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(
Universidade
 
Aberta
 
do
 
Nordeste
 
e
 
Ensino
 
a
 
Distância
 
são
 
marcas
 
registradas
 
da
 
Fundação
 
Demócrito
 
Rocha.
 
É
 
proibida
 
a
 
duplicação
 
ou
 
reprodução
 
deste
 
fascículo.
 
Cópia
 
não
 
autorizada
 
é
 
Crime.
)Matemática
e suas Tecnologias
Matemática
Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico
 (
Objeto do Conhecimento
Análise combinatória
)
 (
178
)
 (
Universidade Aberta do Nordeste 
179
)
Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo)
Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e bastan- te intuitiva é o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), que apresentaremos através de exemplos.
Eis o que diz o princípio fundamental da contagem:
 (
“Se
 
uma
 
ação
 
é
 
composta
 
de
 
duas
 
etapas
 
sucessivas, 
sendo
 
que
 
a
 
primeira
 
pode
 
ser
 
feita
 
de
 
m
 
modos
 
e,
 
para 
cada
 
um
 
destes,
 
a
 
segunda
 
pode
 
ser
 
feita
 
de
 
n
 
modos, 
então
 
o
 
número
 
de
 
modos
 
de
 
realizar
 
a
 
ação
 
é
 
dado
 
pelo produto
 
m
 
·
 
n”.
Observação:
No
 
caso
 
das
 
ações
 
com
 
mais
 
de
 
duas
 
etapas,
 
o
 
nú- 
mero
 
de
 
modos
 
da
 
ação
 
ocorrer
 
é
 
o
 
produto
 
dos
 
núme- 
ros
 
de
 
possibilidades
 
das
 
respectivas
 
etapas.
)
Arranjos simples e combinações simples É importante, antes de iniciarmos os estudos relativos a arranjo e combinação, entendermos que dois conjuntos são iguais quando todos os elementos de um são tam- bém elementos do outro conjunto e vice-versa, indepen- dentemente da ordem dos elementos nesses conjuntos. Já duas sequências ordenadas, somente serão iguais se elas apresentarem, ordenadamente, os mesmos ele- mentos. Em outras palavras, duas sequências ordenadas iguais, além de apresentarem os mesmos elementos, tais elementos devem ocupar, respectivamente, ordens (posições) iguais. Por exemplo, os seis conjuntos {1, 3, 6},
{1, 6, 3}, {3, 1, 6}, {3, 6, 1}, {6, 1, 3} e {6, 3, 1} são um mesmo
conjunto. Assim, se vamos contá-los, devemos considerá- los apenas um conjunto (um grupo). Já as seis sequências ordenadas (1, 3, 6), (1, 6, 3), (3, 1, 6), (3, 6, 1), (6, 1, 3) e (6, 3, 1)
são todas diferentes uma das outras. Se vamos contá-las, devemos considerá-las 6 grupos ordenados distintos.
Estando, por exemplo, interessados em contar as filas que podemos formar utilizando sempre as mesmas 3 pes- soas ou a quantidade de números que podemos formar utilizando sempre os mesmos 3 algarismos, a ordem com que as pessoas ou algarismos aparecem é relevante, isto é, muda a fila ou o número. O interesse, nesse caso, está em contar sequências ordenadas, deve-se contar os ar- ranjos.
Estando, por exemplo, interessado em con- tar comissões ou subconjuntos, a ordem com que as pessoas ou elementos aparecem não é relevan- te, isto é, não muda a comissão ou o subconjunto. O interesse, nesse caso, está em contar subconjuntos, de- ve-se contar as combinações.
Problema das filas de k pessoas escolhi- das dentre n pessoas possíveis
“Considere 7 pessoas. Quantas são as filas distintas forma- das com 4 dessas pessoas?”
 (
Solução:
Para o primeiro lugar na fila, temos 7 possibilida- des; para a segunda posição, 6; para a terceira, 5 e, para a quarta e última posição, 4 possibilidades. 
As- 
sim,
 
pelo
 
P.F.C.,
 
temos
 
7
 
·
 
6
 
·
 
5
 
·
 
4
 
=
 
840
 
filas.
Cada
 
uma
 
dessas
 
filas
 
é
 
uma
 
sequência
 
ordena- 
da
 
(diferem
 
pela
 
ordem)
 
e
 
é
 
chamada
 
de
 
arranjo
 
de 
7
 
elementos,
 
tomados
 
4
 
a
 
4.
 
Pelo
 
exposto,
 
o
 
número 
de
 
arranjos
 
de
 
7
 
elementos,
 
tomados
 
4
 
a
 
4,
 
é
 
igual
 
a 
840
 
e
 
pode
 
ser
 
calculado
 
em
 
função
 
do
 
número
 
de 
pessoas
 
dadas
 
(7)
 
e
 
do
 
número
 
de
 
pessoas
 
em
 
cada 
fila
 
(4).
 
