GAAL - Lista 9

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Lista 9 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
1)Mostre que cada uma das seguintes funções é uma transformação linear
de R2 em R2.
a) T ((x1, x2)) = (−x1, x2) b) T ((x1, x2)) = (x2, x1)
c) T ((x1, x2)) =
1
2(x1, x2).
2) Determine se as funções de R3 em R2 a seguir são transformações lineares.
a) T ((x1, x2, x3)) = (x2, x3) (sim) b) T ((x1, x2, x3)) = (0, 0) (sim)
c) T ((x1, x2, x3)) = (1 + x1, x2) (não) d) T ((x1, x2, x3)) = (x3, x1 + x2).
3) Determine se as funções de R2 em R3 a seguir são transformações lineares.
a) T ((x1, x2)) = (x1, x2, 1) (não) b) T ((x1, x2)) = (x1, x2, x1 +2x2) (sim)
c) T ((x1, x2)) = (x1, 0, 0) (sim) d) T ((x1, x2)) = (x1, x2, x
2
1 + x
2
2) (não)
4) Determine se as funções de M2×2 em M2×2 aseguir são lineares.
a) T (A) = 2A (sim) b) T (A) = AT (sim)
c) T (A) = A + I (não) d) T (A) = A−AT (sim)
5) Determine se as funções de P2 e P3 a seguir são transformações lineares.
a) T (p(x)) = xp(x) (sim) b) T (p(x)) = x2 + p(x) (não)
c) T (p(x)) = p(x) + xp(x) + x2p′(x) (sim)
6) Para cada f ∈ C[0, 1], defina T (f) = F , em que
F (x) =
∫ x
0
f(t)dt, 0 ≤ x ≤ 1
Mostre que T é uma transformação linear de C[0.1] em C[0, 1]. Depois,
encontre T (ex) e T (x2).
1
7) Determine se as funções de C[0, 1] em R a seguir são transformações
lineares.
a) T (f) = f(0) (sim) b) T (f) = |f(0)| (não)
c) T (f) = f(0)+f(1)2 (não) d) T (f) =
{∫ 1
0 [f(x)]
2dx
} 1
2
(sim)
8) Determine o núcleo e a imagem de cada umas das transformações
linearesde R3 em R3 a seguir.
a) T ((x1, x2, x3)) = (x3, x2, x1) (Ker(T ) = {0}, T (R3) = R3)
b) T ((x1, x2x3)) = (x1, x2, 0) (Ker(T ) = 〈{(0, 0, 1)}〉 , T (R3) = 〈{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}〉)
c) T ((x1, x2x3)) = (x1, x1, x1) (Ker(T ) = 〈{(0, 1, 0), (0, 0, 1)}〉 , T (R3) =
〈{(1, 1, 1)}〉)
9) determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares de
P3 em P3.
a) T (p(x)) = xp′(x) b) T (p(x)) = p(x)− p′(x).
c) T (p(x)) = p(0)x + p(1).
2