curso-154004-aula-17-v1

Prévia do material em texto

Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN
(Agente e Escrivão) Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 17
12 de Dezembro de 2020
03798206333 - Marcos Vinicios
 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 1 
55 
 
1.	 Equações e sistemas linerares .......................................................................................................................... 2	
1.1	 Solução de um sistema linear ............................................................................................................................. 3	
1.2	 Classificação dos sistemas lineaeres .................................................................................................................. 4	
1.3	 Sistema Linear Homogêneo ................................................................................................................................ 8	
1.4	 Matrizes de um sistema linear ........................................................................................................................... 9	
1.5	 Teorema de Cramer .......................................................................................................................................... 10	
2.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 15	
3.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 24	
4.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 25	
5.	 Considerações Finais ...................................................................................................................................... 55	
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 2 
55 
Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Sistemas Lineares? 
1. EQUAÇÕES E SISTEMAS LINERARES 
 
Equação linear nas incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, … é toda equação do tipo 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 +⋯ = 𝒌. 
 
Os números reais 𝒂, 𝒃, 𝒄, … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de 
coeficientes e o número real 𝒌 é o termo independente da equação. 
 
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a 
equação seja considerada linear. 
 
São equações lineares: 
 
2𝑥 + 3𝑦 = −5 
 
−4𝑥 + 6𝑦 + 7𝑧 = 0 
 
Não são equações lineares: 
 
2𝑥9 − 5𝑦: = 8 
 
√𝑥 + 6𝑦 = 0 
 
2𝑥 + 3𝑥𝑦 = 7 
 
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos 
termos da equação para que a equação seja classificada como equação linear. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 3 
55 
 
 
1.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Uma sentença do tipo 3𝑥 + 2𝑦 = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos 
determinar o seu valor lógico (verdadeiro ou falso) sem que sejam fornecidos os valores das 
incógnitas. 
 
Se alguém nos disser que 𝑥 = 2	𝑒	𝑦 = 3, então a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 tornar-se-á verdadeira 
porque 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se 𝑥 = 3	𝑒	𝑦 = 0, a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 será 
classificada como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12. 
 
Pois bem, já que 𝑥 = 2	𝑒	𝑦 = 3 torna a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 verdadeira, dizemos que a 
sequência (2,3) é uma solução da equação linear. 
 
Já definimos o que são equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? 
 
Sistema linear é um conjunto de equações lineares. 
 
Por exemplo: 
 
B2𝑥 + 5𝑦 = 9𝑥 − 3𝑦 = −1 
 
Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for 
solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. 
 
Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: 
 
F2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 92 − 3 ∙ 1 = −1 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 4 
55 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEAERES 
 
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (o 
sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que 
satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. 
 
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas 
uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas 
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 
 
 
 
Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não 
possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 29 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 5 
55 
 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 
 
3𝑥 + 𝑦 = 29 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) + 𝑦 = 29 
 
6𝑦 + 15 + 𝑦 = 29 
 
7𝑦 = 14 
 
𝑦 = 2 
 
Como 𝑥 = 2𝑦 + 5, então: 
 
𝑥 = 2 ∙ 2 + 5 = 9 
 
 
Portanto, o sistema admite apenas uma solução: 𝑥 = 9	𝑒	𝑦 = 2. O sistema é possível e 
determinado e o conjunto solução é 𝑆 = {(9,2)} 
 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 − 6𝑦 = 10 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 6 
55 
 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
3𝑥 − 6𝑦 = 10 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) − 6𝑦 = 10 
 
6𝑦 + 15 − 6𝑦 = 10 
 
0𝑦 = −5 
 
Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a −5. Mas sabemos que 
qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta 
forma, não existe um número 𝑦 tal que 0𝑦 = −5. 
 
O sistema é impossível e o conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 − 6𝑦 = 15 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
3𝑥 − 6𝑦 = 15 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) − 6𝑦 = 15 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 7 
55 
 
6𝑦 + 15 − 6𝑦 = 15 
 
6𝑦 − 6𝑦 = 15 − 15 
 
0𝑦 = 0 
 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real 
serve!! Pense em um número qualquer,digamos 𝑦 = 1. Neste caso, 0 ∙ 1 = 0. 
 
E já que 𝑥 = 2𝑦 + 5, então 
 
𝑥 = 2 ∙ 1 + 5 
 
𝑥 = 7 
 
Portanto 𝑥 = 7	𝑒	𝑦 = 1 é uma solução do sistema. 
 
Vamos colocar 𝑦 = 5. Já que 𝑥 = 2𝑦 + 5, então 
 
𝑥 = 2 ∙ 5 + 5 
 
𝑥 = 15 
 
Portanto, 𝑥 = 15	𝑒	𝑦 = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que 
quiser para a incógnita 𝑦, substituir o valor na equação 𝑥 = 2𝑦 + 5 e calcular o valor 
correspondente de 𝑥. 
 
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado. 
 
Fazendo 𝑦 = 𝑡, o valor correspondente de x será 𝑥 = 2𝑡 + 5. 
 
