Noções introdutórias

Prévia do material em texto

Departamento de Engenharia Química e de Materiais - DEQM
Prof. Dr. Brunno Ferreira dos Santos
ENG1801 – Métodos numéricos para engenharia química
• Introdução;
• Programação e Softwares;
lamac.deqm.puc-rio.br
Introdução
Os Métodos Numéricos (MN) têm um papel estrutural, de carácter transversal na formação em
cursos de Engenharia. Os Métodos Numéricos procuram desenvolver processos de cálculo
(algoritmos), utilizando uma sequência finita de operações, de forma a que certos problemas
matemáticos se tornem exequíveis.
Estes algoritmos envolvem, em geral, um grande número de cálculos aritméticos. Não é pois de
estranhar que, nas últimas décadas, com o rápido crescimento das potencialidades dos
computadores digitais, o papel dos Métodos Numéricos na resolução de problemas de engenharia
tenha sofrido grande incremento.
Fundamentos - MN 
MN são técnicas matemáticas usadas na solução de problemas matemáticos que não podem ser
resolvidos ou que são difíceis de se resolver analiticamente, que não são incomuns na prática da
engenharia.
Embora existam muitos tipos de métodos numéricos, eles têm uma característica em comum:
invariavelmente envolvem grande número de cálculos aritméticos repetidos.
Fundamentos matemáticos
Durante o curso, será necessário fazer uso de conhecimentos matemáticos. Dessa forma, alguns
dos pontos a serem abordados são:
Raízes de Equações
Esses problemas dizem respeito ao valor de uma variável ou a um parâmetro que satisfaz uma
única equação não-linear. Eles são especialmente importantes no contexto de projetos de
engenharia, em que frequentemente é impossível resolver explicitamente as equações para os
parâmetros do projeto.
Resolva 𝑓 𝑥 = 0 determinando x
Fundamentos matemáticos
Sistemas de Equações Algébricas Lineares
Essas equações aparecem em uma grande variedade de contextos de problemas e em todas as
disciplinas da engenharia. Em particular, elas se originam na modelagem matemática de grandes
sistemas de elementos interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e redes de fluidos.
Equações algébricas lineares Dados os 
a’s e os c’s, resolva:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 = 𝑐1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 = 𝑐2
Para determinar os x’s
Fundamentos matemáticos
Otimização
Esses problemas envolvem a determinação de um valor ou valores de uma variável independente
que corresponde ao “melhor” valor ou ao valor ótimo de uma função. A otimização envolve a
identificação de máximos e mínimos. Tais problemas ocorrem rotineiramente no contexto de
projetos de engenharia.
Determine 𝑥 que dê o valor ótimo de 𝑓 𝑥
Fundamentos matemáticos
Ajuste de curvas
A regressão é empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos dados. Os
resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para tais situações, a estratégia é desenvolver
uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem necessariamente coincidir com
nenhum ponto individual. Em contraste, a interpolação é usada quando o objetivo é determinar
valores intermediários entre dados relativamente livres de erros — usualmente, é o caso para
informações tabuladas.
Fundamentos matemáticos
Integração
Uma interpretação física de integração numérica é a determinação da área sob a curva. A integração
tem muitas aplicações na prática da engenharia, variando da determinação de centroides de objetos
de forma estranha a cálculos de quantidades totais baseados em conjuntos de medidas discretas.
Além disso, as fórmulas de integração numérica desempenham um papel importante na solução de
equações diferenciais.
Fundamentos matemáticos
Equações Diferenciais Ordinárias
As equações diferenciais ordinárias têm um grande significado na prática da engenharia, e isso ocorre
porque muitas leis físicas são descritas em termos da taxa de variação de uma quantidade em vez do
valor da quantidade propriamente dita.
Dois tipos de problemas são tratados: problemas de valor inicial e valor de contorno. Além disso, o
cálculo de autovalores também é coberto.
Fundamentos matemáticos
Equações Diferenciais Parciais
As equações diferenciais parciais são usadas para caracterizar sistemas de engenharia nos quais o
comportamento de uma quantidade física é determinado pela sua taxa de variação em relação a duas
ou mais variáveis independentes.
Noções e termos básicos
Uma solução analítica é uma resposta exata na forma de uma expressão matemática escrita em
termos das variáveis associadas ao problema que está sendo resolvido.
Uma solução numérica é um valor numérico aproximado para a solução (ou seja, um número).
Embora soluções numéricas sejam uma aproximação, elas podem ser muito precisas. Em muitos
métodos numéricos, os cálculos são executados de maneira iterativa até que a precisão desejada
seja obtida.
Na verdade, em análise numérica, temos um número grande de métodos para
resolução de um mesmo problema. É preciso então escolher o método mais
eficiente, o que pode ser feito considerando principalmente os três critérios:
• Precisão dos resultados;
• Capacidade de conduzir os resultados desejados (Velocidade de
convergência).
• Esforço de cálculo despendido para obtenção dos resultados (tempo de
processamento, economia de memória necessária para a resolução).
Noções e termos básicos
Por exemplo, mostra um bloco com massa m sendo puxado por uma força F aplicada em um
ângulo θ. Utilizando as equações de equilíbrio, a relação entre a força e o ângulo é dada por:
𝐹 =
𝜇m𝑔
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃
onde μ é o coeficiente de atrito e g é a aceleração da gravidade.
(1)
Noções e termos básicos
Pensamento:
Para um dado valor de F, o ângulo necessário para mover o bloco pode ser determinado com a
solução da Eq. (1) em função de θ.
A Eq. (1), no entanto, não pode ser resolvida analiticamente para θ. Usando métodos numéricos,
uma solução aproximada pode ser determinada com o grau de precisão especificado. Isso significa
que, quando a solução numérica para θ é substituída de volta na Eq. (1), o valor de F obtido a partir
da expressão no lado direito da equação não é exatamente igual ao valor de F, embora possa ser
bastante próximo.
Noções e termos básicos
Duas ideias são frequentes em cálculo numérico, a de iteração ou aproximação sucessiva e a
de aproximação local.
Em um sentido amplo, iteração significa a repetição sucessiva de um processo.
Aproximação local tem a ideia é aproximar uma função por outra que seja de manuseio mais
simples. Por exemplo, aproximar uma função não linear por uma função linear em um
determinado intervalo do domínio das funções.
Noções e termos básicos
Resolvendo um problema na ciência e na 
engenharia
Programação e Softwares
Programas Computacionais
Programas computacionais são, basicamente, um conjunto de instruções que direcionam o
computador para executar certas tarefas. Uma vez que muitos indivíduos escrevem programas para
um amplo conjunto de aplicações, muitas linguagens de computação de alto nível, como Fortran 90
e C, têm grandes recursos.
Olhando dessa perspectiva, podemos reduzir a complexidade para um conjunto limitado de tópicos
de programação. Estes são:
• Representação simples da informação (constantes, variáveis e declarações de tipo).
• Representação de informação avançada (estruturas de dados, vetores e registros).
• Fórmulas matemáticas (atribuições, regras de prioridade e funções intrínsecas).
• Entrada/saída.
• Representação lógica (sequência, seleção e repetição). Programação modular (funções e sub-
rotinas).
Visão Geral