GAAL - Aula 15

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SEGUNDA PROVA
10/novembro - sa´bado
12:00 - 14:00 horas
ICEx
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Projec¸a˜o Ortogonal
Dado um vetor na˜o nulo V e dado um vetor W podemos definir o
vetor projV (W ), projec¸a˜o ortogonal de W na direc¸a˜o de V .
Se θ = ang(V ,W ) observe que:
I Se θ e´ agudo, enta˜o projV (W ) e´ um mu´ltiplo positivo de V .
I Se θ e´ obtuso, enta˜o projV (W ) e´ um mu´ltiplo negativo de V .
Projec¸a˜o Ortogonal
Dado um vetor na˜o nulo V e dado um vetor W podemos definir o
vetor projV (W ), projec¸a˜o ortogonal de W na direc¸a˜o de V .
Se θ = ang(V ,W ) observe que:
I Se θ e´ agudo, enta˜o projV (W ) e´ um mu´ltiplo positivo de V .
I Se θ e´ obtuso, enta˜o projV (W ) e´ um mu´ltiplo negativo de V .
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0
⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0
⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0
⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉
⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 1. Determine as projec¸o˜es ortogonais dos vetores
W = (1, 2) e U = (−1, 2) sobre o vetor V = (3, 1) do plano
cartesiano.
Exemplo 2. Determine as projec¸o˜es ortogonais de um vetor
W = (w1,w2,w3) na direc¸a˜o de cada um dos eixos coordenados ~i ,
~j e ~k .
Exemplo 3. Se V = (1, 2,−1) e W = (3, 1, 0) calcule projW (V ) e
projV (W ).
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 1. Determine as projec¸o˜es ortogonais dos vetores
W = (1, 2) e U = (−1, 2) sobre o vetor V = (3, 1) do plano
cartesiano.
Exemplo 2. Determine as projec¸o˜es ortogonais de um vetor
W = (w1,w2,w3) na direc¸a˜o de cada um dos eixos coordenados ~i ,
~j e ~k .
Exemplo 3. Se V = (1, 2,−1) e W = (3, 1, 0) calcule projW (V ) e
projV (W ).
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 1. Determine as projec¸o˜es ortogonais dos vetores
W = (1, 2) e U = (−1, 2) sobre o vetor V = (3, 1) do plano
cartesiano.
Exemplo 2. Determine as projec¸o˜es ortogonais de um vetor
W = (w1,w2,w3) na direc¸a˜o de cada um dos eixos coordenados ~i ,
~j e ~k .
Exemplo 3. Se V = (1, 2,−1) e W = (3, 1, 0) calcule projW (V ) e
projV (W ).
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 4. Determine dois vetores ortogonais no plano
x + 2y + 3z = 0.
Exemplo 5. Usando projec¸a˜o ortogonal, calcule a distaˆncia do
ponto A = (4,−5, 5) ate´ o plano α de equac¸a˜o x − 2y + z = 1.
OBS: Se P e´ um ponto qualquer do plano α, enta˜o
dist(A, α) =‖ projN(−→PA) ‖
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 4. Determine dois vetores ortogonais no plano
x + 2y + 3z = 0.
Exemplo 5. Usando projec¸a˜o ortogonal, calcule a distaˆncia do
ponto A = (4,−5, 5) ate´ o plano α de equac¸a˜o x − 2y + z = 1.
OBS: Se P e´ um ponto qualquer do plano α, enta˜o
dist(A, α) =‖ projN(−→PA) ‖
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 4. Determine dois vetores ortogonais no plano
x + 2y + 3z = 0.
Exemplo 5. Usando projec¸a˜o ortogonal, calcule a distaˆncia do
ponto A = (4,−5, 5) ate´ o plano α de equac¸a˜o x − 2y + z = 1.
OBS: Se P e´ um ponto qualquer do plano α, enta˜o
dist(A, α) =‖ projN(−→PA) ‖
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 6. Usando projec¸a˜o ortogonal, determine a distaˆncia do
ponto A = (4,−2, 6) ate´ a reta r de equac¸a˜o parame´trica
(x , y , z) = (−1, 1, 1) + t(1,−1, 2).
OBS: Se P e´ um ponto qualquer da reta r , pelo Teorema de
Pita´goras
dist(A, r)2 + ‖ projVr (
−→
PA) ‖2 = ‖ −→PA ‖2
Projec¸a˜o Ortogonal - exemplos
Exemplo 6. Usando projec¸a˜o ortogonal, determine a distaˆncia do
ponto A = (4,−2, 6) ate´ a reta r de equac¸a˜o parame´trica
(x , y , z) = (−1, 1, 1) + t(1,−1, 2).
OBS: Se P e´ um ponto qualquer da reta r , pelo Teorema de
Pita´goras
dist(A, r)2 + ‖ projVr (
−→
PA) ‖2 = ‖ −→PA ‖2
Exemplos
Exemplo 7. Considere os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) e
C = (0, 0, 3).
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α que conte´m A, B e C .
(b) Detemine o aˆngulo entre α e o plano coordenado xy .
(c) Qual e´ a a´rea do triaˆngulo ABC?
(d) Calcule o ponto do plano α que esta´ mais pro´ximo da origem.
(e) Determine o volume da tetraedro OABC .
(f) Determine a equac¸a˜o do plano β que conte´m o eixo z e que e´
perpendicular a α.
Um abrac¸o.
Estudem para a prova.
Por favor.
Um abrac¸o.
Estudem para a prova.
Por favor.