Os métodos de Jacobi e Gauss

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Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton:
A
x = 0,495 e y = 0,124
B
x = 0,5 e y = 0,1
C
x = 0,505 e y = 0,125
D
x = 0,492 e y = 0,121
2Em matemática, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva. Esses algoritmos são os métodos de integração numérica. O método de integração numérica não substitui o método de resolução normal, apenas o complementa. Neste sentido, quando se usa a integração numérica?
A
Quando a função for descontínua.
B
Quando a função é definida por meio de uma tabela de pontos.
C
Quando a derivada for constante.
D
Quando a integral não tem intervalos.
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Podemos calcular a matriz inversa de toda matriz quadrada A cujo determinante é não nulo, através da fatoração LU. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
A
(det B ≠ 0).
B
(det A = 0).
C
(det A ≠ 0).
D
(det A ≠ 1).
4Em análise numérica, a fórmula de Simpson (em nome de Thomas Simpson, um matemático inglês), também conhecida como regra de Simpson, é uma forma de se obter uma aproximação da integral definida. Essa regra é um método de integração numérica que aproxima uma função f por um polinômio de grau dois em um intervalo [a, b]. Com relação a este método, podemos afirmar que:
A
Consiste em fazer passar uma reta secante pelos dois extremos do intervalo [a, b].
B
É um refinamento da Regra do Trapézio, uma vez que utiliza três pontos consecutivos previamente conhecidos do intervalo.
C
Nada mais é do que a Regra do Trapézio Generalizada.
D
A dedução da sua fórmula utiliza o método de Newton-Côtes.
5Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f (1,8)?
A
f(1,8) = 7,8
B
f(1,8) = 7,2
C
f(1,8) = 6,8
D
f(1,8) = 7,4
CN - Regressao Linear2
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6Na matemática e principalmente na análise numérica, existe uma gama de algoritmos e processos, cujo principal fim é aproximar o valor de uma integral definida de uma função sem precisar utilizar uma expressão analítica para a sua primitiva. Dada uma função f qualquer, utilizamos algum método numérico para integrar ao invés da forma usual quando:
A
Não temos o intervalo de integração.
B
O cálculo envolve funções trigonométricas.
C
É difícil ou impossível resolver a integração.
D
Os dados não são números reais, mas complexos.
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O valor de k para que a soma das raízes da equação kx2 + (3k-5)x - 4 = 0 seja igual ao seu produto é:
A
12
B
13
C
-1.
D
3.
8Usando a segunda lei do movimento de Newton, podemos determinar a velocidade de uma partícula de massa m (m é constante) que foi projetada verticalmente através da equação diferencial y' = - g - ky, onde y = y(t) é a velocidade da partícula que depende do tempo t, g é a gravidade (constante) e k é uma constante que depende da resistência do ar, vamos assumir que k = 1. Usando o Método de Euler, podemos encontrar a solução numérica do PVI:
A
2,406.
B
0,2.
C
9,272.
D
- 9,8.
9De uma forma geral, uma função contínua é uma função que não apresenta interrupção, ou seja, não apresenta pontos de descontinuidade. Uma função contínua f possui raiz em um intervalo [a, b] se, ao calcularmos f(a) e f(b), tivermos:
A
f(a) = f(b).
B
f(a) e f(b) com sinais trocados.
C
f' (a) ou f' (b) nulos.
D
f(a) e f(b) com mesmo sinal.
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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abscissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. As raízes da equação são . Sendo assim, o valor da expressão  é:
A
299
B
13
C
-59
D
263
11(ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter instrumental - pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento -, mas deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve observar que:
A
o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.
B
a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional.
C
o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.
D
as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
12(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é:
A
impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
B
possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
C
possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
D
possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.