02_Raciocinio_Logico_e_Matematico

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CORREIOS 
 
1 Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação). ............................................................................................................................................... 1 
2 Princípios de contagem e probabilidade. 3 Arranjos e permutações. 4 Combinações. .................... 32 
5 Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais) e operações com conjuntos. .. 53 
6 Razões e proporções (grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais, 
porcentagem, regras de três simples e compostas)................................................................................ 92 
7 Equações e inequações. ............................................................................................................... 119 
8 Sistemas de medidas. ................................................................................................................... 163 
9 Volumes. ....................................................................................................................................... 171 
10 Compreensão de estruturas lógicas. ........................................................................................... 185 
11 Lógica de argumentação (analogias, inferências, deduções e conclusões). ............................... 204 
12 Diagramas lógicos. ..................................................................................................................... 228 
 
 
 
 
 
 
 
 
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foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
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MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal 
que c . b = a. 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela 
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números 
da sucessão dos naturais: 
 
7 x 0 = 0 
7 x 1 = 7 
7 x 2 = 14 
7 x 3 = 21 
7 x 4 = 28 
7 x 5 = 35 
⋮ 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 
14, 21, 28,...}. 
 
Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k 
(kN). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k 
N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando 
ele é par. 
Exemplos: 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par. 
 
1 Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação e radiciação). 
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Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos é divisível por 3. 
Exemplos: 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um 
número divisível por 4. 
Exemplos: 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado 
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será 
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 
417 – 4 = 413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou 
formarem um número divisível por 8. 
Exemplos: 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 
8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é 
divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos formam um número divisível por 9. 
Exemplos: 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em 
zero. 
Exemplos: 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou 
quando essas somas forem iguais. 
Exemplos: 
 - 43813: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 
15.) 
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. 3 
 4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismosde posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 
 
-83415721: 
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 
 8 3 4 1 5 7 2 1 
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 
 
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). 
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). 
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 
 
Fatoração numérica 
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número 
natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente 
e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O produto de 
todos os fatores primos representa o número fatorado. 
Exemplo: 
 
Divisores de um número natural 
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 
12 = 22 . 31 
 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 
Logo o número de divisores de 12 são: 
22⏟
(2+1)
. 31⏟
(1+1)
 → (2 + 1) .(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais 
 
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu 
respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na 
decomposição do número natural. 
Exemplo: 
12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 
20 . 30=1 
20 . 31=3 
21 . 30=2 
21 . 31=2.3=6 
22 . 31=4.3=12 
22 . 30=4 
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
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. 4 
 
Observação 
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois 
divisores, um negativo e o outro positivo). 
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. 
 
Questões 
 
01. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é: 
(A) 8 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 20 
 
02. (Professor/Pref.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto 
dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 10 
 
03. (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e 
pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais 
condições é: 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 8 
(E) 10 
 
04. (Pref.de Niterói) No número a=3x4, x representa um algarismo de a. Sabendo-se que a é divisível 
por 6, a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 15 
 
05. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO) Em uma caixa há cartões. Em cada um dos cartões está 
escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois cartões com o mesmo número escrito, 
e a quantidade de cartões é a maior possível. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais 
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, quantos cartões restarão na caixa? 
(A)12 
(B)11 
(C)3 
(D)5 
(E) 10 
 
06. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – Motorista – ZAMBINI/2016) Na sequência matemática a 
seguir, os dois próximos números são 
65 536 ; 16 384 ; 4 096 ; 1 024 ; _________ ; ________ 
(A) 256 e 64 
(B) 256 e 128 
(C) 128 e 64 
(D) 64 e 32 
 
07. (BRDE-RS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo. 
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. 5 
I) 10n + 2 
II) 2 . 10n + 1 
III) 10n+3 – 10n 
 
Quais são divisíveis por 6? 
(A) apenas II 
(B) apenas III 
(C) apenas I e III 
(D) apenas II e III 
(E) I, II e III 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores 
de 40. 
 
02. Resposta: D. 
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: 
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo: 
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos: 
24 = 23 .3 , para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e 
multiplicamos o resultado: 
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 
 
03. Resposta: D. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par 
também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. 
Logo os finais devem ser 4 e 6: 
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números. 
 
04. Resposta: E. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 
quando a sua soma for múltiplo de 3. 
3 + x + 4 = .... os valores possíveis de x são 2, 5 e 8, logo 2 + 5 + 8 = 15 
 
05. Resposta: A. 
Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 
4. 
Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 (15 
ao todo). 
Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24, 36 e 48 (3 ao todo) 
Logo: 15 – 3 = 12 
 
06. Resposta: A. 
Se dividimos 4096 por 1024, obtemos como resultado 4. Com isso percebemos que 4096 é o produto 
de 1024 x 4, e 4096 x 4 = 16384. Então fica evidente que todos os números são múltiplos de 4. Logo para 
sabermos a sequência basta dividirmos 1024/4 = 256 e 256/4 = 64. 
Com isso completamos a sequência: 256; 64. 
 
07. Resposta: C. 
n ∈ N divisíveis por 6: 
 
 I) II) III) 
N 10n + 2 2 x 10n+1 10n+3 – 10n 
1 10 + 2 = 12 20 + 1 = 21 10.000 -10 = 9.990 
2 100 + 2 = 102 200 + 1 = 201 100.000 - 100 = 99.900 
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. 6 
3 1.000 + 2 = 1.002 2.000 + 1 = 2.001 1.000.000 – 1.000 = 999.000 
4 10.000 + 2 = 10.002 20.000 + 1 = 20.001 10.000.000 - 10.000 = 9.990.000 
 
I) É divisível por 2 e por 3, logo é por 6. (Verdadeira) 
II) Os resultados são ímpares, logo não são por 2. (Falsa) 
III) É Verdadeira, pela mesma razão que a I 
 
NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
 
Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de 
várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto, 
necessários dois números inteiros: 
a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a 
cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração; 
b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, 
chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos 
da fração. 
Observe a figura abaixo: 
 
 
A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro, pois representa a fração cheia; a ré é 12/14 e assim 
sucessivamente. 
 
Nomenclaturas das Frações 
 
 
Numerador → Indica quantas partes 
tomamos do total que foi dividida a 
unidade. 
 
Denominador → Indica quantas partes 
iguais foi dividida a unidade. 
 
No figura acima lê-se: três oitavos. 
 
-Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos,oitavos, 
nonos e décimos. 
-Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de 
milésimos, centésimos de milésimos etc. 
- Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o 
denominador seguido da palavra “avos”. 
 