Assim, o conjunto solução possui infinitos elementos e é dado por: 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 8 
55 
𝑆 = {(𝑡, 2𝑡 + 5)} 
 
Em que 𝑡 ∈ ℝ. 
 
 
 
1.3 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO 
 
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de cada equação do sistema é 
igual a 0. 
 
Exemplos: 
 
B2𝑥 + 5𝑦 = 0𝑥 − 3𝑦 = 0 
 
N
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 6𝑦 + 8𝑧 = 0
 
 
 
 
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. 
 
Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução trivial. 
 
Se existirem, as outras soluções são chamadas de não-triviais. 
 
Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em 
determinado ou indeterminado. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 9 
55 
 
1.4 MATRIZES DE UM SISTEMA LINEAR 
 
 
Considere, por exemplo, o seguinte sistema linear. 
 
 
N
𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 + 𝑎P9𝑧 = 𝑘P
𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 + 𝑎:9𝑧 = 𝑘:
𝑎9P𝑥 + 𝑎9:𝑦 + 𝑎99𝑧 = 𝑘9
 
 
 
Esse sistema pode ser escrito na forma de um produto matricial. 
 
 
R
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
S ∙ T
𝑥
𝑦
𝑧
U = R
𝑘P
𝑘:
𝑘9
S 
 
 
A matriz R
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
S é chamada de matriz incompleta do sistema. É a matriz formada pelos 
coeficientes das incógnitas. 
 
 
Se acrescentarmos à matriz incompleta uma coluna com os termos independentes, teremos a 
matriz completa do sistema. 
 
 
V
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9 𝑘P
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9 𝑘:
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99 𝑘9
W → 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛	𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂	𝒅𝒐	𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 10 
55 
 
 
1.5 TEOREMA DE CRAMER 
 
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) 
provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na 
Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, 
deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, 
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). 
 
Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações. 
 
Neste caso, a matriz incompleta é uma matriz quadrada. 
 
Vamos nos restringir aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 
3 incógnitas. 
 
B𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 = 𝑘P𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 = 𝑘:
									N
𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 + 𝑎P9𝑧 = 𝑘P
𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 + 𝑎:9𝑧 = 𝑘:
𝑎9P𝑥 + 𝑎9:𝑦 + 𝑎99𝑧 = 𝑘9
 
 
Estamos considerando que as incógnitas são as letras 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
 
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes e 
com os termos independentes. 
 
Chamaremos de 𝐷 o determinante da matriz incompleta, formada pelos coeficientes das 
incógnitas. 
 
No caso do sistema de segunda ordem: 
 
𝐷 = d
𝑎PP 𝑎P:
𝑎:P 𝑎::d 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 11 
55 
 
 
No caso do sistema de terceira ordem: 
 
𝐷 = e
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
e 
 
Chamaremos de 𝐷f o determinante da matriz obtida da matriz incompleta, substituindo a coluna 
do 𝑥 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do 𝑥) pelos termos 
independentes (𝑘P, 𝑘:, …). 
 
Chamaremos de 𝐷g o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do 𝑦 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do 𝑦) pelos 
termos independentes (𝑘P, 𝑘:, …). 
 
Chamaremos de 𝐷h o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do 𝑧 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do 𝑦) pelos 
termos independentes (𝑘P, 𝑘:, …). É óbvio que 𝐷h só existe em sistemas de terceira ordem. 
 
No caso de sistemas de segunda ordem, temos: 
 
𝐷f = i
𝑘P 𝑎P:
𝑘: 𝑎::
i 		𝑒			𝐷g = i
𝑎PP 𝑘P
𝑎:P 𝑘:
i 
 
No caso de sistemas de terceira ordem, temos: 
 
𝐷f = e
𝑘P 𝑎P: 𝑎P9
𝑘: 𝑎:: 𝑎:9
𝑘9 𝑎9: 𝑎99
e 	 , 		𝐷g = e
𝑎PP 𝑘P 𝑎P9
𝑎:P 𝑘: 𝑎:9
𝑎9P 𝑘9 𝑎99
e 	𝑒			𝐷h = e
𝑎PP 𝑎P: 𝑘P
𝑎:P 𝑎:: 𝑘:
𝑎9P 𝑎9: 𝑘9
e	 
 
Vejamos alguns exemplos numéricos. 
 
Considere o sistema B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 29 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 12 
55 
 
 
Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: 
 
𝐷 é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
𝐷 = d1 −23 1 d = 1 ∙ 1 −
(−2) ∙ 3 = 1 + 6 
 
𝐷 = 7 
 
𝐷f é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do 𝑥 pelos 
termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do 𝑥) pelos termos 
independentes. 
 
𝐷f = d
5 −2
29 1 d = 5 ∙ 1 −
(−2) ∙ 29 = 5 + 58 
 
𝐷f = 63 
 
Analogamente, temos: 
 
𝐷g = d
1 5
3 29d = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15 
 
𝐷g = 14 
 
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de 
incógnitas e se 𝑫 ≠ 𝟎 o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e: 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 		 , 𝑦 =
𝐷g
𝐷 			,				… 
 
No nosso exemplo: 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 13 
55 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
63
7 = 9 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
14
7 = 2 
 
Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente. 
 