Esse
 
número
 
de
 
arranjos
 
é
 
dado
 
por:
A
=
7
(7 – 4)!
= 840
)
 (
Resumindo:
De
 
modo
 
geral,
 
dado
 
um
 
conjunto
 
com
 
n
 
elemen- 
tos
 
distintos,
 
qualquer
 
sequência
 
ordenada
 
de
 
k
 
ele- 
mentos
 
distintos,
 
escolhidos
 
dentre
 
os
 
n
 
elementos
 
da- 
dos,
 
é
 
chamada
 
de
 
“arranjo
 
dos
 
n
 
elementos,
 
tomados 
k
 
a
 
k”
,
 
e
 
o
 
número
 
desses
 
arranjos
 
é
 
dado
 
por:
A
n, k 

 n! 
(n 

 k)!
Leia:
 
arranjo
 
de
 
n
,
 
k
 
a
 
k
.
)
Problema das comissões de k pessoas, escolhidas dentre n pessoas possíveis “Considere 7 estudantes de uma mesma turma. Para repre- sentar a turma perante a direção do colégio, quantas são as comissões possíveis, formadas com 4 desses estudantes?”
Exemplo 1:
 (
Solução:
Como
 
para
 
um
 
mesmo
 
grupo
 
de
 
pessoas
 
premiadas, 
mudando-se
 
a
 
ordem
 
entre
 
elas,
 
muda-se
 
a
 
classificação, 
o
 
número
 
de
 
classificações
 
possíveis
 
é
 
um
 
número
 
de
 
ar- 
ranjos.
I. O número de classificações para os três
 
primeiros
dos
 
3
 
a
 
3,
 
ou
 
seja,
 
A
8,
 
3
 

 
(8
 

 
3)!
 

 
8
 

 
7

 
6
 

 
336
.
Esquematizando:
lugares
 
é
 
o
 
número
 
de
 
arr
8
a
!
njos
 
de
 
8
 
atletas,
 
toma-
1
o
 lugar, 2
o
 lugar, 3
o
 lugar 

 A
8,3
 

 8!
 

 336
(8 

 
3)!
A
8, 3
II.
 
Supondo
 
Vagaroso
 
premiado,
 
temos
 
que
 
decidir
 
a 
sua
 
posição:
 
3
 
possibilidades,
 
para
 
cada
 
uma
 
des- 
sas possibilidades, podemos usar apenas o 
P.F.C. 
para
 
resolver
 
este
 
item.
Veja:
Vagaroso , 2
o
 lugar , 3
o
 lugar
fixo

7
×

6 = 42
ou
1
o
 
lugar
 
,
 
Vagaroso
 
,
 
3
o
 
lugar
fixo


7
×
6 = 42
ou
2
o
 lugar , 3
o
 lugar, 
Vagaroso

7

fixo
×
6 = 42
Total = 42 + 42 + 42 = 126 classificações.
III.
 
Fixando
 
Ligeirinho
 
em
 
primeiro
 
lugar
 
(recebendo 
R$1.000,00),
 
basta
 
escolher
 
os
 
outros
 
2,
 
dentre
 
os
 
7
outros atletas. Assim, temos 
A
7, 2 

 7!
 

 7 

 6 

 42
(7 

 2)!
classificações
 
para
 
os
 
três
 
primeiros
 
lugares,
 
em
que Ligeirinho aparece na primeira posição.
Esquematizando:
Ligeirinho
, 2
o
 lugar , 3
o
 lugar
 

 
 
A

 
7!
 

 
7

6 

 
42
fixo
 
A
7, 2
7, 2
(7 

 2
)
!
)Fábio, Marcos, Cleiton, Érick, Jonas, Lucas, Ligeirinho e Vagaroso classificaram-se para a grande final da prova dos 100 metros rasos que está sendo disputada entre os alunos das escolas públicas e privadas de certo bairro de Fortaleza. Segundo a imprensa especializada no assunto, “os oito classificados são igualmente favoritos, mas como não pode haver empate, a ordem de classificação vai ser decidida nos detalhes e isso só o tempo dirá”. Sabendo que somente serão premiados os três primeiros colocados, recebendo R$ 1 000,00, R$ 600,00 e R$ 200,00, respectiva- mente, de quantas formas possíveis poderá ocorrer a clas- sificação dos premiados? Dessas, em quantas Vagaroso será premiado? Em quantas Ligeirinho receberá R$ 1000,00?
 (
Solução:
Inicialmente, perceba que as comissões
 
{Ma- 
ria, João, Pedro, Ivo} e {Pedro, Ivo, João, 
Ma- 
ria} são uma mesma comissão, conta-se 
ape- 
nas uma. Logo, queremos contar subconjuntos. 
Se quiséssemos contar sequências ordenadas (filas) de
 
4
 
elementos,
 
escolhidos
 
dentre
 
7
 
possíveis,
 
encon-
(7 

 4)!
que
 
uma
 
vez
 
escolhidos
 
quatro
 
estudantes
 
dentre 
os
 
7
 
possíveis,
 
com
 
esses
 
mesmos
 
quatro
 
estudantes 
pode-se
 
formar
 
P
4
 
=
 
4!
 
