Parte 3 - Probabilidade

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Probabilidade
MSc. Paula Andrade
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Regra de bayes (teorema de bayes)
 Teorema (Teorema da Probabilidade Total): Se os
eventos B1, B2, ..., Bn constituem uma partição do espaço
amostral S = , de modo que P(Bi)0 para i=1, 2,...,n,
então para qualquer evento A de S = ,
2
       
1 1
|
n n
i i i
i i
P A P B A P B P A B
 
   
Regra de bayes (teorema de bayes)
 Teorema (Teorema de Bayes): Se os eventos B1, B1, ...,
Bn constituem uma partição do espaço amostral S = , de
modo que P(Bi)0 para i=1, 2,...,n, então para qualquer
evento A de S = , temos que
3
 
 
 
 
 
   
   
1
1
|
|
1, 2,...,
|
r r
r n
i
i
r r
n
i i
i
P B A P B A
P B A
P A
P B A
P B P A B
r n
P B P A B


 
 

 


Regra de bayes (teorema de bayes)
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 Exemplo: Em certa linha de montagem, três máquinas B1,
B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos produtos,
respectivamente. Sabe-se, de experiências anteriores, que
2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina são,
respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que um
produto, já acabado (pronto), seja selecionado
aleatoriamente.
a) Qual é a probabilidade de que tal produto apresente algum
defeito?
b) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito?
c) Suponha que o produto verificado seja defeituoso, qual das
três máquinas é mais provável que ele tenha sido
produzido?
EXERCÍCIO: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% d as
mulheres têm mais que 1,8 0m de altura. Por outro lado, 60%
dos estudantes são homens. Um estudante é selecionado
aleatoriamente:
a) Qual a probabilidade de ele ter mais de 1,80m de altura?
b) Se tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade que
seja uma mulher?
5 Regra de bayes (teorema de bayes)
 EXERCÍCIO: A probabilidade de um indivíduo de classe A
comprar um carro é de 3/4, de um indivíduo de classe B é
1/6 e um indivíduo de classe C é 1/20. A probabilidade de
um indivíduo de classe A comprar um c arro da marca D é
1/10, do indi víduo da classe B comprar um carro da
marca D é 3/5 e d e um indivíduo da classe C comprar um
carro da marca D é 3/10. Em certa loja, um carro da marca
D foi vendido. Qu al a probabilidade de que o comprador
tenha sido da classe B?
6 Regra de bayes (teorema de bayes)
Variáveis aleatórias e 
distribuições de probabilidade
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Conceito de variável aleatória
 Definição (Variável Aleatória): Uma variável aleatória é
uma função que associa um número real a cada
elemento de um espaço amostral S=.
 Exemplo (1): Duas bolas são retiras de uma urna que
contém quatro bolas vermelhas e três bolas pretas, sem
reposição. Seja Y a variável aleatória que conta o
número de bolas vermelhas na amostra extraída, então
Y = {0, 1 , 2}.
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Conceito de variável aleatória
 Exemplo (2): Considere a situação na qual componentes
estão saindo de uma linha de produção e são classificados
como defeituosos ou não defeituosos. Defina a variável
aleatória Z = {1, se o componente apresentar defeito; 0, se
o componente não apresentar defeito}.
 Exemplo (3): Há certo interesse na proporção
(porcentagem) de pessoas que respondem certa
solicitação de vendas por catálogo. Considere W esta
proporção. W é a variável aleatória que aceita todos os
valores w tais que 0  w  1.
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Conceito de variável aleatória
 Definição (Espaço Amostral Discreto): Se o espaço amostral
contém um número finito de possibilidades ou uma sequência
infinita mas enumerável de elementos, ele é chamado de
espaço amostral discreto.
 Exemplos:
 Z = sexo de uma criança = {1: masc.; 0: femin.}
 M = número de mulheres numa sala de 30 alunos = {0, 1, ..., 29,
30}
 R = número de carros num semáforo = {0, 1, 2, ....}
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Conceito de variável aleatória
 Definição (Espaço Amostral Contínuo): Se um espaço
amostral contém um número infinito de possibilidades
igual ao número de pontos de um segmento de reta, ele
é chamado de espaço amostral contínuo.
 Exemplos:
 Q = distância q entre dois carros = {q|q > 0}.
 U = tempo u de uma reação química = {u|u>0}
 T = proporção t de pessoas que são a favor da realização
da Copa no Mundo no Brasil = {t|0t  1}
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Distribuições de probabilidades discretas
 Definição (função de probabilidade – f.p.): O conjunto de
pares ordenados (x, fX(x)) é uma função de probabilidade
(f.p.) da variável aleatória discreta X, quando, para cada
resultado possível x:
1)
2)
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  0Xf x 
  1X
x
f x 
    ( )XP X x f x p x  
Distribuições de probabilidades discretas
 Definição (função de distribuição acumulada ou
função distribuição – f.d.): A função distribuição
acumulada ou função distribuição (f.d.) FX(x) de uma
variável aleatória (v.a.) discreta X, que tem uma
distribuição de probabilidade fX(x) é:
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      ,X X
t x
F x P X x f t para x

