12ª I Trimestre(1)

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 Valdmiro Aguiar 
Tema A – Forças e movimentos 
A1: Cinemática de uma partícula em movimento. 
1.1- Velocidade por definição. 
O conceito de velocidade está intimamente ligado à variação da posição. Se a 
posição de um objecto muda com o tempo, ele está animado de velocidade. Se 
ele está em repouso, sua velocidade é nula. 
 
Digamos que, no tempo t1, a partícula estava em x1 e que, no instante t2, ele 
está em x2. Admitiremos t2 > t1. 
Assim, no intervalo de tempos t1 dado por 
, 
houve uma variação da posição, , dada por 
. 
Definimos então a velocidade escalar média como a razão entre a variação 
da coordenada e o intervalo de tempo decorrido: 
. 
Observe-se que a velocidade escalar média sempre faz referência a dois 
instantes de tempo (por isso, falamos em média). No entanto, a velocidade na 
qual temos maior interesse é a velocidade num determinado instante de tempo. 
Tal velocidade é denominada velocidade instantânea. 
 
Para definirmos a velocidade instantânea, devemos recorrer a um conceito 
matemático conhecido como limite. 
Observemos que a velocidade média é definida tomando-se dois instantes de 
tempo. Para defini-la num determinado instante, basta tomarmos intervalos de 
tempo cada vez menores. Dessa forma estamos assegurando que, cada vez 
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 Valdmiro Aguiar 
mais, não exista diferença entre t2 e t1. Portanto, estaremos falando, ao 
tomarmos o limite no qual tende a zero, de um só instante de tempo. 
 
Definimos, portanto, a velocidade instantânea no instante t1 através do 
processo limite: 
. 
O processo limite definido acima tem o nome de derivada da função x(t) com 
respeito ao tempo e se representa: 
. 𝐿𝑒𝑟: 𝑣𝑥 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 « 𝑑ê−𝑥−𝑑ê−𝑡». 
Consideremos um exemplo 1 simples: o caso de uma partícula com 
movimento rectilíneo e velocidade constante. 
 
Exemplos 2: 
Consideremos agora o caso da queda livre, que é um movimento 
uniformemente acelerado ( a aceleração é constante) 
 
 
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/limites.htm
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 Valdmiro Aguiar 
Regras de derivação. 
● Derivadas de certas funções úteis em física. 
𝐴, 𝑘, 𝑛, 𝜔 𝑒 𝜃0 São constantes; 𝑡 é a variável independente 
 Função Derivada 
Constante 𝑘 0 
Linear 𝑘𝑡 𝑘 
Quadrática 𝑘𝑡2 2𝑘𝑡 
Potência 𝑘𝑡𝑛 𝑛𝑘𝑡𝑛−1 
Seno 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃0) 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃0) 
Co-seno 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃0) −𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃0) 
 
● Algumas regras para cálculos de derivadas. 
𝑦 𝑒 𝑧 representam funções de 𝑡, 𝑖. 𝑒. , 𝑦 = 𝑦(𝑡)𝑒 𝑧 = 𝑧(𝑡) 
Regra da somo 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦 + 𝑧) =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
Regra do produto 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦 × 𝑧) = 𝑦 ×
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Vejamos um exemplo de aplicação destas regras. A equação das posições da 
uma bola, lançada verticalmente da origem do referencial, de baixo para cima, 
com uma velocidade de valor 30𝑚 𝑠⁄ , é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Valdmiro Aguiar 
Calcular a derivada de uma função num certo instante é determinar se a função 
está a variar lenta ou rapidamente nesse instante. Quer dizer a derivada de 
uma função traduz a taxa de variação da função nesse instante. 
1.2- Aceleração: derivada da velocidade em ordem ao tempo. 
A velocidade é a grandeza física que mede a taxa de variação instantânea. 
𝒗 =
𝒅�⃗� 
𝒅𝒕
 
Ou consideremos as coordenadas: 
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 𝑣𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
Por sua vez, a aceleração é a grandeza que mede a taxa de variação 
instantânea da velocidade. 
�⃗⃗� =
𝒅�⃗⃗� 
𝒅𝒕
 
Ou, o que é o mesmo: 
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
 𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
 𝑎𝑧 =
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
 
Considerando o exemplo 2 da página anterior: 
Este movimento, que é uniformemente acelerado, pode ser descrito pelas 
seguintes equações 
 
 
 
 
 
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 Valdmiro Aguiar 
 
Exercícios: 
- Calcular a velocidade de uma partícula através da derivação da equação 
horária; 
 
- Calcular a aceleração de uma partícula através da derivação da equação da 
velocidade. 
 