=
 
24
 
filas
 
distintas
 
(sequências 
ordenadas).
 
Isso
 
nos
 
diz
 
que
 
para
 
cada
 
24
 
sequências ordenadas
 
(as
 
que
 
têm
 
os
 
mesmos
 
4
 
elementos),
 
con- 
ta-se
 
apenas
 
uma
 
comissão
 
(um
 
subconjunto).
 
Daí,
 
o número
 
correto
 
de
 
comissões
 
com
 
4
 
estudantes,
 
es- 
colhidos
 
dentre
 
7
 
possíveis,
 
que
 
podem
 
ser
 
formadas
traríamos 
A
7, 4 

 7!
 

 840 
filas. Acontece, porém,
é 
840
 

 
35.
24
Agora, observe
 
que:
 
 
 
7!
 
35 

 
840
 

 
A
7, 4
 

 (7 

 4)!
24
P
4
4!
,
 
isto
 
é,
 
o
 
número
 
de
 
comis-
sões
 
(subconjuntos)
 
formadas
 
com
 
4
 
pessoas,
 
esco-
lhidas
 
dentre
 
7
 
pessoas
 
possíveis,
 
é
 
7!
.
4!(7 

 4)!
)
 (
Resumindo:
De
 
modo
 
geral,
 
dado
 
um
 
conjunto
 
com
 
n
 
elemen- tos distintos, qualquer subconjunto de 
k
 
elementosdistintos,
 
escolhidos
 
dentre
 
os
 
n
 
elementos
 
dados,
 
é 
chamado
 
de
 
“combinação
 
dos
 
n
 
elementos,
 
tomados 
k
 
a
 
k
”
 
e
 
o
 
número
 
dessas
 
combinações
 
é
 
dado
 
por:
C
n
,
 
k 
 

 


 
n


 

 
 
n
!

 k

k!(n 

 k)!
Leia:
 
combinação
 
de
 
n
,
 
k
 
a
 
k
.
)
Permutação simples e permutação com repetição
Teoricamente, todo problema de análise combinatória pode ser resolvido usando-se apenas o princípio funda- mental da contagem. Entretanto, o conhecimento ante- cipado dos resultados de alguns problemas que surgirão com relativa frequência será providencial, facilitando as resoluções de outros problemas mais sofisticados.
Vejamos, agora, alguns problemas que vale a pena você conhecer seus resultados:
Problema das filas formadas por n objetos distintos
“De quantos modos podemos colocar em fila 4 pessoas?” Para ocupar o primeiro lugar na fila, temos 4 possibilida- des; para o segundo lugar, 3 possibilidades; para o terceiro, 2 e, para o quarto e último lugar, 1 possibilidade. Daí, usan- do o P.F.C., temos:
4 · 3 · 2 · 1 = 4! filas (24 filas)
De modo análogo, com n objetos distintos, podemos formar n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 = n! filas diferentes. As filas formadas são agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) e são chamadas de permutações simples dos n objetos. O número total de permutações (de filas) é indicado por:
 Pn = n! (lê-se: permutação de n) 
Saiba: permutar n objetos, na prática, significa colocá- los em fila e fazer todas as trocas possíveis nas posições, significa obter todas as filas possíveis.
Com o conhecimento do resultado do número de per- mutações simples, podemos resolver facilmente proble- mas tais como:
Exemplo 1:
Quantas filas diferentes podemos formar com 8 pessoas, se três delas, Raquel, Júlia e Tomás, não podem ficar juntas (os três)?
Problema das filas formadas por n obje- tos, sendo alguns repetidos
“De quantos modos podemos colocar 7 bolas de sinuca em fila, sendo todas distintas, exceto três delas que são idênticas?”
 (
Solução:
Se as bolas fossem todas diferentes, teríamos
 
7! 
filas.
 
Para
 
qualquer
 
uma
 
dessas
 
filas,
 
se
 
permutarmos apenas
 
as
 
bolas
 
idênticas,
 
temos
 
3!
 
filas
 
repetidas,
 
ou 
seja,
 
para
 
cada
 
3!
 
filas,
 
devemos
 
contar
 
apenas
 
uma.
Daí,
 
o
 
número
 
correto
 
de
 
filas
 
é
 
7!
 