Exemplos: 
8
25
 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑜𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑣𝑜𝑠; 
 
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. 7 
2
100
 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠; 
 
 
Tipos de Frações 
 
- Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. 
Exemplos: 
1
6
;
5
8
;
3
4
; … 
 
- Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. 
Exemplos: 
6
5
;
8
5
;
4
3
; … 
 
- Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao 
grupo das frações impróprias. 
Exemplos: 
6
1
;
8
4
;
4
2
; … 
 
- Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza, dividimos esta pelo 
denominador e multiplicamos pelo numerador. 
Exemplos: 
1 – Se o numerador é igual a zero, a fração é igual a zero: 0/7 = 0; 0/5=0 
2- Se o denominador é 1, a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25; 325/1 = 325 
 
- Quando o denominador é zero, a fração não tem sentido, pois a divisão por zero é impossível. 
- Quando o numerador e denominador são iguais, o resultado da divisão é sempre 1. 
 
- Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos 
transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. 
Exemplos: 
𝑨) 
25
7
= 3
4
7
⇒ 
 
𝑩) 3
4
7
=
25
7
⇒ 
 
 
- Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. 
Exemplo: 
4: 4
8: 4
=
1
2
; 𝑜𝑢 
4: 2
8: 2
=
2
4
; 𝑜𝑢 
2: 2
4: 2
=
1
2
 
 
As frações 
4
8
,
2
4
 e 
1
2
 são equivalentes. 
 
-Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. 
Exemplo: 5/11 ; 17/29; 5/3 
 
Comparação e simplificação de frações 
 
Comparação: 
- Quando duas frações tem o mesmo denominador, a maior será aquela que possuir o maior 
numerador. 
Exemplo: 5/7 >3/7 
 
- Quando os denominadores são diferentes, devemos reduzi-lo ao mesmo denominador. 
Exemplo: 7/6 e 3/7 
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. 8 
1º - Fazer o mmc dos denominadores → mmc(6,7) = 42 
7.7
42
 𝑒 
3.6
42
→
49
42
 𝑒 
18
42
 
2º - Compararmos as frações: 
49/42 > 18/42. 
 
Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os 
iniciais. Com isso formamos frações equivalentes a primeira. 
Exemplo: 
4: 4
8: 4
=
1
2
 
 
Operações com frações 
 
- Adição e Subtração 
Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores. 
 
 
Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os 
denominadores. 
O processo é valido tanto para adição quanto para subtração. 
 
 
 
 
 
Multiplicação e Divisão 
 
- Multiplicação: É produto dos numerados dados e dos denominadores dados. 
Exemplo: 
 
 
Podemos ainda simplificar a fração resultante: 
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. 9 
288: 2
10: 2
=
144
5
 
 
- Divisão: O quociente de uma fração é igual a primeira fração multiplicados pelo inverso da segunda 
fração. 
Exemplo: 
 
Simplificando a fração resultante: 
168: 8
24: 8
=
21
3
 
 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades, dezenas, centenas, etc. 
 
Leitura e escrita dos números decimais 
 
Exemplos: 
 
 
Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil, trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze 
milésimos. 
0,9 → nove décimos. 
5,6 → cinco inteiros e seis décimos. 
472,1256 → quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, duzentos, cinquenta e seis décimos-
milésimos. 
 
Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa 
 
A quantidade de zeros 
corresponde ao 
números de casas 
decimais após a vírgula 
e vice-versa 
(transformar para 
fração). 
 
Operações com números decimais 
 
- Adição e Subtração 
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra: 
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros. 
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula. 
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais. 
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados. 
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. 10 
 
Exemplos: 
 
 
- Multiplicação 
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: 
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais. 
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos 
outros fatores. 
Exemplos: 
1) 652,2 x 2,03 
Disposição prática: 
 
 
2) 3,49 x 2,5 
Disposição prática: 
 
 
- Divisão 
Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: 
- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor. 
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais. 
 
Exemplos: 
1) 24 : 0,5 
Disposição prática: 
 
 
Nesse caso, o resto da divisão é igual a zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o 
quociente é exato. 
 
2) 31,775 : 15,5 
Disposição prática: 
 
 
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. 11 
 
Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo, e assim 
sucessivamente até chegarmos ao resto zero. 
 
3) 0,14 : 28 
Disposição prática: 
 
 
4) 2 : 16 
Disposição prática: 
 
 
 
Referência 
CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) João gastou R$ 23,00, equivalente a terça parte de 3/5 de sua mesada. Desse modo, 
a metade do valor da mesada de João é igual a: 
(A) R$ 57,50; 
(B) R$ 115,00; 
(C) R$ 172,50; 
(D) R$ 68,50; 
 
02. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Uma revista 
perdeu 
1
5
 dos seus 200.000 leitores. 
Quantos leitores essa revista perdeu? 
(A) 40.000. 
(B) 50.000. 
(C) 75.000. 
(D) 95.000. 
(E) 100.000. 
 
03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a 
uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe 
havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º 
filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor 
quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente 
que a fração de uma torta que sobrou foi 
(A) 5 / 6. 
(B) 5 / 9. 
(C) 7 / 8. 
(D) 2 / 3. 
(E) 5 / 24. 
 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma pessoa está montando um quebra-cabeça que 
possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados 
5
16
 do número total de peças e, no 2.º dia foram 
montados 
3
8
 do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam ser montadas para 
finalizar o quebra-cabeça é: 
(A) 190. 
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. 12 
(B) 200. 
(C) 210. 
(D) 220. 
(E) 230. 
 
05. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços, 
todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, 
cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram? 
(A) 4 
(B) 6 
(C) 8 
(D) 10 
(E) 12 
 
06. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada 
uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos.Quantos reais ela 
recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
07. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Certa praça tem 720 m2 de área. 
Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. 
Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? 
(A) 
1
600
 
 
(B) 
1
120
 
 
(C) 
1
90
 
 
(D) 
1
60
 
 
(E) 
1
12
 
 
08. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Se 1 kg de 
um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará 
7
5
 desta mesma carne? 
(A) R$ 90,00. 
(B) R$ 73,00. 
(C) R$ 68,00. 
(D) R$ 63,00. 
(E) R$ 55,00. 
 
09. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do 
salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos 
reais ainda restam? 
(A) R$ 120,00 
(B) R$ 150,00 
(C) R$ 180,00 
(D) R$ 210,00 
(E) R$ 240,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
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. 13 
Vamos chamar de x a mesada. 
Como ele gastou a terça parte 1/3 de 3/5 da mesada que equivale a 23,00. Podemos escrever da 
seguinte maneira: 
1
3
.
3
5
𝑥 =
𝑥
5
= 23 → 𝑥 = 23.5 → 𝑥 = 115 
 
Logo a metade de 115 = 115/2 = 57,50 
 
02. Resposta: A. 
1
5
 . 200000 = 40000 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: 
* Dona Amélia: 
𝟐
𝟑
 . 𝟏 = 
𝟐
𝟑
 
 
* 1º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟐
𝟑
= 𝟏 
 
* 2º filho: 
𝟑
𝟐
 . 𝟏 = 
𝟑
𝟐
 
 
* 3º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟑
𝟐
= 
𝟗
𝟒
 
 
* 4º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟗
𝟒
 = 
𝟐𝟕
𝟖
 
 
𝟐
𝟑
+ 𝟏 + 
𝟑
𝟐
 + 
𝟗
𝟒
 + 
𝟐𝟕
𝟖
 
 
𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏
𝟐𝟒
= 
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟒
= 𝟖 .
𝟐𝟒
𝟐𝟒
+ 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
 = 𝟖 + 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
 
 
Ou seja, eles comeram 8 tortas, mais 19/24 de uma torta. 
Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: 
 
𝟐𝟒
𝟐𝟒
− 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
= 
𝟓
𝟐𝟒
 
 
04. Resposta: D. 
* 1º dia: 
5
16
 . 512 = 
2560
16
= 160 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
 
* Restante = 512 – 160 = 352 peças 
 
* 2º dia: 
3
8
 . 352 = 
1056
8
= 132 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
 
* Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças 
 
05. Resposta: B. 
1
4
+
1
4
+
1
4
=
3
4
 
Sobrou 1/4 do bolo. 
 24 ∙
1
4
= 6 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
 
06. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
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. 14 
07. Resposta: B. 
600 dm² = 6 m² 
 
6
720
∶ 
6
6
= 
1
120
 
 
08. Resposta: D. 
7
5
 . 45 = 7 . 9 = 63 
 
09. Resposta: B. 
Aluguel:1000 ∙
1
4
= 250 
Outras despesas: 1000 ∙
3
5
= 600 
 250 + 600 = 850 
Restam :1000 – 850 = R$ 150,00 
 
POTENCIAÇÃO 
 
 
Observando a figura acima, quantos cubos há: 
1) em uma barra? 
2) uma placa? 
3) um bloco? 
 
Respondendo a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações: 
1) 1 barra = 10 cubinhos 
2) 1 placa = 10 .10 = 100 cubinhos 
3) 1 bloco = 10.10.10 = 1000 cubinhos 
 
A esse tipo de multiplicação de fatores iguais chamamos de Potenciação. 
Vejamos: 
 
 
 
Na figura acima, observamos a repetição de um fator (dez – 10) ao qual chamamos de base, e a 
quantidade de vezes que essa base se repete (2, 3, 4...) chamamos de expoente, ao resultado da 
potenciação chamamos de potência. Dessa forma podemos representar essa repetição da seguinte 
forma: 
10.10 = 10² (lê-se 10 elevado a 2ª potência ou ao quadrado) 
10.10.10 = 10³ (Lê-se 10 elevado a 3ª potência ou ao cubo) 
E assim sucessivamente. 
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. 15 
 
 
- Propriedades da Potência 
 
1) Todo número elevado a zero é igual 1(um): 
𝐚𝟎 = 𝟏 
Exemplos: 
210 = 1 ; 
20 = 1. 
 
2) Multiplicação de potência de mesma base: 
Conserva-se a base e soma-se os expoentes. 
𝐚𝐦. 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦+𝐧 
Exemplos: 
212 .2152 = 212 + 52 ; 
20.23 = 20 + 3. 
 
3) Divisão de potência de mesma base: 
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. 
𝐚𝐦: 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦−𝐧, 𝐚 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
2121 : 2110 = 2121 – 10 = 2111; 
23 : 23 = 23 – 3 = 20 = 1. 
 
4) Potência de uma potência: 
Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes. 
(𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦.𝐧 
Exemplos: 
(𝟑𝟔)𝟕 = 𝟑𝟔.𝟕 = 𝟑𝟒𝟐 
(𝟓𝟐)𝟎 = 𝟓𝟐.𝟎 = 𝟓𝟎 = 𝟏 
 
5) Multiplicação de potência de mesmo expoente: 
Conserva-se os expoentes e multiplicam-se as bases. 
𝐚𝐧. 𝐛𝐧 = (𝐚. 𝐛)𝐧 
Exemplos: 
26. 36 = (2.3)6 = 66 
52.82.72 = (5.8.7)2 = 2802 
 
6) Divisão de potência de mesmo expoente: 
Conserva-se os expoentes e dividem-se as bases. 
𝐚𝐧: 𝐛𝐧 = (𝐚: 𝐛)𝐧; 𝐛 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
46 : 26 = (4 : 2)6 = 26 
102 : 82 = (10 : 8)2 = (5/4)2 
 
7) Potência de um produto: 
Eleva-se cada termo da multiplicação ao expoente. 
 (𝐚. 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧. 𝐛𝐧 
Exemplos: 
(2.3)6 = 26.36 
(5.8.7)2 = 52.82.72 
 
8) Potência de um quociente: 
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. 16 
Eleva-se cada termo da divisão ao expoente. 
 (𝐚: 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧: 𝐛𝐧, 𝐛 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
(2 : 3)6 = 26 : 36 
(10 : 8)2 = 102 : 82 
 
9) Base elevada a expoente par: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a um expoente par terá sempre como resultado 
um número positivo. 
Exemplos: 
(-3)2 = -3.-3 = 9 
(7)4 = 7.7.7.7 = 2 401 
 
10) Base elevada a expoente ímpar: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a um expoente impar terá sempre como resultado 
sempre o mesmo sinal da base. 
Exemplos: 
(-3)3 = -3.-3.-3 = -27 
(7)5 = 7.7.7.7.7 = 16 807 
 
11) Base elevada a expoente negativo: 
Inverte-se a base da potenciação e muda-se o sinal do expoente. 
𝐚−𝟏 = (
𝟏
𝐚
)
𝟏
 
Exemplos: 
2−2 = (
1
2
)
2
=
1
4
 
3−4 = (
1
3
)
4
=
1
81
 
 
12) Potência elevada a uma outra potência: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a vários expoentes simultaneamente, deve ser 
resolver cada expoente separadamente até chegar a uma potência. 
𝐚𝐦𝐧
𝐩
 
Exemplos: 
𝟑𝟐
𝟐
 → Vamos resolver primeiro 22 = 4, logo ficamos com 34 = 81 
𝟔𝟑
𝟐
 → Vamos resolver primeiro 32 = 9, logo ficamos com 69 
 
Referências 
Apostila Telecurso 2000 
www.vivendoentresimbolos.com/2012/10/potenciacao.html 
 
 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – Motorista – ZAMBINI/2016) A expressão numérica abaixo 
apresenta como resultado 
 
(A) 243. 
(B) 729. 
(C) 2.187. 
(D) 6.561. 
 
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. 17 
02. (TRF-3ª REGIÃO -Técnico Judiciário - Área Administrativa – FCC) O resultado da expressão 
numérica 53 ÷ 5 . 54 ÷ 5 . 55 ÷ 5 ÷ 56 − 5 é igual a 
(A) 120. 
(B) 1/5. 
(C) 55. 
(D) 25. 
(E) 620. 
 
03. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Analise as operações a seguir: 
I abac=ax 
 
II 
𝑎𝑏
𝑎𝑐
= 𝑎𝑦 
 
III (𝑎𝑐)2 = 𝑎𝑧 
 
De acordo com as propriedades da potenciação, temos que, respectivamente, nas operações I, II e III: 
 (A) x=b-c, y=b+c e z=c/2. 
(B) x=b+c, y=b-c e z=2c. 
(C) x=2bc, y=-2bc e z=2c. 
(D) x=c-b, y=b-c e z=c-2. 
(E) x=2b, y=2c e z=c+2. 
 
04. (FUVEST) A metade de 2100 é: 
(A) 250 
(B) 1100 
(C) 299 
(D) 251 
(E) 150 
 
05. (UFSM) Efetuando a divisão ex : ex-2, teremos: 
(A) e-2 
(B) ex2-2x 
(C) e2 
(D) 𝑒
𝑥
𝑥−2 
(E) ex 
 
06. Simplificando a expressão: 
2𝑛+4 − 2. 2𝑛
2. 2𝑛+3
 
Obtém-se: 
(A) 1/8 
(B) 7/8 
(C) -2n+1 
(D) 1-2n 
(E) 7/4 
 
07. (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x+3 = 2x . 23 
II. (25)x = 52x 
III. 2x + 3x = 5x 
(A) somente a I é verdadeira; 
(B) somente a II é verdadeira; 
(C) somente a III é verdadeira; 
(D) somente a II é falsa; 
(E) somente a III é falsa. 
 
08. (UFPA) Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se: 
(A) a 
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. 18 
(B) 2-30 
(C) 2-6 
(D) 1 
(E) 236 
 
09. (CEFET-BA) Se 53a= 64, o valor de5-a é: 
(A) -1/4 
(B) 1/40 
(C) 1/20 
(D) 1/8 
(E) 1/4 
 
10. (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2(-4)2, (-2)4, (-2)-4é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Resolvendo cada item teremos: 
2² = 4 
24 = 16 
32
22
= 32
4
= 316 
((3²)²)² = 3².2.2 = 38 
(32)2
2
= (32)4 = 32.4 = 38 
(32
2
)
2
= (34)2 = 34.2 = 38 
 
Vamos montar agora que item simplificado: 
316
38
.
38
38
→
316
38
→ 316−8 → 38, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 38 = 6561 
 
02. Resposta: A. 
Vamos aplicar as propriedades de potência: 
1ª vamos resolver todas as divisões, onde subtraímos os expoentes das potências de mesma base: 
(53 ÷ 5) . (54 ÷ 5 ). (55 ÷ 5) ÷ 56 – 5 → (52 . 53 . 54)÷ 56 – 5 , agora vamos resolver a multiplicação , onde 
somamos os expoentes → 59 ÷ 56 – 5, novamente resolvemos a divisão, onde subtraímos os expoentes 
→ 53 -5 , agora resolvemos a potência 53 = 125 → 125 – 5 = 120. 
 
03. Resposta: B. 
I da propriedade das potências, temos: 
𝑎𝑥 = 𝑎𝑏+𝑐 ⇒ 𝑥 = 𝑏 + 𝑐 
 
II 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏−𝑐 ⇒ 𝑦 = 𝑏 − 𝑐 
 
III 𝑎2𝑐 = 𝑎𝑧 ⇒ 𝑧 = 2𝑐 
 
04. Resposta: C. 
Como queremos saber a metade de 2100, precisamos dividir esta potência por 2, e subtrairmos os 
expoentes (divisão de mesma base), logo: 
2100
2
= 2100−1 = 299 
 
05. Resposta: C. 
Na divisão de potências de mesma base, conserva-se as bases e subtrai-se os expoentes: 
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. 19 
𝑒𝑥
𝑒𝑥−2
= 𝑒𝑥−(𝑥−2) = 𝑒𝑥−𝑥+2 = 𝑒2 
 
06. Resposta: B. 
2𝑛+4 − 2𝑛+1
2𝑛+3+1
=
2𝑛+4 − 2𝑛+1
2𝑛+4
=
2𝑛+4
2𝑛+4
−
2𝑛+1
2𝑛+4
= 2𝑛+4−(𝑛+4) − 2𝑛+1−(𝑛+4) = 20 − 2−3 
 
1 −
1
23
= 1 −
1
8
=
8 − 1
8
=
7
8
 
 
07. Resposta: E. 
I. 2x+3 = 2x . 23 → multiplicação de potência de mesma base, conserva-se os expoentes e soma-se as 
bases, logo: 2x+3 = 2x+3 → Verdadeira 
II. (25)x = 52x → sabemos que 25 = 52 , e em uma potência de uma outra potência temos (52)=52x, logo 
verdadeira. 
,III. 2x + 3x = 5x → Neste caso, se fazemos o valor de x = 1, a igualdade é verdadeira, mas para qualquer 
outro valor x>1, temos que a igualdade não é verdadeira, logo: Falsa 
 
08. Resposta: D. 
Vamos aplicar as propriedades das potências, resolvendo primeiro o que está nos parênteses e depois 
nos colchetes. 
[29: (22+1)3]
−3
→ [29: (23)3]
−3
→ [29: (23.3)]
−3
→ [29: 29]−3 → [20]−3 → 20.−3 → 1 
 
09. Resposta: E. 
Temos que 64 = 26 = 22.3→ 64=(22)3 
E como 53a =64, reescrevemos assim: 53a = (22)3 → observe que 53a = (5a)3 , com isso temos: 
(5𝑎)3 = (22)3, como os expoentes são iguais, podemos escrever da seguinte maneira: 5a=22 →5a =4, 
como queremos o resultado de 5-a, aplicamos a propriedade de ambos os lados: 
5-a = 4-1 → 5-a = ¼ 
 
10. Resposta: B. 
Resolvendo cada um temos que (aplicamos as propriedades da potenciação): 
24 = 16 
42 = 16 
4-2 = 1/16 
(- 4)2 = 16 (todo número elevado a expoente par é sempre positivo) 
(- 2)4 = 16 
(- 2)-4 = (1/-24) = 1/16 
Como observamos os números que aparecem na sequência é: 16 e 1/16 (2 ao todo). 
 
RADICIAÇÃO 
 
Considere o quadrado ao lado. 
Podemos dizer que a área desse quadrado é 42 = 16 4 
 
 4 
Sabendo que a área é 16 podemos calcular a medida de seu lado fazendo 16 = 4, pois 42 = 16. 
 
Observe o cubo ao lado. 
 