1) Uma partícula se desloca em linha recta, de tal forma que sua distância à 
origem é dada, em função do tempo, pela equação: 
 
𝑆 = 4𝑡 + 6𝑡2 
 
 a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s. 
 
b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula. 
 
2) Uma partícula se desloca em linha recta, de tal forma que sua distância à 
origem é dada em função do tempo, pela equação: 
 
𝑆 = 2𝑡 + 3𝑡2 
 
a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t =1s. 
 
b) Calcular a aceleração, em unidades S.I., da partícula. 
 
 
3) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária 
 
𝑟 = 𝑡2 + 𝑡 − 2 
 
a) Calcular a sua velocidade, em unidades S.I., no instante t = 2s. 
 
b) Calcular a aceleração da partícula em unidades S.I. 
 
4) Calcular a aceleração, em unidades S.I., de uma partícula no instante t = 5s 
sabendo que sua velocidade obedece à equação 
 
𝑣 = 2 + 3𝑡 + 5𝑡2 
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 Valdmiro Aguiar 
5) Calcular no instante t = 3s a velocidade, em unidades S.I., de uma partícula 
que se move obedecendo à equação horária 
 
𝑆 =
1
𝑡
 
 
1.3- Derivadas de funções vectoriais: 
As regras de derivação referidas atrás também podem ser aplicadas a funções 
vectoriais. Por exemplo, consideremos um movimento num plano 𝑂𝑋𝑌 em que 
as coordenadas da partícula são descrita pelas funções 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡). 
𝑟 (𝑡) = 𝑥(𝑡). 𝑒 𝑥 + 𝑦(𝑡). 𝑒 𝑦 
 
Exemplo: 
Quando adiante, nesta Unidade, estudarmos o movimento de um projéctil, 
vamos encontrar um movimento descrito pelas seguintes equações 
paramétricas: 
𝑥 = 30𝑡 𝑒 𝑦 =
−10
2
× 𝑡2 + 20 (SI) 
 
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 Valdmiro Aguiar 
1.4- Vector velocidade e vector aceleração 
 
 Ao estudar-se a cinemática dos movimentos rectilíneos, trabalha-se com a 
velocidade e a aceleração apenas de forma numérica, isto é, levando em 
consideração apenas o seu módulo. Mas já foi dito que se tratam de 
grandezas vectoriais e como tais, a velocidade e a aceleração possuem 
também direcção e sentido, o que será mostrado nesta seção. 
 
1.4.1- Vector velocidade 
 
O vector velocidade possui um módulo que pode ser determinado de diferentes 
formas, dependendo do movimento em questão. A sua direcção e o seu 
sentido, porém são sempre determinados da mesma forma. 
Imagine uma pedra presa a um barbante colocada em rotação. Se o barbante 
se arrebenta em um certo pontoP, ver-se-á que a pedra segue a trajectória 
rectilínea mostrada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que a direcção do vector velocidade é tangente à circunferência no 
ponto P e o sentido deste vector é o mesmo do movimento. 
Conforme foi dito anteriormente, a direcção e o sentido do vector velocidade 
são sempre determinados da mesma forma. Assim, pode-se generalizar: a 
direcção do vector velocidade é sempre tangente à curva no ponto em que o 
corpo se encontra e o sentido é sempre o mesmo do movimento. 
Desta forma, se um patinador descreve a seguinte trajectória, o seu vector 
velocidade nos pontos A, B e C, será: 
 
 
 
 
 