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao 
trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. 
 
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se 𝑫 ≠ 𝟎, então o sistema é possível e 
determinado. 
 
E o que acontece se 𝐷 = 0	? Há duas possibilidades. Se todos os outros determinantes associados 
ao sistema forem iguais a 0, ou seja, 
 
𝐷f = 𝐷g = ⋯ = 0 
 
então o sistema é possível e indeterminado, se houver pelo menos uma solução. 
 
Se pelo menos um dos outrosdeterminantes associados ao sistema for diferente de 0, então o 
sistema é impossível. 
 
 
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual 
ao de incógnitas, então ele pode ser: 
 
Possível e determinado, se 𝑫 ≠ 𝟎. 
Possível e indeterminado, se 𝑫 = 𝑫𝒙 = 𝑫𝒚 = ⋯ = 𝟎 
Impossível, se 𝐷 = 0 e existir algum 𝐷l ≠ 0. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 14 
55 
 
Lembre-se que estamos trabalhando apenas com casos em que o número de equações é igual ao 
número de incógnitas. 
 
 
 
E se o sistema for homogêneo? 
 
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. 
 
Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. 
 
Basta calcular o valor de 𝐷. 
 
O sistema é possível e determinado se 𝐷 ≠ 0. 
 
O sistema é possível e indeterminado se 𝐷 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 15 
55 
 
 
2. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
 
1. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. 
a) 𝑥: + 𝑦 = 6 
b) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10 
c) 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 − 2 
d) 3𝑥 + 2𝑦 = 7 
e) 4𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 
 
 
2. (ESAF 2016/ANAC) 
Dado o sistema de equações lineares 
B2𝑥 + 3𝑦 = 103𝑥 + 5𝑦 = 17 
a soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 3. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 16 
55 
 
 
 
3. (ESAF 2013/DNIT) 
A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações B𝑥 + 2𝑦 = 72𝑥 + 𝑦 = 5 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
 
 
 
4. (ESAF 2012/ATA-MF) 
 
 Dado o sistema de equações lineares 
 
N
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7
 
 
 
 
 
O valor de x + y + z é igual a 
 
a) 8 
b) 16 
c) 4 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 17 
55 
 
 
 
5. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
 
 No sistema linear 
 
m
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43
𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 39
𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 35
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 = 33
 
 
O valor de a é: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
6. (CETRO 2007/LIQUIGAS) 
 
 Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser: 
 
ax + 3y = 7 
x +2y = 1 
 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a ≠ 3/2. 
(D) a ≠ 5/2. 
(E) a ≠2/5. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 18 
55 
 
 
 
7. (ESAF 2004/Técnico MPU Administrativa) 
 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo 
menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. 
 
F𝑚𝑎 + 3𝑚𝑏 = 02𝑎 + 𝑚𝑏 = 4 
 
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar 
que 
 
 
 
 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
 
 
8. (ESAF 2008/TFC-CGU) 
 
Considerando o sistema de equações lineares 
 
B 𝑥P − 𝑥: = 22𝑥P + 𝑝𝑥: = 𝑞
 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 19 
55 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
 
9. (ESAF 2004/MPU) 
 
 
Com relação ao sistema F𝑎𝑥 − 𝑦 = 0𝑥 + 2𝑎 = 0 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
 
10. (ESAF 2001/CGU) 
 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo 
menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, 
𝑥 − 𝑦 = 2 e 2𝑥 + 𝑤𝑦 = 𝑧, pode-se afirmar que se 𝑤 = −2 e 𝑧 = 4, então o sistema é: 
 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 20 
55 
11. (ESAF 2009/AFRFB) 
 
Com relação ao sistema, 
 
u
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 =
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
Onde 3𝑧 + 2 ≠ 0 e 2𝑥 + 𝑦 ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
 
 
 
12. (ESAF 2012/AFRFB) 
 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑟𝑧 = 2
𝑟𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
 
 
Sabendo-se que o sistema tem solução única para 𝑟 ≠ 0 e 𝑟 ≠ 1, então o valor de x é igual a 
 
a) 2/r 
b) -2/r 
c) 1/r 
d) -1/r 
e) 2r 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 21 
55 
 
 
 
13. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Para que o sistema linear B5𝑥 − 6𝑦 = 1𝑎𝑥 + 4𝑦 = 𝑏 possua infinitas soluções, os valores de a e b devem ser 
tais que a/b valha 
 
a) -5 
b) -2 
c) 0 
d) 2 
e) 5 
 
 
 
14. (ESAF 2001/SEFAZ-PI) 
 
Se o sistema formado pelas equações 
 
B𝑝𝑦 + 𝑥 = 4𝑦 − 𝑥 = 𝑞 
 
tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática paraBNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 22 
55 
 
 
 
15. (ESAF 2013/STN) 
 
Dado o sistema de equações lineares 
 
B2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 + 6𝑦 = 9 
 
é correto afirmar que 
 
 
 
 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
 
 
16. (IDECAN 2014/AGU) 
 