   
Distribuições de probabilidades discretas
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 Exemplo: Um carregamento de oito microcomputadores
similares para um ponto de venda contém três que
apresentam defeitos. Se uma escola faz uma compra
aleatória de dois desses microcomputadores, determine a
distribuição de probabilidade para o número de
defeituosos.
Distribuições de probabilidades contínuas
 Definição (função densidade de probabilidade – f.d.p.):
A função fX(x) é a função densidade de probabilidade para
a variável aleatória (v.a.) contínua X, definida no conjunto
dos números reais , se:
1)
2)
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  0Xf x 
  1Xf x dx



   3)
b
X
a
P a X b f x dx   
Distribuições de probabilidades contínuas
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 Exemplo: Suponha que o erro na temperatura de
reação (em ºC), para um experimento de laboratório
controlado, seja a variável aleatória contínua X, que
tem a função de densidade de probabilidade
 
2
1 2
3
0
X
x
para x
f x
casocontrário

  
 


Esperança matemática
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Esperança matemática
 Definição (MÉDIA ou ESPERANÇA ou VALOR
ESPERADO): Seja X uma variável aleatória com
distribuição de probabilidade fX(x). A média ou valor
esperado ou esperança de X é
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 
xx
X xXxPxfxXE ][)(][



 dxxfxXE X )(][
(Se X for discreto)
(Se X for contínua)
Esperança matemática
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 Exemplo : Um lote com 7 (sete) componentes é analisado
pelo inspetor de qualidade; o lote contém 4 (quatro)
componentes em bom estado e 3 (três) componentes
defeituosos. Uma amostra de 3 (três) é retirada pelo
inspetor. Determine a esperança (ou a média populacional)
do número de componentes em bom estado nessa amostra.
Esperança matemática
 Teorema: Seja X uma variável aleatória com distribuição de
probabilidade fX(x). A média ou valor esperado ou esperança
da variável aleatória g(X) é
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 
xx
XXg xXxPxfxgXgE ][)()()]([)(



 dxxfxgXgE XXg )()()]([)(
(Se X for discreto)
(Se X for contínua)
Esperança matemática
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 Exemplo : Suponha que o número de carros X que passa por
um lava-rápido entre 16h e 17h, numa sexta-feira ensolarada,
tenha a seguinte distribuição de probabilidade.
Seja g(X) = 2X  1 a quantia (em dólares) paga ao atendente
pelo gerente. Determine os ganhos esperados do atendente
para esse período em particular.
x 4 5 6 7 8 9
P[X = x] 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6
Esperança matemática
 Definição (VARIÂNCIA): Seja X uma variável aleatória
com distribuição de probabilidade fX(x). A variância de X é
Nota: A raiz quadrada positiva da variância, , é chamada
de desvio-padrão de X.
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 
x
xXPxXE ][)(])[( 222 



 dxxfxXE X )()(])[(
222 
(Se X for 
discreto)
(Se X for 
contínua)
Esperança matemática
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 Exemplo: Seja a variável aleatória X o número de
automóveis usados com propósitos comerciais durante um
dia de trabalho. A distribuição de probabilidade para a
empresa A é.
E para a empresa B é
Mostre que a variância da distribuição de probabilidade da
empresa B é maior do que a da empresa A.
x 1 2 3
P[X = x] 0,3 0,4 0,3
x 0 1 2 3 4
P[X = x] 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Esperança matemática Teorema: A variância de uma variável aleatória X é
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222 ][)(   XEXV