 
840
.
3!
A
 
solução
 
desse
 
problema
 
é
 
uma
 
permutação
 
de 
7
 
objetos,
 
com
 
repetição
 
de
 
3
,
 
cuja
 
representação
 
é
P 
 

.
 
Se
 
fossem
 
10
 
bolas
 
diferentes
 
apenas
 
nas
 
co-
3
7!
7
res,
 
sendo
 
4
 
azuis,
 
3
 
vermelhas,
 
2
 
verdes
 
e
 
1
 
amarela,
 
a 
solução
 
seria
 
uma
 
permutação
 
de
 
10
 
objetos,
 
com
 
re-
3!
petição
 
de
 
4,
 
3
 
e
 
2,
 
cuja
 
representação
 
é
(note
 
que
 
1!
 
=1
 
não
 
é
 
necessário
 
usar).
P

4,
 
3,
 
2
10
 
 
 
10
4! 

 3! 

 
2!
)
Em geral, o número de permutações de n objetos, dos quais 1 são iguais a X1, 2 são iguais a X2, 3 são iguais a X3,
..., K são iguais a Xk, é dado por:
 (
P

 , 

 , 

 ,..., 

n
1 
 
2 
 
3
k

 
n!

1
!
 

 

2
 
!
 

 

3
 
!
 

 
...
 

 

k
 
!
)
Com o conhecimento do resultado do número de per- mutações de n objetos, com repetição, podemos resolver facilmente problemas tais como:
Exemplo 1:
 (
Solução:
O
 
número
 
total
 
de
 
anagramas
 
é
P
3, 2
8

 
 
 
8!
 3! 

 
2!
= 3360
.
Para
 
cada
 
um
 
desses
 
anagramas,
 
permutado
 
só
 
as
 
vo-
gais
 
(A,
 
A,
 
A,
 
I,
 
O),
 
temos
 
5
P 
 


 
20
3
5!
tes
 
de
 
vogais,
 
ou
 
seja,
 
para
 
cada
 
20
 
anagramas
 
da
 
pa-
lavra
 
Papagaio
 
somente
 
um
 
tem
 
as
 
vogais
 
em
 
ordem 
alfabética.
 
Daí,
 
o
 
número
 
procurado
 
de
 
anagramas
 
é:
 
 8! 
3, 2
3!
sequências diferen-
P
3! 

2!
 
3360
8
P
3



 168
 
.
5
5!
3!
20
)Quantos são os anagramas da palavra Papagaio que apresentam as vogais em ordem alfabética?
 (
Solução:
Temos
 
um
 
total
 
de
 
P
8
 
=
 
8!
 
filas,
 
os
 
três
 
ficando
 
jun- 
tos
 
ou
 
não.
 
Agora,
 
supondo
 
o
 
grupo
 
Raquel,
 
Júlia
 
e
 
To- 
más
 
(RJT)
 
uma
 
só
 
pessoa,
 
o
 
número
 
de
 
maneiras
 
delas 
ficarem
 
juntas
 
é
 
P
3
 
=
 
3!
 
e
 
o
 
número
 
de
 
modos
 
de
 
aco- 
modar
 
os
 
seis
 
elementos
 
(o
 
grupo
 
RJT
 
e
 
as
 
outras
 
5
 
pes- 
soas)
 
na
 
fila
 
é
 
P
6
 
=
 
6!.
 
Pelo
 
P.F.C.,
 
temos
 
3!
 
·
 
6!
 
filas,
 
em
 
que 
os
 
três
 
ficam
 
juntos.
 
Daí,
 
temos
 
8!
 
–
 
3!
 
·
 
6!
 
=
 
40320
 
–
 
4320
= 36000 filas, em que os três não ficam juntos.
Esquematizando:
R, J, T, E
1
, E
2
 
, E
3
, E
4
 , E
5
 

 P
8
 

 8! 

 40320 (total de filas
)
P
8
P
3
RJT, E
1
 , E
2
 ,
 E
3
 , E
4
 , 
E
5
 

 P
3
 

 P
6
 

 3! 

 6! 

 4320
P
6
os três juntos)
(filas com
40320 – 4320 = 36000 (filas em que os três não ficam juntos)
)Permutação circular e o uso da permuta- ção com repetição na resolução de pro- blemas diversos
“De quantos modos distintos podemos formar uma mesa de buraco com quatro pessoas?”
 (
Questão Comentada
)
 (
Solução:
Se
 
fossem
 
filas,
 
teríamos
 
4!
 
=
 
24 filas distintas. Na mesa de buraco, no entanto, o que importa é a po- 
sição
 
relativa
 
dos
 
jogadores
 
entre
 
si.
 