O sistema apresentado nas incógnitas “x” e “y” e parâmetro “m”, 
 
B3𝑥 + 2𝑦 = 2									6𝑥 + 4𝑦 = 2 +𝑚 
 
 
a) não admite solução para 𝑚 = 2. 
b) admite solução única para 𝑚 ≠ 2. 
c) admite solução única para 𝑚 = 2. 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 23 
55 
d) admite infinitas soluções para 𝑚 ≠ 2. 
e) admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
 
 
17. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
 
O sistema de equações lineares B2𝑥 + 3𝑦 = 244𝑥 − 2𝑦 = 16 é equivalente ao sistema N
2𝑥 + 3𝑦 = 24
4𝑥 − 2𝑦 = 16
8𝑥 + 𝐾𝑦 = 80
, em que 
x e y são as incógnitas reais dos sistemas. Se 𝑆 = (𝑥 + 𝑦) e K é um parâmetro real, então: 
 
(A) S = 2,00K 
(B) S = 0,80K 
(C) S = 0,75K 
(D) S = 1,25K 
(E) S = 1,50K 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 24 
55 
 
 
3. GABARITOS 
 
 
 
01. A 
02. E 
03. B 
04. C 
05. E 
06. C 
07. E 
08. A 
09. A 
10. E 
11. C 
12. D 
13. E 
14. A 
15. E 
16. E 
17. D 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 25 
55 
 
4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. 
a) 𝑥: + 𝑦 = 6 
b) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10 
c) 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 − 2 
d) 3𝑥 + 2𝑦 = 7 
e) 4𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 
Resolução 
A única alternativa que não apresenta uma equação linear é a alternativa A, pois a equação 
apresenta um termo em 𝑥:. 
Gabarito: A 
 
2. (ESAF 2016/ANAC) 
Dado o sistema de equações lineares 
B2𝑥 + 3𝑦 = 103𝑥 + 5𝑦 = 17 
a soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 3. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 26 
55 
 
Resolução 
 
Podemos resolver este sistema utilizando o método da adição. No método da adição, queremos 
cancelar uma das incógnitas. 
 
Para tanto, podemos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda equação por -3. Assim, 
cancelaremos a incógnita y. 
 
B 10𝑥 + 15𝑦 = 50−9𝑥 − 15𝑦 = −51 
 
Somando as duas equações, obtemos x = -1. 
 
Vamos agora substituir x = -1 em qualquer equação, por exemplo, a primeira. 
 
(−2) + 3𝑦 = 10 
 
3𝑦 = 12 
 
𝑦 = 4 
 
A soma dos valores de x e y é -1+4 = 3. 
 
Gabarito: E 
 
3. (ESAF 2013/DNIT) 
A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações B𝑥 + 2𝑦 = 72𝑥 + 𝑦 = 5 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 27 
55 
 
Resolução 
 
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x e y e 
depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece quando 
somamos as duas equações membro a membro. 
 
B𝑥 + 2𝑦 = 72𝑥 + 𝑦 = 5 
 
𝑥 + 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑦 = 7 + 5 
 
3𝑥 + 3𝑦 = 12 
 
Agora dividindo os dois membros da equação por 3, temos: 
 
𝑥 + 𝑦 = 4 
 
E isso é justamente o que o problema pede: a soma dos valores x e y. 
 
Obviamente, se os números não fossem tão “simpáticos”, você deveria encontrar a solução do 
sistema primeiro. 
 
Gabarito: B 
 
4. (ESAF 2012/ATA-MF) 
 
 Dado o sistema de equações lineares 
 
N
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 28 
55 
 
 
O valor de x + y + z é igual a 
 
a) 8 
b) 16 
c) 4 
d) 12 
e) 14 
 
 
Resolução 
 
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x,y e z e 
depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece quando 
somamos as três equações membro a membro. 
 
N
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7
 
 
2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 3𝑦 − 𝑦 + 2𝑦 − 4𝑧 + 5𝑧 + 3𝑧 = 3 + 6 + 7 
 
4𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 16 
 
 
Dividindo os dois membros da equação, temos: 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
 
 
Gabarito: C 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 29 
55 
 
5. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
 
 No sistema linear 
 
m
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43
𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 39
𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 35
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 = 33
 
 
O valor de a é: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Resolução 
Observe o que ocorre ao somar as 4 equações: 
 
m
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43
𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 39
𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 35
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 = 33
 
 
(3𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎) + (𝑏 + 3𝑏 + 𝑏 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑐 + 3𝑐 + 𝑐) + (𝑑 + 𝑑 + 𝑑 + 3𝑑) = 150 
 
6𝑎 + 6𝑏 + 6𝑐 + 6𝑑 = 150 
 
Vamos dividir os dois membros da equação por 6. 
 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 25 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 30 
55 
 
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 25 − 𝑎 
 
Observe a primeira equação. Vamos substituir 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 por 25 − 𝑎. 
 
