Questão resolvida - Alunos do curso de Engenharia Computacional de uma determinada faculdade, tiveram muita dificuldade em aprender e dominar os métodos de integração ... - Cálculo II - MULTIVIX

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Alunos do curso de Engenharia Computacional de uma determinada faculdade, 
tiveram muita dificuldade em aprender e dominar os métodos de integração 
apresentados pelo professor de cálculo II. Diante dessa dificuldade, resolveram 
desenvolver um software que pudesse fornecer o resultado de uma integração de 
forma rápida e objetiva. Querendo verificar se o programa criado por seus alunos 
realmente tinha atingido o objetivo desejado, o professor pediu que os alunos 
determinassem o valor da seguinte integral:
 
0
∫ 2 dx
x2 4 - x2
 
Sobre essa integral foram feitas algumas afirmações:
 
I. O resultado é - 1
4
3
II. A substituição trigonométrica indicada é x = a ⋅ tg 𝜃( )
III. A substituição trigonométrica indicada é x = a ⋅ sen 𝜃( )
IV. Essa integral não é definida no intervalo dado.
 
É correto o que afirmam em:
 
Escolha uma opção:
 
○ a. III e IV
 
○ b. II, III e IV
 
○ c. I, II e IV
 
○ d. I e III
 
○ e. I e II
 
Resolução:
 
Vamos resolver, primeiro, a integral em sua forma indefinida;
 
 
 
Para expressões do tipo : ; usamos a substituição x = a ⋅ sen 𝜃 e dx = acos 𝜃 d𝜃a - x2 2 → ( ) ( )
 
Então, para a integral em questão, a substituição é :
 
x = 2 ⋅ sen 𝜃 e dx = 2cos 𝜃 d𝜃 A firmação III é verdadeira! ( ) ( ) →
 
Substituindo na integral, fica;
 
= =∫ dx
x2 4 - x2
∫ 2cos 𝜃 d𝜃
2 ⋅ sen 𝜃
( )
( ( ))2 4 - 2 ⋅ sen 𝜃( ( ))2
∫ 2cos 𝜃 d𝜃
4sen 𝜃
( )
2( ) 4 - 4sen 𝜃2( )
 
= ∫ cos 𝜃 d𝜃
2sen 𝜃
( )
( ) 4 1 - sen 𝜃2( )
 
Da identidade pitagorica, temos que : sen 𝜃 + cos 𝜃 = 1 cos 𝜃 = 1 - sen 𝜃2( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
Substituindo, fica;
 
= =∫ cos 𝜃 d𝜃
2sen 𝜃
( )
2( ) 4 1 - sen 𝜃2( )
∫ cos 𝜃 d𝜃
2sen 𝜃 2
( )
2( ) cos 𝜃2( )
∫ cos 𝜃 d𝜃
4sen 𝜃 cos 𝜃
( )
2( ) ( )
 
= = cossec 𝜃 d𝜃
1
4
∫ d𝜃
sen 𝜃2( )
1
4
∫ 2( )
 
 
Da tabela de integrais temos que : cossec 𝜃 d𝜃 = - cotg 𝜃 + c∫ 2( ) ( )
 
Assim cossec 𝜃 d𝜃 = -cotg 𝜃 + c = - cotg 𝜃 + c→
1
4
∫ 2( ) 1
4
( ( ))
1
4
( )
 
Precisamos voltar para a variável x, primeiro, devemos definir que;
 
x = 2 ⋅ sen 𝜃 2 ⋅ sen 𝜃 = x sen 𝜃 = 𝜃 = Arcsen( ) → ( ) → ( )
x
2
→
x
2
substituindo no resultado da integral, fica;
 
 
 
(Resposta - 1)
- cotg 𝜃 + c = - cotg Arcsen + c
1
4
( )
1
4
x
2
 Voltando para a integral definida, fica;
 
= - cotg Arcsen = - cotg Arcsen - - cotg Arcsen
0
∫ 2 dx
x2 4 - x2
1
4
x
2 0
2 1
4 2
2 1
4
0
2
 
= - cotg Arcsen + cotg Arcsen 0
1
4 2
2 1
4
( ( ))
 
Para saber quem é: vamos analisar a tabela de ângulos Arcsen e Arcsen
2
2 0
2
notáveis;
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno
 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno
 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Veja que seno é quando o ângulo é ; assim;
2
2 𝜋
4
 
 
 
Arcsen =
2
2 𝜋
4
 
Temos também que : Arcsen 0 = 0( )
Logo, fica;
 
- cotg Arcsen + cotg Arcsen 0 = - cotg + cotg 0
1
4 2
2 1
4
( ( ))
1
4
𝜋
4
1
4
( )
 
A não existe no conjunto dos reais, pois: cotg 0( )
 
cotg 0 = = ∄ em R e a preposição IV é verdadeira!( )
cos 0
sen 0
( )
( )
1
0
 
 
(Resposta - 2)