D
Na
 
mesa
 
formada
 
ao
 
lado,
 
por 
exemplo,
 
saindo
 
de
 
qualquer
 
joga- 
dor
 
(letra)
 
e
 
escolhendo
 
um
 
senti-
A
B
C
do
 
para
 
girar
 
(horário),
 
temos
 
4
 
filas:
 
(ABCD),
 
(BCDA), 
(CDAB)
 
e
 
(DABC).
 
Note
 
que,
 
nessas
 
filas,
 
existem
 
4 
possibilidades
 
para
 
começar,
 
mas
 
uma
 
vez
 
começa- 
da
 
a
 
fila,
 
as
 
outras
 
letras
 
já
 
ficam
 
determinadas.
 
Por- tanto,
 
para
 
cada
 
4
 
filas
 
diferentes,
 
devemos
 
contar 
uma
 
única
 
formação
 
para
 
se
 
jogar
 
buraco.
 
Sendo
assim,
 
o
 
número
 
de
 
mesas
 
formadas
 
é
 
4
!
 

 
3!
 

 
6
 
.
4
)|C1-H2|
A figura abaixo mostra um mapa de uma pequena parte da cidade de Fortaleza. Quando o professor Thiago Pacífico vai de casa até o shopping Aldeota, ele percorre exatos 7 quarteirões. Na figura, está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine quantos caminhos diferentes, com a mesma distância, ele pode escolher para ir de casa até o shopping.
Observação:
Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de per- mutação circular de 4 elementos e o número de permuta-
ções circulares de 4 elemento4s!, quando contadas em um só sentido, é dado por:(PC)4  4  3!
 (
Resumindo:
De
 
modo
 
geral,
 
o
 
número
 
de
 
permutações
 
circula- res
 
de
 
n
 
objetos,
 
se
 
consideradas
 
equivalentes
 
dispo- 
sições
 
que
 
possam
 
coincidir
 
por
 
rotação,
 
é
 
dado
 
por:

PC

 

 
n
! 

 (n 

 1)!
n
n
)
a) 30 caminhos	b) 35 caminhos	c) 40 caminhos
d) 45 caminhos	e) 50 caminhos
Solução comentada:
Observe que para Thiago Pacífico sair de casa, localizada no cru- zamento das ruas Ana Bilhar e Joaquim Nabuco, ele percorre 7 quarteirões, a saber que ele anda 4 vezes para Sul (S) e 3 vezes para o Leste (L), veja na figura a sequência SSLLLSS. Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas
P3,4  7!  35
Exemplo 1:
De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 4 meninos e 4 meninas, de modo que os meninos e as meninas se alternem?
dessa sequência, ou seja, 7
 (
Para Fixar
)Resposta correta: b
|C1-H2, H3|
01. Leia a tirinha.
3! . 4!
caminhos.
 (
Solução:
Colocando
 
primeiramente
 
as
 
mulheres
 
(M
1
,
 
M
2
,
 
M
3
, 
M
4
)
 
na
 
roda,
 
temos
 
(PC)
4
 
=
 
(4
 
–
 
1)!
 
=
 
6
 
modos
 
de
 
fazer 
isto.
 
Entre
 
cada
 
duas
 
mulheres,
 
agora,
 
devemos
 
colo- 
car
 
um
 
homem.
 
Para
 
colocar
 
o
 
primeiro
 
homem
 
(H
1
) 
na
 
roda,
 
existem
 
4
 
possibilidades;
 
para
 
o
 
segundo,
 
3; 
para
 
o
 
terceiro,
 
2
 
e,
 
para
 
o
 
quarto,
 
1,
 
ou
 
seja,
 
existem 
P
4
 
=
 
4!
 
=
 
24
 
maneiras
 
de
 
dispor
 
os
 
4
 
homens
 
entre
 
as 
mulheres.
 
Note
 
que
 
colocando-se
 
os
 
4
 
homens
 
numa 
certa posiçãopossível entre as mulheres já dispos- 
tas,
 
qualquer
 
permutação
 
que
 
se
 
faça
 
entre
 
os
 
ho- 
mens
 
muda-se
 
a
 
posição
 
relativa
 
entre
 
os
 
elementos do
 
grupo,
 
muda-se
 
a
 
roda.
 
Assim,
 
pelo
 
P.F.C.,
 
existem (PC)
4
 
·
 
P
4
 
=
 
3!
 
·
 
4!
 