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43 
 
3𝑎 + 25 − 𝑎 = 43 
 
2𝑎 = 43 − 25 
 
2𝑎 = 18 
 
𝑎 = 9 
 
Gabarito: E 
 
6. (CETRO 2007/LIQUIGAS) 
 
 Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser: 
 
ax + 3y = 7 
x +2y = 1 
 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a ≠ 3/2. 
(D) a ≠ 5/2. 
(E) a ≠2/5. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 31 
55 
 
Resolução 
 
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos coeficientes das 
variáveis deve ser diferente de zero. 
 
𝐷 ≠ 0 
 
d𝑎 31 2d ≠ 0 
 
2 ∙ 𝑎 − 3 ∙ 1 ≠ 0 
 
2𝑎 ≠ 3 
 
𝑎 ≠
3
2 
 
 
Gabarito: C 
 
7. (ESAF 2004/Técnico MPU Administrativa) 
 
Um sistema de equaçõeslineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo 
menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. 
 
F𝑚𝑎 + 3𝑚𝑏 = 02𝑎 + 𝑚𝑏 = 4 
 
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar 
que 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
==15baa7==
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 32 
55 
 
 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
 
Resolução 
 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve 
ser diferente de 0. 
 
d𝑚 3𝑚2 𝑚 d ≠ 0 
 
𝑚: − 6𝑚 ≠ 0 
 
𝑚 ≠
−(−6) ± y(−6): − 4 ∙ 1 ∙ 0
2 ∙ 1 
 
𝑚 ≠
6 ± 6
2 
 
Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado. 
 
Gabarito: E 
 
Vamos terminar de discutir o sistema. 
 
Vamos supor que 𝐷 = 0, ou seja, 𝑚 = 6 ou 𝑚 = 0. 
 
𝑚 = 6 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 33 
55 
 
O sistema ficará assim: 
 
F6𝑎 + 18𝑏 = 02𝑎 + 6𝑏 = 4 
 
Neste caso: 
 
𝐷f = d
0 18
4 6 d = 0 ∙ 6 − 18 ∙ 4 = −72 ≠ 0 
 
𝐷f ≠ 0 
 
Se 𝒎 = 𝟔, então 𝑫 = 𝟎	𝒆	𝑫𝒙 ≠ 𝟎, portanto o sistema é impossível. 
 
𝑚 = 0 
 
O sistema ficará assim: 
 
F0𝑎 + 0𝑏 = 02𝑎 + 0𝑏 = 4 
 
Da segunda equação, tem-se: 
 
2𝑎 + 0𝑏 = 4 
 
2𝑎 + 0 = 4 
 
𝑎 = 2 
 
Vamos substituir este valor na segunda equação: 
 
2𝑎 + 0𝑏 = 4 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 34 
55 
 
 
2 ∙ 2 + 0𝑏 = 4 
 
4 + 0𝑏 = 4 
 
0𝑏 = 0 
 
Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer número multiplicado 
por 0 é igual a 0. Concluímos que se 𝑚 = 0, então 𝑎 = 2 e 𝑏 pode ser qualquer número real. 
 
Portanto, há infinitas soluções para o sistema e ele é possível e indeterminado. 
 
Gabarito: E 
 
8. (ESAF 2008/TFC-CGU) 
 
Considerando o sistema de equações lineares 
 
B 𝑥P − 𝑥: = 22𝑥P + 𝑝𝑥: = 𝑞
 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
Resolução 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 35 
55 
 
 
 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes das 
variáveis deve ser diferente de 0. 
 
i1 −12 𝑝 i ≠ 0 
 
1 ∙ 𝑝 − 2 ∙ (−1) ≠ 0 
 
𝑝 ≠ −2 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser igual a 0, ou seja, p=-
2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser igual a 0. 
 
i1 22 𝑞i = 0 
 
𝑞 − 4 = 0 
 
𝑞 = 4 
 
Assim, o sistema é possível e indeterminado se 𝑝 = −2 e 𝑞 = 4. 
 
Até agora não encontramos alternativas. 
 
Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, ou seja, 
𝑝 = −2; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, ou seja, q≠4. 
 
Gabarito: A 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 36 
55 
 
 
9. (ESAF 2004/MPU) 
 
 
Com relação ao sistema F𝑎𝑥 − 𝑦 = 0𝑥 + 2𝑎 = 0 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
Resolução 
 
Da segunda equação já concluímos que 𝑥 = −2𝑎. 
 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
 
𝑎𝑥 − 𝑦 = 0 
 
𝑎 ∙ (−2𝑎) − 𝑦 = 0 
 
−2𝑎: − 𝑦 = 0 
 
𝑦 = −2𝑎: 
 
Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores de 𝑎. 
 
 
Gabarito: A 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 37 
55 
 
10. (ESAF 2001/CGU) 
 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo 
menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, 
𝑥 − 𝑦 = 2 e 2𝑥 + 𝑤𝑦 = 𝑧, pode-se afirmar que se 𝑤 = −2 e 𝑧 = 4, então o sistema é: 
 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
 
Resolução 
 
A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir 𝑤 por −2 e 𝑧 por 4. 
Teremos o seguinte sistema: 
 
B 𝑥 − 𝑦 = 22𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
Vamos calcular os determinantes associados a este sistema. 
 