Podemos dizer que o volume do cubo é 53 = 125 5 
 
 5 
 5 
Sabendo que o volume é 125, podemos calcular a medida de sua aresta fazendo 
 
3 125 = 5, pois 53 = 125. 
 
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. 20 
Da mesma forma: 
3 64 = 4, porque 43 = 64; 4 81= 3, porque 34 = 81; 5 32 = 2, porque 25 = 32. 
Ou, de modo geral, indicando a raiz enésima de a por b, podemos escrever: 
abba nn  (n  N e n ≥1) 
 
Na raiz 
n a , o número n é chamado índice e o número a, radicando. 
Veja os exemplos: 
- Na raiz 25 , o radicando é 25 e o índice é 2. 
- Na raiz 
3 27 , o radicando é 27 e o índice é 3. 
 
Observação: Podemos omitir o índice 2 na indicação da raiz quadrada. Assim: 
2 25 = 25 
 
Raiz de um Número Real 
1º Caso: n = 1 
Se n = 1, então 
1 a = a 
 
Exemplos: 
- 
1 10 = 10, porque 101 = 10 
- 
1 8 = – 8, porque (– 8)1 = – 8 
 
A raiz de índice 1 é igual ao próprio radicando. 
 
2º Caso: n é par e a > 0 
Considere como exemplo a raiz 25 . Nele o radicando a = 25 é positivo e o índice n = 2 é par. 
 
Temos: 
(– 5)2 = 25 e (+ 5)2 = 25 
 
Deveríamos então dizer que a raiz quadrada de 25 é 5 ou –5, porém o resultado de uma operação 
deve ser único e, para que não haja dúvida quanto ao sinal da raiz, convencionaremos que: 
 
25 = 5 
 
A raiz de índice par de um número positivo é um número positivo. 
 
3º Caso: n é ímpar 
 
Considere como exemplos as raízes: 
 
- 
3 64 , na qual a = 64 (positivo) e n = 3 (ímpar). Temos: 
 
3 64 = 4, porque 43 = 64 
 
- 
3 64 , na qual a = - 64 (negativo) e n = 3 (ímpar). Temos: 
 
3 64 = - 4, porque (- 4)3 = - 64 
 
A raiz de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando. 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 21 
 
Observação: A raiz de índice n do número zero é zero, ou seja: 
 
n 0 = 0, para todo n  N* 
 
4º Caso: n é par e a < 0 
 
Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par). 
Não existe raiz quadrada real de -36, porque não existe número real que, elevado ao quadrado, dê -
36. 
 
Não existe a raiz real de índice par de um número real negativo. 
 
Potência com Expoente Fracionário 
Observe as equivalências em que as bases das potências são positivas: 
 
  2
6
636223 777777  ou 
 
6- Expoente do radicando 
2- Índice da raiz 
 
Essas equivalências nos sugerem que todo radical de radicando positivo pode ser escrito em forma de 
potência com expoente fracionário. Assim: 
 
n
m
n m aa  ( ZmRa   ,
*
e *Nn ) 
 
Exemplos: 
 
- 5
3
5 3 22  
- 4
1
4 33  
 
Propriedade dos Radicais 
 
1ª Propriedade: 
Considere o radical 5555
13
3
3 3  
 
De modo geral, se ,,
*NnRa   então: 
 
aan n  
 
O radical de índice n de uma potência com expoente também igual a n dá como resultado a base 
daquela potência. 
 
2ª Propriedade: 
Observe:   5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
 
 
De modo geral, se ,,,
*NnRbRa   então: 
 
 
nnn baba ..  
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 22 
 
 Radical de um produto Produto dos radicais 
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo 
índice dos fatores do radicando. 
 
3ª Propriedade: 
 
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1






 
 
De modo geral, se ,,,
** NnRbRa 

então: 
 
n
n
n
b
a
b
a
 
 
 
Radical de um quociente Quociente dos radicais 
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de 
mesmo índice dos termos do radicando. 
 
4ª Propriedade: 
Observe: 
3 23
2
12
8
12 8 3333  
 
Então: 
12 83 23 212 8 3333  e 
De modo geral, para ,,,
*NnNmRa   se p 
*N , temos: 
pn pmn m aa
. . 
 
Se p é divisor de m e n, temos: 
pn pmn m aa
: : 
 
Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural 
maior que zero, o valor do radical não se altera. 
 
Simplificação de Radicais 
 
1º Caso 
O índice do radical e o expoente do radicando têm fator comum. De acordo com a 4ª propriedade dos 
radicais podemos dividir o índice e o expoente pelo fator comum. 
 
Exemplo 
Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3,temos: 
 
3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa  
 
2º Caso 
Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do índice. Considere o radical ,
.n pna com 
,Ra
*Nn e .Zp Temos: 
pn
pn
n pn aaa 
.
.
 
 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 23 
Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radicando cujos expoentes são múltiplos do 
índice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o quociente entre o expoente e o 
índice. 
 
Exemplo 
44282482482 9..3..3..381 abbabababa  
 
3º Caso 
Os expoentes dos fatores do radicando são maiores que o índice, mas não múltiplos deste. 
Transforma-se o radicando num produto de potências de mesma base, sendo um dos expoentes múltiplos 
do índice; 
 
Exemplo 
ababababbaaba b2242435 .......  
 
Passagem de um fator para fora e para dentro de um radical 
Decompõe-se o radicando num produto de fatores primos e aplica-se a propriedade da multiplicação 
de radicais. 
Para passar um fator para dentro do radical eleva-se este ao índice do radical. 
Exemplos: 
√108 
 
 
 
2√5 = √(22´5) = √20 
33√52 = 3√(33´52) = 3√(27´25) = 3√675 
 
Racionalização de Denominadores 
Vamos transformar o radical de um denominador em um número racional a fim de facilitar o cálculo da 
divisão, eliminando-o do denominador. Esta racionalização pode ser feita multiplicando-se o numerador 
e o denominador da fração por um mesmo fator, obtendo-se uma fração equivalente à anterior. Esse fator 
recebe o nome de fator de racionalização ou racionalizante. 
Vejamos os casos: 
 
1º Caso: Denominadores do tipo √𝑎𝑚
𝑛
 
Observemos que: 
√𝑎𝑚
𝑛
. √𝑎𝑛−𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚. 𝑎𝑛−𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚+𝑛−𝑚
𝑛
= √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 
Assim quando encontrarmos um denominador do tipo √𝑎𝑚
𝑛
 bastas multiplicar o seu numerador e o seu 
denominador por √𝑎𝑛−𝑚
𝑛
 (fator racionalizante) para eliminarmos o radical do denominador. 
 