=
 
6
 
·
 
24
 
=
 
144
 
rodas
 
de
 
ciranda
 
possí- 
veis.
)Menino MaluquinhoZiraldo 2009	O Globo, 18/03/2009
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 me- ninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apre- sentam um número igual de meninos e de meninas.
O maior valor de n é equivalente a:
a) 45
b) 56
c) 69
d) 72
e) 81
|C1-H2, H5|
02. Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computa- dores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituído por quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no interva- lo [0, 28 – 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor web da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 216 – 1].
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quá- druplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4.
b) existem exatamente 4 · (28 – 1) endereços diferentes no siste- ma IPv4.
c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4.
d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4.
e) existem exatamente (28 – 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4.
A MÍDIA E A MEGA-SENA ACUMULADA
Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega-Sena é, ao menos em determinadas ocasiões, a que desperta o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de as regras do jogo possibilitarem, de vez em quando, que as quantias oferecidas como prêmio sejam bastante res- peitáveis. Quando isso ocorre, formam-se filas gigantescas nas casas lotéricas e os jornais, o rádio e a televisão fazem matérias sobre o assunto, que tratam desde as chances de que alguém ganhe o prêmio máximo até o que o felizar- do poderá fazer com todo aquele dinheiro. Os professores que dão aulas de Probabilidade e de Análise Combinatória são consultados sobre o funcionamento do jogo e espe- cialmente sobre a eventual existência de alguma estraté- gia que melhore as chances de vitória do apostador. Este artigo é um relato sobre as perguntas que me fizeram e sobre as respostas que eu fui capaz de dar.
Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim como eu, já tenha tentado a sorte na Mega-Sena, va- mos dar uma breve descrição do jogo para atender aos leitores que, ou por princípio, ou por serem mais inte- ligentes do que nós jogadores, nunca arriscaram. Para apostar, você escolhe um mínimo de seis e um máximo de quinze dezenas no conjunto { 01, 02,..., 60}. Cada apos- ta simples de seis dezenas custa dois reais e, portanto, se você marca oito dezenas, estará concorrendo com
 8= 28 jogos simples e essa aposta custará cinquenta seis
 6
reais. A Caixa Econômica Federal, que administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas que contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as 6 (sena) de- zenas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as seis dezenas sorteadas, o prêmio é geralmente dividido entre poucos acertadores. Se num dado concurso ninguém acerta as seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o
 (

 6 


)concurso seguinte. Existem 60resultados possíveis para
um sorteio da Mega-Sena. Esse número é maior que 50 milhões (mais precisamente, ele é igual a 50 063 860) e creio que o leitor concordará comigo que só mesmo um grande otimista pode acreditar que vai ganhar com uma única aposta.
As probabilidades de sucesso na Mega-Sena A pergunta mais frequente:
1. Intuitivamente, o que significa ter uma chance em cinquenta milhões?
Com o objetivo de fazer com que seus leitores entendam o que significa essa probabilidade tão pequena, os jornalis- tas pedem que façamos comparações com a possibilidade da ocorrência de outros eventos. É curioso que as com- parações solicitadas quase sempre envolvem um evento auspicioso (ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena) com tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atin- gido por um raio ou morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer essas comparações está no fato de que nem to- dos os indivíduos da população têm a mesma probabili- dade de sofrer uma dessas desgraças, enquanto todos os que apostam 6 dezenas têm a mesma chance de acertar a Mega-Sena. Eu acredito que a maneira mais fácil de fazer as pessoas entenderem é usando um outro exemplo pura- mente aleatório. O número de habitantes do Brasil é qua- se igual a três vezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre toda a população brasileira, a sua chance de ganhar um deles seria igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega- Sena com um jogo de seis dezenas.
Flávio Wagner Rodrigues. IME-USP.
 (
Objeto do Conhecimento
Probabilidade
)
Probabilidade I
Ao fazer o seguro de um automóvel, o corretor de seguros traça o perfil do cliente. Automóveis cujo condutor princi- pal é homem, tem entre 18 e 25 anos e deixa o carro fora de estacionamento fechado têm seguro bem mais caro, embora não seja certo, mas com esse perfil a chance de ocorrer sinistro ou furto do veículo é considerável.
Um dado honesto foi lançado nove vezes e em todas elas ocorreu o número 5. João apostou que, no décimo lança- mento, também daria o número cinco. Embora lançado nas mesmas condições, nada garante que João ganhará a aposta.
A necessidade de se quantificar os riscos de um seguro e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar deram origem ao ramo da Matemática que cria, desenvolve e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para es- tudar experimentos (ou fenômenos) aleatórios. Tal ramo da Matemática recebe o nome de teoria das probabi- lidades. Experimentos aleatórios são experimentos que repetidos sob as mesmas condições podem produzir, por força do acaso, resultados diferentes.
Espaço amostral e evento
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e é indicado pela letra grega  (lê-se “ômega” ). Já evento é qualquer sub- conjunto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pre- tende ter três filhos, sendo dois homens e uma mulher. Considerando H para filho e M para filha, temos:
I. conjunto de todos os resultados possíveis para os três nascimentos (espaço amostral):
 = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);
(M,M,H); (M,M,M)}, cujo número de elementos é n() = 8;
II. subconjunto de  desejado (evento):
E = {(H,H,M); (H,M,H); (M,H,H)}, cujo número de elemen- tos é n(E) = 3.
Se no exemplo anterior o espaço amos- tral é equiprovável, a chance de cada evento ele-
Probabilidade
Probabilidade é um número que mede a chance de um evento acontecer, é um número associado a um evento. Para a definição da probabilidade de um evento (E) qual- quer do espaço amostral  = {a1, a2, ..., an), associaremos a
cada evento elementar {a}, um número real, indicado por
P(ai), chamado de probabilidade do evento elementar {ai}, tal que:
 0  P{ai}  1, para todo i  {1, 2, ..., n}; 
Exemplo 1:
Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, respec- tivamente, foi confeccionado de maneira que a probabi- lidade de uma face de número par ocorrer é duas vezes mais provável que uma face de número ímpar. Determine a probabilidade de ocorrer:
a) cada face.	b) um número primo.
 (
Solução:
O
 