 
1.4.2- Vector aceleração 
 
O vector aceleração é o vector responsável pela variação do vector velocidade. 
Sabe-se no entanto, que o vector velocidade, bem como toda grandeza 
vectorial, possui módulo, direcção e sentido. Para variar tais características, o 
vector aceleração é decomposto em dois outros vectores perpendiculares entre 
si, cada um executando uma função específica: 
➢ vector aceleração tangencial ( at ): responsável pela variação do 
módulo do vector velocidade 
➢ vector aceleração centrípeta ( ac ): responsável pela variação da 
direcção e sentido do vector velocidade 
P 
v 
A 
B 
C 
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 Valdmiro Aguiar 
Por possuir duas componentes perpendiculares o vector aceleração pode ser 
obtido pela soma vectorial das suas componentes. Ou seja 
 
 
 
 
Para calcular-se o módulo do vector aceleração, quando conhece-se o módulo 
das suas componentes perpendiculares, pode-se aplicar o teorema de 
Pitágoras: 
 
1.5- Vector aceleração tangencial 
 
Vector responsável pela variação do módulo ou intensidade do vector 
velocidade. A sua direcção, como o nome indica, é tangente à trajectória, como 
o vector velocidade. 
O sentido do vector aceleração tangencial pode ser: 
➢ o mesmo do vector velocidade, se o movimento for acelerado 
 
 
 
 
 
 
➢ contrário ao do vector velocidade, se o movimento for retardado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o vector aceleração tangencial varia o módulo do vector velocidade, ele 
será nulo quando o movimento for uniforme, uma vez que neste movimento o 
módulo do vector velocidade é constante. 
 
1.6- Vector aceleração centrípeta 
 
Vector responsável pela variação da direcção do vector velocidade. A sua 
direcção é perpendicular à direcção do vector velocidade e o sentido, como o 
nome indica, é em direcção ao centro da curva da trajectória. 
 
 
 
 
 
→→→
+= ct aaa
22
ct aaa +=at 
ac 
a 
at 
v 
at 
v 
ac 
v 
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 Valdmiro Aguiar 
Como o vector aceleração centrípeta varia a direcção do vector velocidade, ele 
será nulo quando o movimento for rectilíneo, uma vez que neste movimento a 
direcção do vector velocidade é constante. 
 
1.7- Aceleração normal ou centrípeta e aceleração tangencial 
Características da componente centrípeta da aceleração 
- a componente centrípeta mede a rapidez com que a direcção do vector 
velocidade varia; 
- possui direcção radial e aponta sempre para o centro da trajectória; 
- possui módulo dado por acp = v2/R, em que v é a velocidade instantânea e R 
é o raio da trajectória descrita pelo móvel; 
- nos movimentos rectilíneos, a direcção do vector velocidade não varia, 
portanto a aceleração centrípeta é nula. 
Como determinar o vector aceleração? 
 
Sabemos que o vector aceleração tangencial é tangente à trajectória. Ele é 
orientado no mesmo sentido do movimento e seu módulo é igual ao valor da 
aceleração escalar. 
Pela figura acima podemos determinar o vector aceleração centrípeta. De 
acordo com a figura, podemos ver que ele é normal à trajectória, é orientado 
para o centro da trajectória e seu módulo é dado pela seguinte equação: 
 |𝑎 𝑐𝑝| =
𝑣2
𝑅
 
Ainda em relação à figura acima, vemos que as componentes tangencial e 
centrípeta são ortogonais. Sendo assim, podemos fazer uso do Teorema de 
Pitágoras para escrever: 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 10 
 
 Valdmiro Aguiar 
|𝑎 2| = |𝑎 𝑡
2| + |𝑎 𝑐𝑝
2 | 
𝑡𝑔𝜃 =
|𝑎 𝑐𝑝|
|𝑎 𝑡|
 
Exemplo: Determinar as componentes da aceleração numa trajectória 
curvilínea de um projéctil lançado horizontalmente da altura de 60m, com uma 
velocidade de 20ms-1, conforme indica a figura (SI). 
 