𝐷 = d1 −12 −2d = 1 ∙
(−2) − (−1) ∙ 2 = −2 + 2 = 0 
 
𝐷 = 0 
 
𝐷f = d
2 −1
4 −2d = 2 ∙
(−2) − (−1) ∙ 4 = −4 + 4 = 0 
 
𝐷f = 0 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 38 
55 
 
 
 
𝐷g = d
1 2
2 4d = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 2 = 4 − 4 = 0 
 
𝐷g = 0 
 
Como 𝐷 = 𝐷f = 𝐷g = 0, então os sistema é possível e indeterminado. 
 
Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema. 
 
Da primeira equação, concluímos que 𝑥 = 𝑦 + 2. Vamos substituir esta expressão na segunda 
equação. 
 
2𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
2 ∙ (𝑦 + 2) − 2𝑦 = 4 
 
2𝑦 + 4 − 2𝑦 = 4 
 
2𝑦 − 2𝑦 = 4 − 4 
 
0𝑦 = 0 
 
Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número 
multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite infinitas soluções sendo possível e 
indeterminado. 
 
 
Gabarito: E 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 39 
55 
 
11. (ESAF 2009/AFRFB) 
 
Com relação ao sistema, 
 
u
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 =
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
Onde 3𝑧 + 2 ≠ 0 e 2𝑥 + 𝑦 ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível.b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
 
Resolução 
 
Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. 
 
Para copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não basta copiar o enunciado e colocar 
algum trecho da solução nas alternativas. 
 
O enunciado do livro é o seguinte: Resolva o sistema pela regra de Cramer: 
 
 
u
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 =
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 
 
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 = 1 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑧 + 2 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 40 
55 
 
 
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 ⇔ 𝑧 + 1 = 2𝑥 + 𝑦 ⇔ −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1 
 
Temos o seguinte sistema: 
 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2
−2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
 
 
Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema: 
 
𝐷 = e
1 1 1
2 −1 −3
−2 −1 1
e
1 1
2 −1
−2 −1
 
 
𝐷 = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 2 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2) 
 
𝐷 = −1 + 6 − 2 − 2 − 3 − 2 
 
𝐷 = −4 
 
 
𝐷f = e
1 1 1
2 −1 −3
−1 −1 1
e
1 1
2 −1
−1 −1
 
 
𝐷f = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−1) 
 
𝐷f = −1 + 3 − 2 − 2 − 3 − 1 
 
𝐷f = −6 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 41 
55 
 
𝐷g = e
1 1 1
2 2 −3
−2 −1 1
e
1 1
2 2
−2 −1
 
 
𝐷g = 1 ∙ 2 ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−2) 
 
𝐷g = 2 + 6 − 2 − 2 − 3 + 4 
 
𝐷g = 5 
 
 
𝐷h = e
1 1 1
2 −1 2
−2 −1 −1
e
1 1
2 −1
−2 −1
 
 
𝐷h = 1 ∙ (−1) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2) 
 
𝐷h = 1 − 4 − 2 + 2 + 2 − 2 
 
𝐷h = −3 
 
A solução do sistema é dada por: 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
−6
−4 =
3
2 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
5
−4 = −
5
4 
 
𝑧 =
𝐷h
𝐷 =
−3
−4 =
3
4 
 
O sistema admite uma única solução e é possível e determinado. 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 42 
55 
 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
 
a) é impossível (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
 
b) é indeterminado (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
 
c) possui determinante igual a 4 (falso, pois nenhum dos determinantes associados ao sistema é 
igual a 4). 
 
d) possui apenas a solução trivial (falso, pois a solução trivial é o terno (0,0,0) que é solução dos 
sistemas lineares homogêneos). 
 
e) é homogêneo (falso, pois sistema linear homogêneo é aquele que tem todos os termos 
independentes iguais a 0). 
 
E agora? 
 
Bom, a ESAF considerou que a resposta correta é a letra C. Inclusive a questão não foi anulada. E 
por que isso aconteceu? 
 
Como comentamos no início da resolução, a ESAF copiou esta questão do livro Fundamentos de 
Matemática Elementar (volume 4, 6ª edição, página 138). 
 
No início da resolução nós colocamos assim: 
 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 
 
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 = 1 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑧 + 2 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2 
 
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 ⇔ 𝑧 + 1 = 2𝑥 + 𝑦 ⇔ −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 43 
55 
 
O problema que aconteceu foi o seguinte. Os autores do livro multiplicaram a segunda equação 
por (−1). 
 
Então, no lugar de colocar −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1, eles utilizaram 
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 
 
E o sistema obtido é o seguinte: 
 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
 
 
Desta forma, multiplicamos a terceira linha por (−1). 
 
Vimos na teoria dos determinantes que se multiplicamos uma fila qualquer por um número 𝑘, 
então o determinante da matriz será multiplicado por 𝑘. 
 
