Resolução da Prova - Mecânica Geral

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1) Uma partícula oscila no eixo-x com aceleração definida 
por a=a(x) = -kx m/s², onde x é expresso em metros e k é 
uma constante. Sabendo que no instante inicial t=0, x0=0 
e v=4 m/s, e quando x= 0,2m v= 0 m/s 
A) Determine a constante k 
B) Expresse x(t) 
A) Vamos determinar a constante k! 
O problema nos da os dados de acordo com a velocidade 
em função da posição. 
Vamos integrar a(x) para obter v(x) 
𝑣𝑑𝑣 = −𝑘𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑣𝑑𝑣 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥
0,2
0
0
4
 
𝑣2
2
|
0
4
= −𝑘
𝑥2
2
|
0,2
0
 
02
2
−
42
2
= −𝑘
0,22
2
−
02
2
 
 −
16
2
= −𝑘
0,04
2
 − 𝑘 = −400 
𝑘 = 400 
 
 
B) Na questão b, ele pede x(t) 
Nossas equações estão em função da posição então 
vamos usar o conceito de derivada: 
𝑣(𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
𝑣(𝑥)
 
Quem é v(x)? 
𝑣𝑑𝑣 = −400𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑣𝑑𝑣 = −400 ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥
𝑥0=0
𝑣
𝑣0=4
 
𝑣2
2
−
42
2
= 400
𝑥2
2
 
𝑣2 = 42 + 20²𝑥2 
Da um ligs: 400 = 20²... beleza? 
Isso é só pra que a função fique 
parecida com o formulário concedido 
𝑣 = √42 + 20²𝑥2 
 
𝑣 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
𝑣
 
∫ 𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑥
√42 + 20²𝑥2
𝑥
𝑥0
𝑡
𝑡0=0
 
O formulário dessa integral marota aí foi fornecido 
𝑡 =
1
20
arcsen (
20𝑥
4
) 
20t = arcsen (
20𝑥
4
) 
20t = arcsen(5x) 
x =
sen(20t)
5
 
x = sen(4t) (?) Tenho duvidas se isso 
pode ser feito 
mas até o passo anterior está correto. 
 
Aeeeee piáááá, dois pontos 
garantidos na prova huhu, vetô! 
2) A figura abaixo é a representação 
gráfica da velocidade de uma 
partícula em função da posição. No 
trecho de 0 até 2 é governada por 
v(x)=x²/2, onde x está em metros e v 
em m/s 
 
 
 
A) represente o gráfico da aceleração 
em função da posição 
Ele quer a(x), aceleração em função da posição e foi 
fornecido v(x). Tem algo relacionado ao tempo? Olha lá 
que eu espero... 
Tem não, não é?! Logo usaremos vdv=adx 
𝑥2
2
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑥 
Show! Agora isola o a. 
𝑥2
2
∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑎 
O que é dv/dx? É a derivada de v na variável x 
Se eu te perguntasse qual a derivada (dx/dt) de x = t²/2 
tu dirias que é 2t/2 = t certo? Então a derivada (dv/dx) de 
v = x²/2 é x 
𝑥2
2
∗ 𝑥 = 𝑎 
𝑥3
2
= 𝑎 
O intervalo do gráfico é [0,2] 
13
2
= 0,5 Para x=1 a=0,5 
23
2
= 4 Para x=2 a=4 
No trecho [2,6] 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑥
 𝑎 =
0
6−2
= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma barra de comprimento fixo L movimenta-se sobre 
os planos inclinados onde o ponto A sobre com 
velocidade vA e o ponto B desce com velocidade vB. Se 
θ1=40° θ2=30/°, o ângulo que a barra faz com a 
horizontal é 10°, ΔrA=0,02m vA=4 m/s e aA = 2 m/s², 
calcule: 
A) ΔrB 
B) vB 
ΔrA e ΔrB São os deslocamentos dos pontos A e B sobre o 
plano inclinado. 
 
A) Usando a lei dos senos é possível determinar quem é 
∆rb 
𝛥𝑟𝑏
𝑠𝑒𝑛(30)
= 
0,02
𝑠𝑒𝑛(40)
 𝛥𝑟𝑏 = 0,01 
 
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7
A
C
EL
ER
A
Ç
Ã
O
POSIÇÃO
Aceleração (Posição)
B) Vamos definir o triangulo da velocidade: 
Ele forneceu os ângulos do primeiro triangulo, que são 
30° e 40° 
30+40 = 70 
180 (somatório dos ângulos do triangulo) – 70 = 110 
Então o ângulo entre VB e VA é 110 
Como a barra corta o ângulo 30° em 10° 
30-10 = 20 
180-110-20 = 50° 
 
 
 
 
 
Usando a lei dos senos é possível determinar quem é VB 
VA = 4 
50° é o ângulo oposto ao VA(4) 
VB = ? 
20° é o ângulo oposto a VB 
4
𝑠𝑒𝑛(50)
=
𝑉𝐵
𝑠𝑒𝑛(20)
 