1.8- Movimento de projécteis 
Denominamos de movimento dos projécteis ao movimento livre de um corpo 
lançado num campo gravitacional uniforme, onde a aceleração da gravidade é 
constante e vertical, sendo desprezível a resistência do ar. 
1.8-1- Decomposição do movimento de um projéctil 
Quando lançamos um projéctil o seu movimento poderá ser sempre 
decomposto em dois movimentos, sendo um horizontal e outro vertical. 
 
A aceleração do projéctil será apenas a da gravidade. 
→ Movimento horizontal do projéctil 
O movimento horizontal será uniforme uma vez que não existe aceleração com 
componente horizontal, ou seja a componente horizontal da velocidade do 
projéctil é constante. 
O gráfico velocidade tempo é o mostrado na figura. 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 11 
 
 Valdmiro Aguiar 
 
→Movimento vertical de um projéctil 
O movimento vertical será uniformemente variado com uma aceleração igual à 
da gravidade. 
O gráfico velocidade tempo será o mostrado na figura. 
 
1.8.1- Decomposição da velocidade de lançamento 
O projéctil é lançado de forma que a sua velocidade inicial é inclinada em 
relação à horizontal. 
A velocidade inicial deverá ser decomposta nas direcções horizontal e vertical, 
como mostra a figura. 
vox = vo.cos α 
voy = vo.sen α 
 
Cálculo da altura máxima atingida pelo projéctil 
Como a altura máxima é relativa ao movimento vertical. 
A aceleração no movimento vertical é igual a aceleração da gravidade. 
Na altura máxima a velocidade vertical é nula. 
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A altura máxima corresponde à variação de posição vertical ocorrida entre os 
instantes zero e t, podendo ser avaliada pela área do triângulo amarelo da 
figura 
 
 
Cálculo do alcance de um projéctil 
Denominamos de alcance A à distância entre a posição de lançamento do 
projéctil e a sua posição ao voltar ao mesmo nível do lançamento. 
O alcance corresponde à distância horizontal percorrida durante o tempo de 
realização do movimento, isto é, um tempo igual ao dobro do tempo para atingir 
a altura máxima, podendo ser avaliado pela área do rectângulo amarelo do 
gráfico v x t relativo ao movimento horizontal. 
 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 13 
 
 Valdmiro Aguiar 
 
Forma da trajectória do projéctil 
Consideremos um lançamento conforme a figura abaixo. 
 
O movimento do projéctil será analisado decomposto em dois movimentos 
sendo um vertical, uniformemente variado com aceleração g e outro horizontal 
uniforme. 
Movimento vertical. 
O gráfico v x t do movimento está mostrado na figura.Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 14 
 
 Valdmiro Aguiar 
A ordenada y do projéctil ao fim do tempo t após o lançamento é avaliada pela 
área do trapézio amarelo da figura. Esta área será calculada pela diferença 
entre as áreas dos triângulos rectângulos de catetos horizontais tmax e t. 
 
Movimento horizontal 
O gráfico v x t do movimento está mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Valdmiro Aguiar 
Exemplos 
Suponhamos que o lançamento da bola de canhão, é feito horizontalmente, 
conforme as condições indicada na figura: 
 
 
Consideremos agora um lançamento de um projéctil que tem uma velocidade 
inicial de valor 40𝑚 𝑠⁄ , fazendo um ângulo de 30
0 com a horizontal. A boca do 
canhão está agora ao nível do solo. Escolhemos um referencial com a origem 
na boca do canhão (eixos dos yy com sentido positivo para cima, eixo dos xx 
com sentido positivo para a direita). Conforme a figura 
 
EXEMPLO 5: Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, segundo 
um ângulo de 60º com a horizontal com velocidade de 400 m/s. Admitindo g = 
10 m/s2 e seno 60o =  3/2 = 1,7 ; pede-se: 
a) o tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima em relação ao solo; 
b) a altura máxima atingida; 
c) o tempo gasto para atingir o solo; 
d) o alcance máximo do corpo; 
e) a velocidade do corpo no instante 8 segundos; 
f) a equação da trajectória do corpo. 
 