Como multiplicamos a terceira linha por (−1), todos os determinantes serão multiplicados por −1. 
Os determinantes associados a este novo sistema serão: 
 
𝐷 = 4 
 
𝐷f = 6 
 
𝐷g = −5 
 
𝐷h = 3 
 
A solução do sistema é dada por: 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
6
4 =
3
2 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 44 
55 
 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
−5
4 = −
5
4 
 
𝑧 =
𝐷h
𝐷 =
3
4 
 
 
Como pode ser visto, a solução do sistema é a mesma que a obtida anteriormente. Só que como 
multiplicamos a terceira linha por (−1), os sinais de todos os determinantes foram trocados. 
 
Neste caso, um dos determinantes é igual a 4. 
 
O problema é que a ESAF não soube nem copiar a questão do livro. 
 
Dependendo da maneira como o sistema é “arrumado”, o determinante da matriz dos coeficientes 
pode ser 4 ou −4. 
 
Não podemos afirmar com certeza que o determinante é igual a 4. 
 
A questão deveria ser ANULADA. 
 
Todos sabem que não adianta brigar com a banca na hora da prova. Deixe para brigar nos recursos. 
E é óbvio que você só brigará nos recursos SE errar a questão. 
 
Vamos analisar as alternativas novamente. 
 
a) é impossível à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que 𝐷 ≠ 0. 
 
b) é indeterminado. à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que 𝐷 ≠ 0. 
 
c) possui determinante igual a 4 (???) 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 45 
55 
 
d) possui apenas a solução trivial. à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que 
encontramos solução não - trivial. 
 
e) é homogêneo à esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que o sistema não é 
homogêneo. 
 
Montando o sistema linear, dá para ver que não é impossível, nem indeterminado, nem 
homogêneo, nem tem solução trivial. 
 
Sobre o determinante, a questão foi totalmente lacônica. Há inúmeras matrizes associadas, e 
diversas formas de montá-las. Em uma delas, realmente o determinante é 4. Então não custa nada 
chutar letra "c" e torcer pra dar certo. Depois, durante os recursos, aí sim dá para brigar com a 
questão. 
 
Gabarito oficial: Letra C 
 
12. (ESAF 2012/AFRFB) 
 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑟𝑧 = 2
𝑟𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
 
 
Sabendo-se que o sistema tem solução única para 𝑟 ≠ 0 e 𝑟 ≠ 1, então o valor de x é igual a 
 
a) 2/r 
b) -2/r 
c) 1/r 
d) -1/r 
e) 2r 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 46 
55 
 
Resolução 
 
Aplicação direta do teorema de Cramer.De acordo com Cramer, temos que 𝑥 = 𝐷f/𝐷. 
 
𝐷f = e
0 1 1
2 −1 𝑟
−1 2 1
e = −𝑟 + 1 
 
 
𝐷 = e
1 1 1
1 −1 𝑟
𝑟 2 1
e = 𝑟: − 𝑟 
 
E assim ficamos com: 
 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
−𝑟 + 1
𝑟: − 𝑟 =
−(𝑟 − 1)
𝑟(𝑟 − 1) = −
1
𝑟 
 
Gabarito: D 
 
13. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Para que o sistema linear B5𝑥 − 6𝑦 = 1𝑎𝑥 + 4𝑦 = 𝑏 possua infinitas soluções, os valores de a e b devem ser 
tais que a/b valha 
 
a) -5 
b) -2 
c) 0 
d) 2 
e) 5 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 47 
55 
 
Resolução 
 
O sistema que possui infinitas soluções é chamado de possível e indeterminado. Isto ocorre 
quando todos os determinantes associados ao sistema são nulos. 
 
𝐷 = d5 −6𝑎 4 d = 0 
 
5 ∙ 4 − (−6) ∙ 𝑎 = 0 
 
5 ∙ 4 + 6 ∙ 𝑎 = 0 
 
6 ∙ 𝑎 = −20 
 
𝑎 = −
10
3 
 
Vamos agora substituir a primeira coluna pelos termos independentes. 
 
𝐷f = d
1 −6
𝑏 4 d = 0 
 
1 ∙ 4 − (−6) ∙ 𝑏 = 0 
 
4 + 6𝑏 = 0 
 
6𝑏 = −4 
 
𝑏 = −
2
3 
 
O valor de a/b é: 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 48 
55 
 
𝑎
𝑏 =
−10/3
−2/3 =
10
3 ∙
3
2 = 5 
 
Gabarito: E 
 
14. (ESAF 2001/SEFAZ-PI) 
 
Se o sistema formado pelas equações 
 
B𝑝𝑦 + 𝑥 = 4𝑦 − 𝑥 = 𝑞 
 
tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
Resolução 
 
Para que o sistema tenha infinitas soluções, todos os determinantes associados ao sistema devem 
ser nulos. 
 
𝐷 = d𝑝 11 −1d = 0 
 
𝑝 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = 0 
 
−𝑝 − 1 = 0 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 49 
55 
 
 
𝑝 = −1 
 
𝐷g = i
4 1
𝑞 −1i = 0 
 
4 ∙ (−1) − 1 ∙ 𝑞 = 0 
 
−4 − 𝑞 = 0 
 
𝑞 = −4 
 
Vamos ainda calcular 𝐷f e confirmar que ele também é nulo. 
 
