L5 - subespacos

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 5
Espaços Vetoriais - Parte 1
(Espaços Rn, Dependência Linear e Subespaços Vetoriais)
1. Em cada item abaixo, analise se o vetor u é combinação linear dos vetores v1 = (5,−3, 1),
v2 = (0, 4, 3) e v3 = (−10, 18, 7)?
a) u = (10,−2, 5) b) u = (10, 2, 8) c) u = (−2,−1, 1) d) u = (−1, 2, 3)
2. Para cada item, analise se o sistema linear AX = B possui solução, onde A =
 5 0 −10−3 4 18
1 3 7

a) B =
10−2
5
 b) B =
102
8
 c) B =
−2−1
1
 d) B =
−12
3

3. Os vetores v1 = (5,−3, 1) , v2 = (0, 4, 3) e v3 = (−10, 18, 7) são LD ou L.I.? Caso sejam LD,
escreva um deles como combinação linear dos outros.
4. Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é LD?
5. Considere v1 = (4, 2,−3), v2 = (2, 1,−2) e v3 = (−2,−1, 0).
a) v1, v2 e v3 formam um conjunto LI ou um conjunto LD?
b) v = (1, 1, 1) é combinação linear de v1, v2 e v3?
c) v = (2,−1, 1) é combinação linear de v1, v2 e v3?
d) v = (1, 2, 3) é combinação linear de v1, v2 e v3?
6. Determine se os conjuntos de vetores abaixo são LD ou LI. Justifique.
a) S = {(2, 0), (1, 0)}
b) S = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 2)}
7. Dê exemplos de:
a) Três vetores tais que {v1} LI, {v2, v3} LI, v2 e v3 não são múltiplos de v1 e {v1, v2, v3} LD.
b) Quatro vetores tais que {v1, v2} LI, {v3, v4} LI, v3 e v4 não são combinação linear de v1 e v2
e {v1, v2, v3, v4} LD.
8. Exiba três vetores u, v, w ∈ R3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro,
nenhuma das coordenadas é igual a zero e R3 não é gerado por eles.
9. Seja S o subespaço do R4 gerado pelo conjunto {(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)}.
a) O vetor (2, 1,−1, 2) pertence a S?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
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10. Prove que um plano é um subespaço vetorial de R3 se, e somente se, o plano passa pela origem.
11. Verifique se W é subespaço vetorial de Rn (n está indicado em cada item).
a) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0}
b) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0}
c) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x = 0}
d) n = 3, W = {(x, y) ∈ R2|y = 0}
e) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x1 + x3 = 1}
f) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = x1 + x2}
g) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = x1 ou x3 = x2}
h) n = 4, W = {(x, y, z, w) ∈ R4|x = 3y e z = −2w}
12. Considere os conjuntos W1 = {u ∈ R3;u = (0, 0, 0) + t(1, 2, 3), ∀t ∈ R} e W2 = {u ∈ R3;u =
(1, 1, 1) + t(1, 1, 1),∀t ∈ R}. O conjunto W = W1 + W2 é subespaço vetorial de R3? Interprete
o conjunto W geometricamente.
13. Seja S o subespaço de R3 gerado pelos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1,−1,−1). Ache números
a, b e c com a seguinte propriedade: um vetor w = (x, y, z) pertence a S se, e somente se,
ax+ by + cz = 0.
14. Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial R3.
a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (1, 0, 1)
b) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1) e v4 = (1, 2, 3)
c) v1 = (2, 1,−2), v2 = (3, 2,−2) e v3 = (2, 2, 0)
15. Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0̄.
a) A =
1 0 00 0 3
0 2 0