Observações: 
a) O módulo da velocidade vertical vy diminui durante a subida e aumenta na 
descida. 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 16 
 
 Valdmiro Aguiar 
b) No ponto de altura máxima (hmáx ) o módulo da velocidade no movimento 
vertical é zero (vy = 0) . 
c) A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do 
corpo é denominada alcance (xmáx ). Neste ponto y = 0 . 
d) A posição do corpo em um dado instante é determinada pelas coordenadas 
x e y . Por exemplo, P1 (x1 , y1) 
e) A velocidade num dado instante é obtida através da soma vectorial das 
velocidades vertical e horizontal, isto é, v = vx + vy . O vector v é tangente à 
trajectória em cada instante. 
f) Para um lançamento horizontal, teremos as mesmas equações porém com  
= 0º e v0y = 0 e a velocidade do projéctil segundo o eixo-x será igual a 
velocidade de lançamento. Veja o exemplo 6 . 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
14) Um canhão dispara um projéctil do alto de uma elevação de 100 metros de 
altura, segundo um ângulo de 30º com a horizontal, com velocidade de 300 m/s 
, conforme a figura. 
Admitindo g = 10 m/s2 determine o tempo que o projéctil leva para atingir um 
alvo localizado a 1100 metros de altura, conforme indica a figura. Faça  3/2 
= 1,7 
 
 
 
15) Um canhão dispara um projéctil que parte com velocidade de 50 m/s. 
Nesse local g = 10 m/s2 e o canhão forma 45º com a horizontal. Pergunta-se: 
a) qual o módulo da componente horizontal da velocidade; 
b) qual o módulo da componente vertical da velocidade parta t = 0 ; 
c) em que instante vy = 0 ; 
d) qual o tempo que o projéctil leva para retornar ao chão; 
e) qual o módulo de sua velocidade nesse instante; 
f) qual a altura máxima atingida pelo projéctil; 
g) a que distância o projéctil cai do canhão? 
 
- Alcance máximo de um projéctil: 
Sabemos que y = v0 sen  . t - ½ gt2 e que vy = v0 sen  - g.t e que 
para o eixo- x temos : x = v0 cos  . t 
Quando o projéctil atinge a altura máxima, vy = 0 logo 0 = v0 sen  - g . t  
g
v
t
sen0= logo o tempo total de percurso será: 
g
v
t
sen2 0= 
 
Substituindo o tempo total de percurso na eq. para o alcance teremos: 
g
v
g
v
vx


cossen2sen2
cos
2
00
0

== 
mas em trigonometria sabemos que 2 sen  cos  = sen 2  
Tempo de 
subida 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 17 
 
 Valdmiro Aguiar 
 v02 sen 2  
então : xmáx = (alcance) 
 g 
 
Repare que para termos alcance máximo é preciso que sen 2  = 1 e para que 
isto ocorra 2 = 90º . Conclusão  = 45º 
 
Portanto, se quisermos lançar um projéctil o mais longe possível, devemos 
lançá-lo com velocidade formando 45º com a horizontal. 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
16) Usando a fórmula para o alcance máximo, determine a letra g no problema 
15. 
 
EXEMPLO 6: Um avião bombardeiro está voando a 2 000 m de altura quando 
solta uma bomba. Se a bomba cai a 1 000 m da vertical em que foi lançada, 
qual o módulo da velocidade do avião? Adopte g = 10 m/s2 . 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
O enunciado abaixo refere-se às questões 17, 18 e 19 : 
Um projéctil é lançado horizontalmente com velocidade inicial de 5 m/s de uma 
altura h = 180 m. Considere a resistência do ar desprezível e adopte g = 10 
m/s2 . 
17) No instante t = 5s as coordenadas X e Y, que determinam as posições do 
projéctil, valem, em unidades do S.I. respectivamente: 
a) 10 e 45 b) 25 e 55 c) 10 e 125 d) 25 e 80 e) 50 e 180 
18) No instante 5s, o projéctil da questão anterior se encontra a uma distância 
do solo igual a: 
a) 25 m b) 50 m c) 55 m d) 70 m e) 125 m 
19) A velocidade do projéctil, no instante 0,5 s , tem módulo e direcção, 
respectivamente iguais a: 
a) 7 m/s e 45º b) 7 m/s e 30º c) 7 m/s e 60º d) 5 m/s e 30º e) 5 
m/s e 60º 
Exercícios de Fixação: 
20) Assinale com V de verdadeiro ou F de falso: 
( ) 1. A trajectória descrita por um móvel lançado horizontalmente no vácuo é 
sempre parabólica, se considerarmos g constante. 
( ) 2. O movimento realizado pelo projéctil lançado horizontalmente no vácuo 
é uniformemente variado, se considerarmos g constante. 
( ) 3. No lançamento horizontal realizado no vácuo, a velocidade do projéctil é 
constante em módulo e direcção. 
( ) 4. Um avião que voa horizontalmente lança uma bomba contra um alvo. 
Despreze a resistência do ar. No instante em que a bomba explode no alvo, o 
avião estará exactamente sobre a vertical que passa pelo alvo. 
( ) 5. No lançamento horizontal, o alcance jamais poderá ser igual a altura de 
lançamento. 
( ) 6. A velocidade com que o projéctil obliquamente chega ao plano de 
referência é igual à velocidade de lançamento. 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 18 
 