espaço
 
amostral
 
desse
 
experimento
 
aleatório
 
é

 
=
 
{1,
 
2,
 
3,
 
4,
 
5,
 
6},
 
não
 
sendo
 
equiprovável.Chamando 
a
 
probabilidade
 
de
 
cada
 
face
 
de
 
número
 
ímpar
 
de
 
k
,
 
a 
probabilidade
 
de
 
cada
 
face
 
de
 
número
 
par
 
será
 
2k
.
 
Daí: 
I. 
P({1}) = P({3}) = P({5}) = k e P({2}) = P({4}) = P({6}) =
 
2k;
II. 
P({1}) + P({2}) + ... + P({6}) = 1 

 3 · k + 3 · (2k) = 1 

k 

 
1
.
9
a)
 
Portanto,
 
P({1})
 
=
 
P
 
({3})
 
=
 
P({5})
 
=
e P({2}) = P({4})
 
=
P({6})= 
2
.
1
b)
 
Ocorrer
 
número
 
primo
 
é
 
o
 
evento
 
E
 
=
 
{2,
 
3,
 
5}.
 
Daí:
P(E) = P({2}) + P({3}) + P({5}) = 2k + k + k = 4k = 
4
)
Evento certo, evento impossível e eventos complementares
I. O evento C, que coincide com o espaço amostral, é dito
evento certo e a sua probabilidade é igual a 1. Veja:
P(C)  n(C)  n  1 , ou seja, a probabilidade do evento
mentar ocorrer é de uma em oito, isto é, 1. Já a
n() n
chance do evento (E) ocorrer é 1  1  1  3 (três
certo ocorrer é 100%.
possibilidades em oito possíveis).
8 8 8 8
II. 
O evento D = { } =  (conjunto vazio) é dito im- possível e a sua probabilidade é igual a zero, veja:
Intuitivamente, quando o espaço amostral é equipro-
vável, a probabilidade de um evento E ocorrer, P(E), é dada
P(D)  n(D)  0  0 , ou seja, a probabilidade do evento
 (
n(

)
) n
pela razão entre o número de casos favoráveis e o número
 (
P(E) 

 n(E)
 

 número de casos favoráveis 
n(

)
número
 
de
 
casos
 
possíves
)de casos possíveis:
 (
n(

) 8
)No exemplo citado, P(E)  n(E)  3	.
impossível ocorrer é 0%.
III. Os eventos A e B, tais que A  B =  (a interse- ção é o conjunto vazio) e A  B =  (a união é o espaço amostral), são ditos eventos comple- mentares e suas probabilidades são tais que P(A) + P(B) = 1.
Interseção de eventos independentes
Dois eventos A e B são ditos independentes quando o fato de ter ocorrido um deles não alterar a probabilidade do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do evento B (ou A) ocorrer é a mesma, independentemente de B (ou A) ser tomado como subconjunto do universo  ou como subconjunto do universo B. Por exemplo, se um casal planeja ter três filhos, o evento A: “o primeiro filho é homem” e o evento B: “o terceiro filho é mulher” são even- tos independentes.
A  B é o evento que ocorre se, e somente se, os even-
tos A e B ocorrerem simultaneamente. No exemplo ante- rior, A  B é o evento “o primeiro filho é homem e o ter- ceiro filho é mulher”, isto é, para ocorrer o evento A  B, o primeiro filho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher. Então, podemos calcular a probabilidade de ocorrer A  B. Veja:
Note:
 = {(H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)}
A = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M)} P(A)  n(A)  4  1
União de eventos
Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amos- tral  não vazio, A  B (A união B) é o evento que ocorre quando há ocorrência de A ou de B, isto é, quando ocorre apenas A ou ocorre apenas B ou, ainda, ocorrem A e B ao mesmo tempo. Temos dois casos a considerar para o cál- culo da probabilidade de ocorrer A  B:
1) A  B = .
Nesse caso, P(A  B) = P(A) + P(B) e os eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos. Veja: Uma vez que A e B são conjuntos disjuntos (A  B = ), temos: n(A  B) = n(A) + n(B)
2) A  B  .
Nesse caso, há ocorrência simultânea dos e v e n t o s A e B e a probabilidade de ocorrer (A  B) é dada por P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B).Veja: Da teoria dos con- juntos, temos que:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Como n()  0, podemos escrever:
n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B) 
n()	n() n()	n()
 (
P(A
 