2º Caso: Denominadores do tipo √𝑎 ± √𝑏 
Vamos utilizar o conceito de produto notável para resolvermos a questão: 
(A+B).(A-B)= A2 – B2, aplicando ao denominador obteremos um resultado racional. 
então √108 = √ (22.32.3) = √22.√33.√3 = 2´3´√3 = 6√3 
 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 24 
(√𝑎 + √𝑏). (√𝑎 − √𝑏) = (√𝑎)
2
− (√𝑏)
2
= 𝑎 − 𝑏 
Para este caso basta multiplicarmos o denominador pelo seu conjugado, eliminando assim o radical 
do denominador. 
Assim: 
 
Denominador : √𝑎 + √𝑏 → conjugado √𝑎 − √𝑏 
Denominador : √𝑎 − √𝑏 → conjugado √𝑎 + √𝑏 
 
Questões 
 
01. (TRT –Técnico Judiciário) Considere as sentenças abaixo: 
 
 
 
Quais são verdadeiras? 
(A) Apenas I 
(B) Apenas II 
(C) Apenas III 
(D) Apenas I e II 
(E) Apenas II e III 
 
02. (BRDE-RS) – Se x = √2 - 1, o número 
1
𝑥
 - x é: 
(A) ímpar 
(B) negativo 
(C) nulo 
(D) irracional 
(E) primo 
 
03. Ao racionalizar o numerador da expressão 
√𝑥+ℎ − √𝑥
ℎ
 com h ≠ 0, encontra-se: 
 
 
04 . (Fuvest) 
𝟐
√𝟓+𝟑
−
𝟐
√𝟐
𝟑 é igual a: 
 
(A) √5 + √3 + √4
3
 
(B) √5 + √3 − √2
3
 
(C) √5 − √3 − √2
3
 
(D) √5 + √3 − √4
3
 
(E) √5 − √3 − √4
3
 
05. (ESPM) Simplificando a expressão , obtemos: 
(A) √𝟐 
(B) 1,5 
(C) 2,25 
(D) 27 
(E) 1 
 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 25 
06. A expressão √𝟑 + √𝟏𝟐 − √𝟐𝟕 + √𝟖𝟔𝟕 , é igual a: 
(A) 17√𝟑 
(B) 3√𝟗𝟓 
(C) 0 
(D) 3√𝟏𝟕 
07. (UFRGS) O valor da expressão é: 
(A) -4 
(B) 1/9 
(C) 1 
(D) 5/4 
(E) 9 
 
08. (UFRGS) O valor de para e 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
09. (UFRGS) Simplificando encontramos: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
10. O valor da expressão 
(A) 27√2 
(B) 12√2 
(C) 6√2 
(D) 6 
(E) 3√2 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 I) Falsa 
 
 
 
02. Resposta: E. 
 
x = √2 – 1 , vamos substituir onde tem x este valor: 
1
𝑥
− 𝑥 =
1
√2 − 1
− (√2 − 1), 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
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. 26 
 
1
√2 − 1
.
√2 + 1
√2 + 1
=
√2 + 1
2 − 1
= √2 + 1 
 
Aplicando acima temos: 
 
1
𝑥
− 𝑥 = √2 + 1 − (√2 − 1) → √2 + 1 − √2 + 1 = 2 
 
03. Resposta: A. 
 
04. Resposta: E. 
 
2
√5+√3
.
(√5−√3)
(√5−√3)
−
2
√2
3 .
√22
3
√22
3 →
2.(√5−√3)
5−3
−
2 √4
3
2
→ √5 − √3 − √4
3
 
 
05. Resposta: B. 
√
213 + 216
215
= 
213(1 + 23)
213. (22)
= √
1 + 8
4
= √
9
4
=
3
2
= 1,5 
 
06. Resposta: A. 
√3 + √22. 3 − √32. 3 + √172. 3 → √3 + 2√3 − 3√3 + 17√3 → 17√3 
 
07. Resposta: E. 
25 − 16 + 1
1
32
+ 1
→
10
1 + 9
9
→
10
10
9
→ 10.
9
10
→ 9 
 
 
08. Resposta: C. 
−𝑥
2
. (2𝑥)2 − (
−𝑥
2
)
3
→
−𝑥
2
. 4𝑥2 − (
−𝑥3
8
) →
−4𝑥3
2
+
𝑥3
8
→
−16𝑥3 + 𝑥3
8
→
−15𝑥3
8
 
 
09. Resposta: B. 
√𝑎
√𝑎
3.2 →
√𝑎
√𝑎
6 .
√𝑎5
6
√𝑎5
6 →
𝑎
1
2. 𝑎
5
6
𝑎
→
𝑎
3+5
6
𝑎
→
𝑎
8
6
𝑎
→ 𝑎
8
6. 𝑎−1 → 𝑎
8−6
6 → 𝑎
4
6 → 𝑎
2
3 → √𝑎2
3
 
 
10. Resposta: A. 
(√32 − √2). √81 → (√24. 2 − √2) . 9 → (4√2 − √2). 9 → (3√2). 9 → 27√2 
 
PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, 
entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e 
abordagem dos conteúdos. 
Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e 
divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, 
criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que 
podem ser descritas com utilização da álgebra. 
 
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4; 
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1); 
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10; 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 27 
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x; 
- A metade da soma de um número mais 15: 
𝑥
2
 + 15; 
- A quarta parte de um número: 
𝑥
4
. 
 
Exemplos: 
1) A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os. 
1º número: x 
2º número: x + 2 
3º número: x + 4 
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96 
 
Resolução: 
x + x + 2 + x + 4 = 96 
3x = 96 – 4 – 2 
3x = 96 – 6 
3x = 90 
x = 
90
3
 
x = 30 
1º número: x = 30 
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32 
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34 
Os números são 30, 32 e 34. 
 
2) O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o: 
 
Resolução: 
3x + 4 = 52 
3x = 25 – 4 
3x = 21 
x = 
21
3
 
x = 7 
O número procurado é igual a 7. 
 
3) A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o 
triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um? 
 
Resolução: 
Atualmente 
Filho: x 
Pai: 4x 
Futuramente 
Filho: x + 5 
Pai: 4x + 5 
 
4x + 5 = 3 . (x + 5) 
4x + 5 = 3x + 15 
4x – 3x = 15 – 5 
X = 10 
Pai: 4x = 4 . 10 = 40 
O filho tem 10 anos e o pai tem 40. 
 
4) O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número? 
 
Resolução 
2x + 3x = 20 
5x = 20 
x = 
20
5
 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 28 
x = 4 
O número corresponde a 4. 
 
5) Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 
pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara. 
 