𝑉𝐵 =
4
𝑠𝑒𝑛(50)
∗ 𝑠𝑒𝑛(20) 
𝑉𝐵 = 1,78 𝑚/𝑠 
 
 
4) Uma manivela AB de comprimento 0,350m, gira no 
sentido horário, em torno de um ponto fixo A, com 
velocidade angular constante 6 rad/s. Um braço BC, de 
comprimento 0,963m conecta o ponto B com um 
pistão P, em C, conforme mostra a figura ao lado. 
Sabendo que no instante considerado a manivela AB 
forma um ângulo de 30° com a horizontal 
 
 
calcule: 
A) A velocidade angular da barra BC 
B) A velocidade do pistão P 
Nessa questão, a resolução de a) depende de b) 
Então trataremos como uma única pergunta 
 
 
 
 
 
30° β 
A 
 
B 
 
C 
 
O primeiro passo é descobrir esse ângulo β 
Para isso vamos usar a lei dos senos 
0,963
𝑠𝑒𝑛(30)
=
0,350
 𝑠𝑒𝑛 (𝛽)
 
 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑠𝑒𝑛(30)
0,963
∗ 0,350 
𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0,1817 
 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,1817) 
𝛽 = 10,5° 
 
 
Feito isso, vamos descobrir a velocidade da barra AB 
𝑉 = 𝑊 ∗ 𝑅 
𝑉 = 6 ∗ 0,350 = 2,1 𝑚/𝑠 
 
A gente sabe que a soma dos ângulos de qualquer 
triangulo é igual a 180° 
 que a velocidade é perpendicular ao objeto rotativo 
 Logo, 180-30-90= 60 
 
 
60° 
 
 
Beleza, a gente analisou os ângulos em relação a barra 
Vamos olhar agora em relação ao objeto completo 
 
 
 
 
 
 
Se o ângulo é 60, logo, pra completar 180 falta 120 
 
 
 
 
 
 
 
Ahhhh Muleeeekee 
Show, Agora no segundo triangulo a gente só tem que 
descobrir as velocidades 
 
 
 
60° 10,5° 
 10,5° 10,5° 
 
 
 
 
 
 
Beleza, agora que a gente já analisou os ângulos do 
objeto todo 
Vamos analisar apenas o pistão 
 
 
 
 
 
 
λ = 90-10,5= 79,5 
Quando o pistão se desloca no eixo x, tu vês o ponto p 
discorrer a trajetória Vb/c 
Dando um Zoooooom 
 
 
 
 
 
 
 10,5° 
 10,5° 
 
Tá, mas e os ângulos? 
Os ângulos tu já conhece ow !! 
VB = 60° 
Vb/c = 90-10,5 = 79,5 
VC = 180-60-79,5 = 40,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a lei dos senos: 
2,1
𝑠𝑒𝑛(79,5)
=
𝑉𝐶
𝑠𝑒𝑛(40,5)
 
𝑉𝐶 =
2,1
𝑠𝑒𝑛(79,5)
∗ 𝑠𝑒𝑛(40,5) 
𝑉𝐶 = 1,39 𝑚/𝑠 
Achamos a velocidade do pistão, para achar a da barra 
é só usar a lei dos senos também 
𝑉𝑏/𝑐
𝑠𝑒𝑛(60)
=
1,39
𝑠𝑒𝑛(40,5)
 
𝑉𝑏/𝑐 =
1,39
𝑠𝑒𝑛(40,5)
∗ 𝑠𝑒𝑛(60) 
𝑉𝑏/𝑐 = 1,85 𝑚/𝑠 
O problema pede a velocidade 
angular (𝜔) 
𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟 
1,85 = 𝜔 ∗ 0,963 
𝜔 =
1,85
0,963
= 1,92 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
5) No instante mostrado na figura, a bicicleta tem 
velocidade 2 m/s (-->), enquanto a roda traseira de 
raio 0,65 m 
 
Calcule: 
A) A velocidade angular do pneu da bicicleta 
B) A velocidade de escorregamento, considerando que 
o pneu gira com velocidade angular 5 rad/s 
A) 𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟 
𝜔 =
𝑣
𝑟
 
𝜔 =
2
0,65
= 3,09 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
B) A velocidade de escorregamento é a velocidade 
num ponto menos a velocidade normal de movimento 
translacional 
Entenda: 
 𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟 
𝑣 = 5 ∗ 0,65 
𝑣 = 3,25𝑚/𝑠 
 
𝐸𝑠𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑣𝑝 − 𝑣𝑏 
Sendo Vp = velocidade num ponto 
Vb = velocidade da bike 
3,25 − 2 = 1,25 𝑚/𝑠 
 
 
BOA SORTE LEKS E LEKAS