Aula M9-03 - Volumes de sólidos de revolução - Método das Cascas Cilíndricas

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EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
Unidade 3 – Aplicações de Integração
Módulo M9 – Áreas e Volumes
Aula M9-03 – Volumes de sólidos de revolução:
Método das Cascas Cilíndricas
Método das Cascas Cilíndricas
Problema: Calcular o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada por e .
 Maximizar a função para encontrar em . 
 É difícil expressar e em função de . 
E agora?
Método das Arruelas
no intervalo 
2
Método das Cascas Cilíndricas
O Método das Cascas Cilíndricas resolve este problema!
Uma casca cilíndrica de raio interno , raio externo e altura possui volume expresso por:
 raio médio da casca
 espessura da casca
no intervalo 
3
Métodos das Cascas Cilíndricas
Considere o sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região limitada por , , e (). Como calcular seu volume?
Estratégia: Dividimos o intervalo em subintervalos de mesma largura e consideramos o ponto médio do i-ésimo subintervalo.
no intervalo 
4
Método das Cascas Cilíndricas
Estratégia (cont.): Se o retângulo com base e altura é rotacionado ao redor do eixo , então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio , altura e espessura .
Volume da casca cilíndrica:
no intervalo 
5
Método das Cascas Cilíndricas
Uma aproximação para o volume de é:
A aproximação torna-se exata quando .
Visualização 01
Visualização 02
Visualização 03
no intervalo 
6
Exercícios
Visualização e Cálculo
Visualização
Ex01: Calcular o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada por e .
Ex02: Escreva a integral que calcula o volume do toro obtido pela rotação de um círculo de raio unitário, com centro na origem, em torno da reta .
no intervalo 
7
Exercícios
Ex03: Defina como a região limitada acima pela curva e abaixo pelo eixo no intervalo . Determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação de em torno do eixo .
Ex04: Defina como a região limitada acima pela curva e abaixo pelo eixo no intervalo . Determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação de em torno da reta .
no intervalo 
8
Exercícios
Ex05: Seja a região abaixo da curva 
Calcule o volume dos sólidos gerados pela rotação de em torno dos eixos e .
no intervalo 
9
Exercícios
Calcule o volume dos sólidos gerados pela rotação de em torno dos eixos e .
Ex06: Seja a região delimitada pelas curvas e 
no intervalo 
10
EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
Unidade 3 – Aplicações de Integração
Módulo M9 – Áreas e Volumes
Aula M9-03 – Volumes de sólidos de revolução:
Método das Cascas Cilíndricas
Aula M9-03
Tarefa Complementar
Tarefa Complementar
TC01: Use o Método das Cascas Cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
	(a) , , , , 	(b) , , 
	(c) , , 	(d) , , , 
no intervalo 
13
Tarefa Complementar
TC02: Defina como a região limitada acima pelas curvas e no intervalo . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno do eixo .
TC03: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da área definida pelo curva e o eixo em torno da reta .
TC04: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da área definida pelo curva em em torno do eixo .
no intervalo 
14