Galinhas: G 
Coelhos: C 
G + C = 35 
 
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então: 
2G + 4C = 100 
 
Sistema de equações 
Isolando C na 1ª equação: 
G + C = 35 
C = 35 – G 
 
Substituindo C na 2ª equação: 
2G + 4C = 100 
2G + 4 . (35 – G) = 100 
2G + 140 – 4G = 100 
2G – 4G = 100 – 140 
- 2G = - 40 
G = 
40
2
 
G = 20 
 
Calculando C 
C = 35 – G 
C = 35 – 20 
C = 15 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-se 
que Clodoaldo é 5 centímetros mais alto que Mônica e 10 centímetros mais baixo que Andreia. Sabe-se 
também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralicee que Doralice não é mais baixa que 
Clodoaldo. Se Doralice tem 1,70 metros, então é verdade que Mônica tem, de altura: 
(A) 1,52 metros. 
(B) 1,58 metros. 
(C) 1,54 metros. 
(D) 1,56 metros. 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Em um condomínio, a caixa d’água do bloco A contém 10 000 litros a mais de água 
do que a caixa d’água do bloco B. Foram transferidos 2 000 litros de água da caixa d’água do bloco A 
para a do bloco B, ficando o bloco A com o dobro de água armazenada em relação ao bloco B. Após a 
transferência, a diferença das reservas de água entre as caixas dos blocos A e B, em litros, vale 
(A) 4 000. 
(B) 4 500. 
(C) 5 000. 
(D) 5 500. 
(E) 6 000. 
 
03. (IFNMG – Matemática - Gestão de Concursos) Uma linha de produção monta um equipamento 
em oito etapas bem definidas, sendo que cada etapa gasta exatamente 5 minutos em sua tarefa. O 
supervisor percebe, cinco horas e trinta e cinco minutos depois do início do funcionamento, que a linha 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 29 
parou de funcionar. Como a linha monta apenas um equipamento em cada processo de oito etapas, 
podemos afirmar que o problema foi na etapa: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
 
04. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado 
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor 
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, 
quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
05. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Na biblioteca de um instituto de física, para cada 2 livros de matemática, existem 3 
de física. Se o total de livros dessas duas disciplinas na biblioteca é igual a 1 095, o número de livros de 
física excede o número de livros de matemática em 
(A) 219. 
(B) 405. 
(C) 622. 
(D) 812. 
(E) 1 015. 
 
06. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) (...) No maior aeroporto do Rio (Galeão), 
perde-se em média um objeto a cada hora e meia. É o dobro da taxa registrada no aeroporto Santos 
Dumont (...). 
KAZ, Roberto. Um mundo está perdido. Revista O Globo, Rio de Janeiro, 9 mar. 2014, p. 16. 
De acordo com as informações apresentadas, quantos objetos, em média, são perdidos no Aeroporto 
Santos Dumont a cada semana? 
(A) 8 
(B) 16 
(C) 28 
(D) 56 
(E) 112 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Em três meses, Fernando depositou, ao 
todo, R$ 1.176,00 em sua caderneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 a mais 
do que no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do que no segundo, qual foi o valor depositado 
no segundo mês? 
(A) R$ 498,00 
(B) R$ 450,00 
(C) R$ 402,00 
(D) R$ 334,00 
(E) R$ 324,00 
 
08. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. 
Pedro é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre 
as alturas de Caio e de Felipe? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 16 
 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 30 
09. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um atleta gasta 2 minutos e 15 segundos para dar 
uma volta completa em uma determinada pista de corrida. Após certo período de treinamento mais 
intenso, esse mesmo atleta fez essa volta completa em 
2
3
 do tempo anterior, o que significa que o novo 
tempo gasto por ele para dar uma volta completa nessa pista passou a ser de 
(A) 2 minutos e 05 segundos. 
(B) 1 minuto e 50 segundos. 
(C) 1 minuto e 45 segundos. 
(D) 1 minuto e 30 segundos. 
(E) 1 minuto e 05 segundos. 
 
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Uma loja 
de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de 
lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 
lâmpadas boas quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a 
razão entre o número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou 
a ser de 
(A) 1 / 4. 
(B) 1 / 3. 
(C) 2 / 5. 
(D) 1 / 2. 
(E) 2 / 3. 
Respostas 
01. Resposta: B. 
Escrevendo em forma de equações, temos: 
C = M + 0,05 ( I ) 
C = A – 0,10 ( II ) 
A = D + 0,03 ( III ) 
D não é mais baixa que C 
Se D = 1,70 , então: 
( III ) A = 1,70 + 0,03 = 1,73 
( II ) C = 1,73 – 0,10 = 1,63 
( I ) 1,63 = M + 0,05 
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m 
 
02. Resposta: E. 
A = B + 10000 ( I ) 
Transferidos: A – 2000 = 2.B , ou seja, A = 2.B + 2000 ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.B + 2000 = B + 10000 
2.B – B = 10000 – 2000 
B = 8000 litros (no início) 
Assim, A = 8000 + 10000 = 18000 litros (no início) 
Portanto, após a transferência, fica: 
A’ = 18000 – 2000 = 16000 litros 
B’ = 8000 + 2000 = 10000 litros 
Por fim, a diferença é de : 16000 – 10000 = 6000 litros 
 
03. Resposta: B. 
Um equipamento leva 8.5 = 40 minutos para ser montado. 
5h30 = 60.5 + 30 = 330 minutos 
330min : 40min = 8 equipamentos + 20 minutos (resto) 
20min : 5min = 4 etapas 
Como as alternativas não apresentam a etapa 4, provavelmente, o problema ocorreu na etapa 3. 
 
04. Resposta: E. 
Sabemos que 9 . 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
05. Resposta: A. 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 31 
𝑀
𝐹
= 
2
3
 , ou seja, 3.M = 2.F ( I ) 
 
M + F = 1095 , ou seja, M = 1095 – F ( II ) 
Vamos substituir a equação ( II ) na equação ( I ): 
3 . (1095 – F) = 2.F 
3285 – 3.F = 2.F 
5.F = 3285 
F = 3285 / 5 
F = 657 (física) 
Assim: M = 1095 - 657 = 438 (matemática) 
A diferença é: 657 – 438 = 219 
 
06. Resposta: D. 
1h30 = 90min 
Galeão: 
1
90
 
 
Santos Dumont perde metade do que no Galeão. Assim: 
1
2
 .
1
90
= 
1
180
 , ou seja, 1 objeto a cada 180min = 3 horas 
1 semana = 7 dias = 7 . 24h = 168h 
Assim, 168 / 3 = 56 objetos 
 
07. Resposta: B. 
Primeiro mês = x 
Segundo mês = x + 126 
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78 
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
3.x = 1176 – 204 
x = 972 / 3 
x = R$ 324,00 (1º mês) 
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00 
 
08. Resposta: E. 
Caio = Pedro + 15cm 
Pedro = João – 6cm 
João = Felipe + 7cm , ou seja: Felipe = João – 7 
Caio – Felipe = ? 
Pedro + 15 – (João – 7) = 
= João – 6 + 15 – João + 7 = 16 
 
