t - f t
t - t
( 1) ( 0)
1 0
 é o valor inicial do intervalo e é o valor final, vamos achar e t = 10 t = 51 f t = f 5( 1) ( )
;f t = f 1( 0) ( )
 
f 1 = 1 ³ + 3 ⋅ 1 - 2 = 1 + 3 - 2 = 2( ) ( )
 
f 5 = 5 ³ + 3 ⋅ 5 - 2 = 125 + 15 - 2 = 128( ) ( )
 
Substiruindo e resolvendo;
 
Taxa de variáção média = = = 31, 5
128 - 2
5 - 1
126
4
b)
 
A taxa instantânea de variação é dada por;
 
T = = f' tinstantânea lim
t→t0
f t - f t
t - t
( ) ( 0)
0
( 0)
Ou seja, a taxa instantânea de variação é igual a derivada da função no ponto, primeiro, 
vamos fazer usando o limite;
 
 
(Resposta - a))
 
T = =instantânea lim
t→1
t³ + 3t - 2 - 1 ³ + 3 ⋅ 1 - 2
t - 1
(( ) )
lim
t→1
t³ + 3t - 2 - 1 + 3 - 2
t - 1
( )
 
T = = = =instantânea lim
t→1
t³ + 3t - 2 - 1 + 3 - 2
t - 1
( )
lim
t→1
t³ + 3t - 2 - 2
t - 1
lim
t→1
t³ + 3t - 4
t - 1
1 ³ + 3 ⋅ 1 - 4
1 - 1
( )
 
= =
1 + 3 - 4
0
0
0
Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, mas isso mostra que 1 é raíz da equação 
do numerador e do denominador, assim, há um fator comum que pode ser simplificado. 
Devemos fatorar a equação do numerador, para isso, primeiro, dividimos o numerador pelo 
binômio ;t - 1 
 
Assim, a expressão do numerador fica: t - 1 ⋅ t + t + 4( ) 2
Com isso, o limite fica;
 
= = t + t + 4 = t + t + 4 = 1 + 1 + 4lim
t→1
t³ + 3t - 4
t - 1
lim
t→1
t - 1 ⋅ t + t + 4
t - 1
( ) 2
lim
t→1
2 lim
t→1
2 ( )2
 
= 1 + 1 + 4 = 6
Agora, usando derivada;
 
 f t = t³ + 3t - 2 f' t = 3t + 3( ) → ( ) 2
 
 T = f' 1 = 3 1 + 3 = 3 + 3 = 6 instantânea ( ) ( )
2
 
 
 
t³ + 3t - 4 t - 1
t + t + 42-t + t
3 2
0 + t + 3t - 42
-t + t2
0 + 4t - 4
-4t + 4
0 + 0
(Resposta - b).1)
(Resposta - b).2)