 Valdmiro Aguiar 
( ) 7. O lançamento de um projéctil lançado oblíqua ou horizontalmente é 
resultante de um movimento horizontal uniforme e outro vertical uniformemente 
variado. 
( ) 8. O tempo que um corpo lançado horizontalmente leva para atingir o 
plano de referência é igual ao tempo que levaria para 
chegar a esse plano se caísse em queda livre do ponto de lançamento. 
( ) 9. Um projéctil lançado obliquamente tem seu alcance horizontal máximo 
quando o ângulo de lançamento acima da horizontal for igual a 45º . 
( ) 10. Lançamos obliquamente dois projécteis com velocidades de mesmo 
módulo, inclinados de 45º +  e 45º -  com  < 45º , acima da horizontal . 
O primeiro projéctil apresentará alcance horizontal maior que aquele 
apresentado pelo segundo. 
 
Uma bola é lançadapara cima, em direcção que faz um ângulo de 45º com a 
horizontal, com velocidade v . Despreze a resistência do ar. Este enunciado 
refere-se aos exercícios 21, 22 e 23 : 
21) A componente horizontal vx da velocidade v da bola é: 
a) v / cos 45º b) v tg 45º c) v cos 45º d) v sen 45º e) v / sen 45º 
 
22) A componente vy da velocidade v da bola: 
a) é constante. 
b) é função do 1º grau do tempo. 
c) é função do 2º grau do tempo. 
d) tem o mesmo sentido em qualquer instante. 
e) é sempre diferente de zero. 
 
23) A aceleração da bola é: 
a) horizontal e variável; 
b) inclinada e constante; 
c) vertical e constante; 
d) inclinada e variável; 
e) nula no ponto mais alto atingido pela bola. 
 
24) Durante um exercício de segurança contra incêndio um bombeiro segurou 
a mangueira d’água formando um ângulo de 45º com a horizontal. Sabendo-se 
que a aceleração local da gravidade é g = 10 m/s2 e que a velocidade de saída 
do jacto d’água é de 20 m/s, pode-se afirmar que serão atingidos objectos 
situados a uma distância horizontal do bico da mangueira de: 
a) 50 m b) 75 m c) 60 m d) 40 m e) 80  2 m 
 
25) Um projéctil é lançado obliquamente com velocidade inicial de 100 m/s, 
inclinado com um ângulo  com a horizontal. Despreza-se a resistência do ar e 
dados g = 10 m/s2 e sen  = 0,6 cos  = 0,8 , calcule a velocidade do projéctil 
no instante 5s e o tempo para que ele atinja a altura máxima ? (Dar as 
velocidades nas direcções x e y) 
 
26) A figura abaixo mostra três corpos de massas diferentes no instante em 
que são lançados simultaneamente de uma plataforma com velocidade 
horizontais v1 = 0 , v2 = 10 m/s e v3 = 50 m/s. A altura da plataforma é 1,25 m 
Nome:_______________________________________________Nº___Turma___Sala__/20 19 
 
 Valdmiro Aguiar 
. Despreze o atrito com o ar e considere g = 10 m/s2 . Quais os tempos de 
permanência no ar dos três corpos? 
 
