Avaliação II (MAD17)

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Acadêmico: Jaime Andre Back (2962792)
Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17)
Avaliação: Avaliação II - Individual ( Cod.:671543) ( peso.:1,50)
Prova: 35181212
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e
produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que
relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado
nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir quanto à soma e ao
produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0:
I) -2 e 3.
II) 2 e -3.
III) -2 e -3.
IV) 2 e 3.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
2. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em
equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na
equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é:
 a) S = {-1, 0, 1}.
 b) S = {-3, -1, 0}.
 c) S = {-3, 0, 1}.
 d) S = {0, 1, 3}.
3. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante
depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e
do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de
P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença II está correta.
 b) Somente a sentença I está correta.
 c) Somente a sentença IV está correta.
 d) Somente a sentença III está correta.
4. Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema
de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor,
o módulo. Devemos muito bem conhecer a classe dos possíveis restos da divisão de um
número por um certo valor, para defini-la. Baseado nisto, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - V.
 b) V - V - F - F.
 c) F - F - V - V.
 d) F - V - V - F.
5. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como
um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O
polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
 a) 2·(x² - 4)·(x - 3).
 b) 2·(x² + 4)·(x - 3).
 c) 2·(x² + 4)·(x + 3).
 d) 2·(x² - 4)·(x + 3).
6. Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais:
realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base
(conservar a base e subtrair os expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação
Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5,
analise as opções a seguir que procuram apresentar a solução desta equação, e classifique
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) -1 e 5
( ) -1 e -5
( ) 1 e -5
( ) 1 e 5
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - F.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - F - V.
 d) F - F - V - F.
7. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas
operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto,
analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
8. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante,
o qual tem sido estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de
aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 ,
pode ter apenas raízes complexas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma das
raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
 a) O número complexo i.
 b) O número inteiro -1.
 c) O número inteiro 1.
 d) O número complexo 2·i.
9. Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um
polinômio corresponde ao monômio de maior grau. Sendo assim, se dois polinômios P(x) e
Q(x) não nulos têm graus m e n, respectivamente, então gr(P.Q) será igual a:
 a) m · n.
 b) m - n.
 c) m + n.
 d) n - m.
10.O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita
em função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4
e o coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para
as falsas:
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0
( ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0
( ) x³ - 5x² + 2 = 0
( ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - V - V.
 d) F - V - F - V.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.