𝐷f = i
𝑝 4
1 𝑞i = d
−1 4
1 −4d = 4 − 4 = 0 
 
Assim, o produto pedido é 𝑝𝑞 = (−1)(−4) = 4. 
 
Gabarito: A 
 
15. (ESAF 2013/STN) 
 
Dado o sistema de equações lineares 
 
B2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 + 6𝑦 = 9 
 
é correto afirmar que 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 50 
55 
 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
 
Resolução 
 
Vamos calcular o determinante da matriz incompleta. 
 
𝐷 = d2 43 6d = 2 × 6 − 4 × 3 = 0 
 
Vamos calcular os outros determinantes associados ao sistema. 
 
𝐷f = d
6 4
9 6d = 6 × 6 − 4 × 9 = 0 
 
𝐷g = d
2 6
3 9d = 2 × 9 − 6 × 3 = 0 
 
Como todos os determinantes são nulos, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, possui 
infinitas soluções. 
 
Gabarito: E 
 
16. (IDECAN 2014/AGU) 
 
O sistema apresentado nas incógnitas “x” e “y” e parâmetro “m”, 
 
B3𝑥 + 2𝑦 = 2									6𝑥 + 4𝑦 = 2 +𝑚 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 51 
55 
 
a) não admite solução para 𝑚 = 2. 
b) admite solução única para 𝑚 ≠ 2. 
c) admite solução única para 𝑚 = 2. 
d) admite infinitas soluções para 𝑚 ≠ 2. 
e) admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
 
Resolução 
 
Comecemos calculando o determinante da matriz incompleta. 
 
𝐷 = d3 26 4d = 3 × 4 − 2 × 6 = 0 
 
Desta forma, o sistema só pode ser impossível ou possível e indeterminado. 
 
Isto quer dizer que ou o sistema não admite soluções ou admite infinitas soluções. 
 
Vamos discutir o sistema. 
 
i) Sistema Impossível 
 
Neste caso, vamos fazer 𝐷f ≠ 0. 
 
𝐷f = d
2 2
2 + 𝑚 4d ≠ 0 
 
2 ∙ 4 − 2 ∙ (2 + 𝑚) ≠ 0 
 
8 − 4 − 2𝑚 ≠ 0 
 
2𝑚 ≠ 4 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 52 
55 
 
𝑚 ≠ 2 
 
Assim, o sistema não admite solução para 𝑚 ≠ 2. 
 
ii) Sistema Possível e Indeterminado 
 
Neste caso, vamos fazer 𝐷f = 0. 
 
𝐷f = d
2 2
2 + 𝑚 4d = 0 
 
𝑚 ≠ 2 
 
 
Assim, o sistema admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
 
Gabarito: E 
 
17. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
 
O sistema de equações lineares B2𝑥 + 3𝑦 = 244𝑥 − 2𝑦 = 16 é equivalente ao sistema N
2𝑥 + 3𝑦 = 24
4𝑥 − 2𝑦 = 16
8𝑥 + 𝐾𝑦 = 80
, em que 
x e y são as incógnitas reais dos sistemas. Se 𝑆 = (𝑥 + 𝑦) e K é um parâmetro real, então: 
 
(A) S = 2,00K 
(B) S = 0,80K 
(C) S = 0,75K 
(D) S = 1,25K 
(E) S = 1,50K 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 53 
55 
 
Resolução 
 
Dois ou mais sistemas são equivalentes se eles possuem o mesmo conjunto solução. 
 
Vamos resolver o primeiro sistema. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por (-2) com 
o intuito de cancelar a incógnita “x”. 
 
B−4𝑥 − 6𝑦 = −484𝑥 − 2𝑦 = 16 
 
Vamos somar as duas equações. 
 
−6𝑦 − 2𝑦 = −48 + 16 
 
−8𝑦 = −32 
 
𝑦 = 4 
 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
 
2𝑥 + 3𝑦 = 24 
 
2𝑥 + 3 ∙ 4 = 24 
 
2𝑥 = 12 
 
𝑥 = 6 
 
𝑉 = {(6,4)} 
 
Para que os sistemas sejam equivalentes, o conjunto solução do segundo sistema também deve 
ser 𝑉 = {(6,4)}, ou seja, x = 6 e y = 4. 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 54 
55 
 
Vamos substituir estes valores na última equação do segundo sistema. 
 
8𝑥 + 𝐾𝑦 = 80 
 
8 ∙ 6 + 𝐾 ∙ 4 = 80 
 
4𝐾 = 32 
 
𝐾 = 8 
 
 
Observe que o enunciado definiu 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 = 6 + 4 = 10. Queremos saber a relação entre S e K. 
 
𝑆
𝐾 =
10
8 
 
𝑆
𝐾 = 1,25 
 
𝑆 = 1,25𝐾 
 
Gabarito: D 
 
 
Guilherme Neves
Aula 17
Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios
Prof. Guilherme Neves 
Aula 01 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
www.estrategiaconcursos.com.br 
 55 
55 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 17
RaciocínioLógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1424039
03798206333 - Marcos Vinicios