b) A =
1 0 2 00 1 0 5
0 0 0 0

c) A =
1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1

d) A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2

16. Considere os subespaços de R4, W1 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x + y = 0 e z − w = 0} e W2 =
{(x, y, z, w) ∈ R4 | x− y − z + w = 0} .
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 = R4? Justifique.
17. Considere a matriz
A =
0 0 11 0 −3
0 1 3
 .
Encontre os valores de λ tais que o sistema linear homogêneo (A− λIn)X = 0 tem solução não
trivial e, para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução.
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18. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique
porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) ( ) Se os vetores não nulos u, v e w são LD, então w é uma combinação linear de u e v.
b) ( ) Uma reta r é um subespaço vetorial de R3 se, e somente se, r passa pela origem.
c) ( ) O vetor (2, 6, 6) pertence ao espaço gerado pelos vetores (−1, 2, 3) e (3, 4, 2).
d) ( ) Se {u, v, w} é LI, então {u, v} também é LI.
e) ( ) Se {u, v, w} é LD, então {u, v} também é LD.
f) ( ) Se {u, v, w} é LI, então {u, v, w, z} também é LI.
g) ( ) Se {u, v, w} é LD, então {u, v, w, z} também é LD.
h) ( ) Sejam vi ∈ R5 vetores não nulos e não paralelos entre si. Então {v1, v2, v3, v4, v5, v6} é LI.
i) ( ) Sejam u, v ∈ R3. Então span{u, v} será um plano.
j) ( ) Dados π1 : 107x+ 53y−
√
75z = 0 e π2 : 3x+ 5y+ 37z = 0 temos que π1 ∩ π2 é subespaço
vetorial de R3.
Respostas
1a. Sim 1b. Sim 1c. Não 1d. Não
2. Dica: AX = B terá solução se e somente se B é C.L. das colunas de A (utilize ex. 1)
3. Sim. v3 = −2v1 + 3v3
4. λ = ±2
5a. LD 5b. Não 5c. Não 5d. Não
6a. LD 6b. LI
9. S = {(x, y, z,−2z)|x, y, z ∈ R}, (a) Sim, (b) Não.
10. Dica: escreva o plano como um subconjunto de R3: W = {(x, y, z) ∈ R3; ax+ by + cz + d = 0} e
mostre que as operações usuais de R3 só estarão bem definidas se d = 0.
11a. Não 11b. Não 11c. Sim 11d. Não 11e. Não 11f. Sim 11g. Não 11h. Sim
12. Sim pois é soma de subespaços vetoriais: W = W1 + W2 onde W1 e W2 são retas que passam
pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R3). Geometricamente, W será um plano.
13. Encontrar a equação geral do plano que passa pela origem e tem direção dos vetores u e v.
14a. Sim 14b. Sim 14c. Não
15a. (0, 0, 0) gera o espaço solução.
15b. (−2, 0, 1, 0) e (0,−5, 0, 1) geram o espaço solução.
15c. (−1,−1, 1, 0) gera o espaço solução.
15d. (1, 0, 0, 1) e (0, 2, 1, 0) geram o espaço solução.
16a. W1 ∩W2 = {(0, 0, z, z)|z ∈ R}.
16b. B = {(0, 0, 1, 1)}.
16c. W1 ∩W2 = {(0, 0, z, z)|z ∈ R}.
16d. Sim.
17. λ = 1, solução geral do SLH: {(α,−2α, α)|α ∈ R}, base B = {(1,−2, 1)}
18a. Falso. O que temos é que algum deles será combinação linear dos demais. Por exemplo
u = (1, 0, 0), v = (2, 0, 0) e w = (0, 1, 0) são LD, mas w não é CL de u e v.
18b. Verdadeiro (a prova é análoga a feita para a questão 10).
18c. Falso. O conjunto {(2, 6, 6), (−1, 2, 3), (3, 4, 2)} é LI (para provar isto, basta calcular o
determinante e verificar que é diferente de zero).
18d. Verdadeiro.
18e. Falso. Poderá ser LI ou LD.
18f. Falso. Poderá ser LI ou LD.
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18g. Verdadeiro.
18h. Falso. Qualquer subconjunto de R5 com mais de 5 vetores será LD.
18i. Falso. Só podemos garantir que será um plano se os vetores forem LI. Caso os vetores sejam
LD e não-nulos, representará uma reta. Caso ambos sejam nulos, representará apenas a origem (um
ponto).
18j. Verdadeira. Note que π1 e π2 são planos que passam pela origem, logo são subespaços vetoriais
de R3. Como Intersecção de subespaços vetoriais também é subespaço vetorial, segue a afirmação.
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