 
 
 
 
 
27) Um avião deixa cair uma bomba sobre um alvo. Desprezando a resistência 
do ar, o movimento da projecção da bomba sobre um plano horizontal é , para 
um observador na Terra: 
a) circular uniforme ; 
b) rectilíneo uniforme ; 
c) rectilíneo uniformemente variado; 
d) rectilíneo qualquer ; 
e) curvilíneo variado. 
 
28) Uma pequena bola foi rolada numa marquise de 5 m de altura, indo chocar-
se com o solo a 4 m da marquise. Despreze a resistência do ar e adopte g = 
10 m/s2 . Determine: 
a) o tempo de queda da bola ; 
b) a velocidade v0 que a bola possuía ao deixar a marquise. 
 
A3- Lei da conservação do momento linear e colisões. 
Lei da conservação do momento linear 
Quando analisamos a segunda lei de Newton, isto é, o princípio fundamental 
da Dinâmica, consideramos a hipótese de que a massa m no produto F = m.a, 
permanece constante. 
 
Entretanto, quando a velocidade da partícula é comparável à velocidade da luz 
(c = 300.000 km/s) a hipótese de massa constante não é válida. 
 
Por isso, conceitua-se força a partir da noção de quantidade de movimento: 
 
 
A força é a derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento. 
 
O símbolo d/dt significa “derivada em relação ao tempo”. A derivada do produto 
m.v é dada por: 
 
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 Valdmiro Aguiar 
 
Sendo a aceleração vectorial da partícula𝑎 =
𝑑𝑐 
𝑑𝑡
 vem: 
 
 
Dentro da hipótese da Mecânica Newtoniana m é constante, então resulta 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
=
0 e, portanto, 𝐹 𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝑝 
𝑑𝑡
 transforma-se na clássica 𝐹 = 𝑚 × 𝑎 
A equação 𝐹 𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝑝 
𝑑𝑡
, diz-nos que a taxa de variação do momento linear de um 
sistema de partículas é igual à resultante das forças exteriores que actuam no 
sistema. 
Quando a resultante das forças exteriores é nula, a taxa de variação do 
momento linear é nula. 
𝑑𝑝 
𝑑𝑡
= 0 
Isto quer dizer que o momento linear do sistema é constante, visto que a 
derivada de uma constante é nula: 
Tipos de colisões 
Quando dos objectos colidem, sem transferência de massa de um para o outro 
e sem se fragmentarem, poderão verificar-se as seguintes situações: 
1- Os dois objectos permanecem exactamente como eram, variando apenas a 
velocidade de cada um. 
2- Os dois objectos «colam-se» um ao outro, transformando-se num só. 
No primeiro caso, podem ainda ocorrer duas situações: 
a) a energia cinética inicial do sistema mantém-se: dizemos que se trata de 
uma colisão elástica. 
b) A energia cinética do sistema não se mantém. Neste caso, estamos 
perante uma colisão inelástica. 
Quando os dois objectos se «colidem» um ao outro (situação 2), trata-se de 
uma colisão perfeitamente inelástica. Neste tipo de colisão, a energia cinética 
diminui o máximo possível. É , evidentemente, um caso particular da colisão 
inelástica.. 
Colisão elástica em linha recta. 
Uma carruagem, A, de massa 𝑚, desloca-se com uma certa velocidade, colide 
com outra carruagem B, parada, de massa 𝑚, conforme mostra a figura. 
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 Valdmiro Aguiar 
 
Colisão perfeitamente inelástica: 
Consideremos novamente a colisão das duas carruagens, admitindo que após 
a colisão mantenham-se juntas. 
 
Colisão parcialmente inelástica. 
Consideremos ainda um terceiro exemplo. Como se movimentam as duas 
carruagens após a colisão, se se considerar que só 50% da energia cinética é 
dissipada na colisão e que as carruagens não seguem juntas depois de 
colidirem? 
Antes da e durante a colisão: 
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 Valdmiro Aguiar 
 
Pêndulos: 
Trabalho investigativo para os alunos