Questão resolvida Dada a função f(x)=e^x_(x²-1), encontre todas as assíntotas de f(x) cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a função
 
 f x =( )
e
x² - 1
x
 
encontre todas as assíntotas de .f x( )
 
Resolução:
 
Assintota vertical
 
Devemos estudar os pontos onde o domínio da funão não está definido, neste caso, o 
denominador não pode zerar;
 
x² - 1 = 0 x² = 1 x = ± x = ±1→ → 1 →
 
Assim, os valores e , se os limites pela direita ou pela equerda de tender x = 1 x = -1 f x( )
para quando x tende a , esses valores representam assíntotas de ;±∞ ±1 f x( )
 
Vamos aproximar x de 1 pela direita, usando valores pouco acima de 1;
 
x = 1, 1 f 1, 1 = = 14, 31→ ( )
e
1, 1 ² - 1
1,1
( )
 
x = 1, 01 f 1, 01 = = 136, 70→ ( )
e
1, 01 ² - 1
1,01
( )
 
x = 1, 001 f 1, 01 = = 1359, 82→ ( )
e
1, 001 ² - 1
1,001
( )
 
Aproximando x de 1 pela direita; x tende ao infinito; → com isso, é = +∞lim
x→1+
e
x² - 1
x
x = 1
uma assíntota vertical.
Vamos fazer o mesmo procedimento para x tendendo a -1;
x = -1, 1 f -1, 1 = = 1, 58→ ( )
e
-1, 1 ² - 1
-1,1
( )
 
 
 
x = -1, 01 f -1, 01 = = 18, 12→ ( )
e
-1, 01 ² - 1
-1,01
( )
 
x = -1, 001 f -1, 01 = = 183, 66→ ( )
e
-1, 001 ² - 1
-1,001
( )
 
x = -1, 0001 f -1, 0001 = = 1839, 12→ ( )
e
-1, 0001 ² - 1
-1,0001
( )
 
Aproximando x de -1 pela direita; x tende ao infinito; → com isso, = +∞lim
x→-1+
e
x² - 1
x
 é uma assíntota vertical. x = -1
 
Assintota horizontal
 
 É preciso verificar o limite da função tendendo a ± , caso o valor do limite seja um ∞
número, teremos assintota horizontal;
 
 = = =lim
x→+∞
e
x² - 1
x e
+∞ ² - 1
∞
( )
+∞
+∞- 1
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, podemos, nesses caso, usar o teorema de L'Hopital;
+∞
+∞
 
 
 = = =lim
x→+∞
e
x² - 1
x
lim
x→+∞
e
2x
x e
2 ⋅ +∞
+∞
( )
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, podemos novamente usar o teorema de L'Hopital;
+∞
+∞
 
 = = = = +∞lim
x→+∞
e
2x
x
lim
x→+∞
e
2
x e
2
+∞ +∞
2
 
O limite de x tendendo a resultou em assíntota, vamos fazer x tender a ;+∞ -∞
 
 = = = = = 0lim
x→-∞
e
x² - 1
x e
-∞ ² - 1
-∞
( )
1
e +∞- 1+∞( )
1
+∞ ⋅ +∞( )
1
+∞
 
 
 
Assim, é uma assíntota horizontal.y = 0
 
Adicionalmente, podemos verificar isso no gráfico da função abaixo;