09. Resposta: D. 
2min15seg = 120seg + 15seg = 135 seg 
2
3
 de 135seg = 
2.135
3
=
270
3
= 90 seg = 1min30seg 
 
10. Resposta: B. 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de ( Q ) e o número de lâmpadas boas de ( B ). Assim: 
B + Q = 360 , ou seja, B = 360 – Q ( I ) 
 
𝑄
𝐵
= 
2
7
 , ou seja, 7.Q = 2.B ( II ) 
 
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos: 
7.Q = 2. (360 – Q) 
7.Q = 720 – 2.Q 
7.Q + 2.Q = 720 
9.Q = 720 
Q = 720 / 9 
Q = 80 (queimadas) 
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. 32 
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos: 
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270 
 
𝑄′
𝐵′
= 
90
270
= 
1
3
 (: 9 / 9) 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem. Ela também é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância 
para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM-PFC (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através da possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existemcinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu de um amigo Pedro (que mora na cidade C) João 
precisa pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva 
até o destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
2 Princípios de contagem e probabilidade. 3 Arranjos e permutações. 4 
Combinações. 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 33 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
 2 x 3 = 6 
 
3) De sua casa ao trabalho, Silvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Silvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Silvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
 
 
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer 
de a maneiras e um outro evento que chamaremos de E2 puder 
ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem 
simultaneamente será dado por axb, isto é, a quantidade de 
maneiras de a ocorrer multiplicado pela quantidade de maneiras 
de b ocorrer. 
 
n! = n. (n – 1 ). (n – 2). ... . 1 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 34 
 
 
 
Exemplos 
 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
9!
5!
=
9.8.7.6.5!
5!
= 3024 
 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTO 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é o que diferencia. 
 
Exemplos 
 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
0! = 1 
1! = 1 
 
𝑨𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
 
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. 35 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Pn! = n! 
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. 36 
Exemplos 
 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
 
 
AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝑨𝒏, 𝒑
𝒑!
→ 𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois 
pontos entre os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então 
sabemos que se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 
2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
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. 37 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
 
Quantas chapas de automóvelcompostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
… 
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. 38 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
 
Exemplo 
 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑷𝒄𝒏 = (𝒏 − 𝟏)! 
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 
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. 39 
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV/2016) Em um restaurante os clientes têm 
a sua disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o 
cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número 
de opções diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro/2016) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
03. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP/2015) Com 12 fiscais, deve-se fazer 
um grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer 
um deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Uma empresa de propaganda 
pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, 
amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. 
De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por 
uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais? 
(A) 13 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 17 
(E) 18 
 
05. (TCE/BA – Analista de Controle Externo – FGV) Um heptaminó é um jogo formado por diversas 
peças com as seguintes características: 
• Cada peça contém dois números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7}. 
• Todas as peças são diferentes. 
• Escolhidos dois números (iguais ou diferentes) do conjunto acima, existe uma, e apenas uma, peça 
formada por esses números. 
A figura a seguir mostra exemplos de peças do heptaminó. 
 
 
O número de peças do heptaminó é 
1377270 E-book gerado especialmente para OTAVIO ROCHA MATA
 
. 40 
(A) 36. 
(B) 40. 
(C) 45. 
(D) 49. 
(E) 56. 
 
06. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Os números dos segredos de um determinado modelo de 
cadeado são compostos por quatro algarismos do conjunto C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 
O número máximo de segredos distintos, desse modelo de cadeado, que começam com um algarismo 
ímpar e terminam com um algarismo par, é: 
(A) 1.120 
(B) 1.750 
(C) 2.255 
(D) 2.475 
(E) 2.500 
 
07. (PM/SP – CABO – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
08. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO - ÁREA JUDICIÁRIA E ADMINISTRATIVA – FAURGS) O 
Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura de barras composto por 5 barras para identificar 
os pertences de uma determinada seção de trabalho. As barras podem ser pretas ou brancas. Se não 
pode haver código com todas as barras da mesma cor, o número de códigos diferentes que se pode obter 
é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
09. (SEED/SP – AGENTE DE ORGANIZAÇÃO ESCOLAR – VUNESP) Um restaurante possui pratos 
principais e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas 
com vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais 
individuais, um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e 
Carolina só não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as 
restrições alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um 
campeonato municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do 
campeonato estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro 
desses nove competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
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. 41 
11. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – IDECAN) Renato é mais velho 
que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença 
entre suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
12. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO– CONSULPLAN) 
Numa sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas 
maneiras é possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 
lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
13. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio 
de futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, 
sendo um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
14. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se 
em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
15. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
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. 42 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
03. Resposta: B. 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
04. Resposta: C. 
_ _ 
6.3=18 
Tirando as possibilidades de papel e texto iguais: 
P P e V V=2 possibilidades 
18-2=16 possiblidades 
 
05. Resposta: A. 
Teremos 8 peças com números iguais. 
 
Depois, cada número com um diferente 
7+6+5+4+3+2+1 
8+7+6+5+4+3+2+1=36 
 
06. Resposta: E. 
O primeiro algarismo tem 5 possibilidades: 1,3,5,7,9 
Os dois do meio tem 10 possibilidades, pois pode repetir os números 
E o último tem 5: 0,2,4,6,8 
_ _ _ _ 
5.10.10.5=2500 
 
07. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
08. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
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. 43 
 
09. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
10. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
11. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
12. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
13. Resposta: A. 
Engenheiros 
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. 44 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
14. Resposta: D. 
F _ _ _ _ P4 = 4! 
I _ _ _ _ P4 = 4! 
L _ _ _ _p4 = 4! 
U_ _ _ _P4 = 4! 
ZF_ _ _P3 = 3! 
ZIF_ _P2 = 2! 
ZILFU-1 
ZILUF 
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 
Portanto, ZILUF está na 106 posição. 
 
15. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
PROBABILIDADE 
 
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de 
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do 
conhecimento. 
 
Definições: 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para 
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos 
probabilísticos. 
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, 
mesmo que as condições sejam semelhantes. 
Exemplos: 
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima 
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces 
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número da suas faces. 
 
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado 
experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S , A, Ω ... variando de acordo 
com a bibliografia estudada. 
Exemplo: 
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda 
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: 
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do 
espaço amostral n(A) = 8 
 
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser 
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E. 
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. 45 
 
Exemplo: 
a) no lançamento de 3 moedas: 
E1→ aparecer faces iguais 
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} 
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 
 
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face 
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} 
Logo n(E2) = 7 
 
Veremos agora alguns eventos particulares: 
- Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto 
de si mesmo); E = S. 
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. 
 
- Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 
E: o número de uma das faces de um dado ser 7. 
E: Ø 
 
- Evento simples: evento que possui um único elemento. 
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. 
E: {(6,6)} 
 
- Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E 
indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. 
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. 
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. 
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: 
 
 
 
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} 
Como, C = S – E 
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, 
então: A ∩ B = Ø. 
Sejam os