Prova 2, Estruturas Algébricas

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Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: I) 2x² - 3x + 2 II) x² - 3x + 2 III) x² - x + 1 IV) 3x² - 4x + 1 Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção I está correta.
2Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é:
A
S = {0, 1, 3}.
B
S = {-1, 0, 1}.
C
S = {-3, -1, 0}.
D
S = {-3, 0, 1}.
3Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como com os números reais, podemos dividir dois polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e um resto R(x), nulo ou não. Neste contexto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de: P(x) = x³ - 6x² - 5x + 7 por D(x) = x + 2
A
R(x) = - 14.
B
R(x) = 14.
C
R(x) = - 15.
D
R(x) = 15.
4
Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?
Assinale a alternativa CORRETA:
A
k = 4.
B
k = 3.
C
k = 5.
D
k = 6.
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x. Por exemplo, tomando a equação algébrica 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, quanto às características de suas raízes, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Inteiras e positivas. ( ) Inteiras e de sinais contrários. ( ) Irracionais e positivas. ( ) Irracionais e de sinais contrários. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - F - F - V.
B
F - F - V - F.
C
V - V - V - F.
D
F - V - F - F.
6Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: I) -2 e 3. II) 2 e -3. III) -2 e -3. IV) 2 e 3. Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
7Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é:
A
S = {0, -i, i}.
B
S = {0, 1, i}.
C
S = {1, -1, i}.
D
S = {-i, i, 1}.
8Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. Sendo assim, se dois polinômios P(x) e Q(x) não nulos têm graus m e n, respectivamente, então gr(P.Q) será igual a:
A
m - n.
B
m + n.
C
n - m.
D
m · n.
9O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A
2·(x² - 4)·(x + 3).
B
2·(x² + 4)·(x + 3).
C
2·(x² + 4)·(x - 3).
D
2·(x² - 4)·(x - 3).
10A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
Somente a sentença III está correta.
C
Somente a sentença I está correta.
D
Somente a sentença IV está correta.