1ª Lista de Exercícios Calculo Vetorial UFMA

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Universidade Federal do Maranhão
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Vetorial Professor: Geilson Reis
Lista de Exerćıcios
1. Sejam os vetores ~u = (2, a,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a − 1,−2, 4). Determinar a de modo que
~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w).
2. Determine o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~u · ~v = −42.
3. Determinar o vetor ~v, sabendo que ||~v|| = 5, ~v é ortogonal ao eixo Ox, ~v · ~w = 6 e ~w =~i+ 2~j.
4. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, ~v · ~v1 = 8, ~v · ~v2 = −3, sendo ~v1 = (3, 1,−2) e
~v2 = (−1, 1, 1).
5. Calcular ~u · ~v + ~u · ~w + ~v · ~w, sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0, ||~u|| = 2, ||~v|| = 3, ||~w|| = 5.
6. Calcular ||~u+ ~v||, ||~u− ~v|| e (~u+ ~v) · (~u− ~v), sabendo que ||~u|| = 4, ||~v|| = 3 e o ângulo entre ~u e
~v é de 600.
7. Demonstre:
a)||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + 2 < ~u,~v > +||~v||2
b)| < ~u,~v > | ≤ ||~u||.||~v||
c)||~u+ ~v|| ≤ ||~u||+ ||~v||.
8. Determine o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (1,−1, 2) tal que < ~u,~v >= −18.
9. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ~u = (2,−6, 3) e ~v = (4, 3, 1).
10. Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor ~v = (4, 1,−2).
11. Determinar o vetor ~u tal que ||~u|| = 2, o ângulo entre ~u e ~v = (1,−1, 0) é 450 e ~u é ortogonal a
~w = (1, 1, 0).
12. Seja o vetor ~v = (2,−1, 1). Obter
a) um vetor ortogonal a ~v;
b) um vetor unitário ortogonal a ~v; c) um vetor de norma 4 ortogonal a ~v.
13. Calcular o valor de m de modo que seja 1200 o ângulo entre os vetores ~u = (1,−2, 1) e ~v =
(−2, 1,m+ 1).
14. Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 600 com o vetor ~i.
15. Determinar o vetor ~a de norma 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor ~v = ~i − 2~k, e
forma ângulo obtuso com o vetor ~i.
16. Seja ~v um vetor não nulo qualquer e α, β e γ os ângulos que ~v forma com os vetores ~i,~j,~k,
respectivamente. Demonstre que:
a) cos2α+ cos2β + cos2γ = 1;
b) os cossenos diretores de ~v são as entradas do versor de ~v;
c) sendo θ o ângulo entre ~u e ~v de cossenos diretores cosα1, cosβ1, cosγ1 e cosα2, cosβ2, cosγ2,
respectivamente, então
cosθ = cosα1cosα2 + cosβ1cosβ2 + cosγ1cosγ2
17. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar o vetor projeção ortogonal de ~v sobre ~u e
decompor ~v como soma de ~v1 com ~v2, sendo ~v1//~u e ~v2⊥~u.
a) ~u = (1, 0) e ~v = (4, 3)
b) ~u = (1, 1) e ~v = (2, 5)
c) ~u = (4, 3) e ~v = (1, 2).
18. Bom trabalho!!!!!!!!
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