 
B)
 

 
P(A)
 

 
P(B)
 

 
P
(
A
 

 
B)
 
)
n() 8	2
 (
B
A
)B= {(H,H,M); (H,M,M);(M,H,M);(M,M,M)} P(B)  n(B)  4  1	
n() 8	2
A  B = {(H,H,M); (H,M,M)}  P(A  B)  n(A  B)  2  1
n()	8 4
 (
Observação:
Quando dois eventos 
A 
e 
B 
são independen- tes, uma outra maneira de se calcular a pro- babilidade deles ocorrerem simultaneamen- te (ou sucessivamente) é P(A 

 
B) = P(A) 
·
 
P(B).
No
 
exemplo
 
anterior,
 
P(A)
 

 
2
 
,
 
P(B)
 

 
2
e
 
A
 
e
 
B
 
são
 
in- 
dependentes.
1
1
Então:
 
P(A
 

 
B)
 

 
P(A)
 
.
 
P(B)
 

 
2
 
.
 
2
 

 
4
1
 
1
 
1
.
)A	B
Exemplo 1:
Exemplo 1:
 (
Solução:
Como
 
os
 
240
 
entrevistados
 
(n(

)=
 
240)
 
são
 
igual- 
mente prováveis,
 
temos:
I.
P(A) 

 
n(A)
 

 P(A) 

 
150
 

 
5
n(

)
240 8
II. 
P(B) 

 n(B)
 

 P(A) 

 80
 

 
1
n(

)
240 3
III. 
P(A 

 B) 

 
n(A 

 B)
 

 P(A 

 B) 

 30
 

 
1
n(

)
240 8
Logo,
 
P(A
 

 
B)
 
=
 
P(A)
 
+
 
P(B)
 
–
 
P(A
 

 
B)
 

 
P(A
 

 
B)
 
=
8 3 8
5
 

 
1
 

 
1
 

P(A
 

 
B)
 

 
5
6
.
)(Cesgranrio-Adap.) Um juiz de futebol possui três car- tões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo ver- melho e o terceiro é vermelho de um lado e amare- lo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?
Realizada uma pesquisa sobre o consumo dos refrigeran- tes A e B, em certo bairro de Fortaleza, constatou-se que dentre as 240 pessoas entrevistadas, 150 consomem o re- frigerante A; 80, o refrigerante B e 30 consomem os dois refrigerantes. Com o objetivo de checar a veracidade das informações apresentadas, quem encomendou a pesqui- sa escolheu, aleatoriamente, um dos entrevistados. Qual a probabilidade da pessoa escolhida consumir a marca A ou a marca B, segundo a pesquisa apresentada?
 (
Solução:
Para
 
o
 
evento
 
VA
 
“escolha
 
do
 
car
1
tão
 
vermelho
 
e
3
colhido
 
o
 
cartão
 
VA,
 
o
 
evento
 
B
 
“juiz
 
ver
 
a
 
face
 
V
 
e
 
o
amarelo”, a probabilidade é
P(VA) 

 
. Uma vez es-
P(VA
 

 
B)
 

 
1
 
.
 
1
 

 
1
é
 
a
 
probabilidade
 
procurada.
jogador, a face 
A
” tem probabilidade
P(B) 

 
1
. Daí,
2
3 2 6
)
 (
Questão Comentada
)
|C7-H28|
Baralho lusófono
O baralho mais usado nos países lusófonos (de língua portugue- sa) possui 52 cartas, distribuídas em 4 grupos (também chamados de naipes), os quais possuem 13 cartas de valores diferentes. Os nomes dos naipes em português (mas não os símbolos) são si- milares aos usados no baralho espanhol de quarenta cartas. São eles espadas (), paus (), copas () e ouros (), embora sejam usados os símbolos franceses.
Cada naipe possui 13 cartas, sendo elas um ás (representado pela letra A), todos os números de 2 a 10 e três figuras: o valete (também chamado de Jorge), representado pela letra J (do in- glês jack), a dama (também chamada de rainha) representada pela letra Q (do inglês queen) e o rei, com a letra K (do inglês king). Ao ás, geralmente, é dado o valor 1 e às figuras são dados, respectivamente, os valores de 11, 12 e 13.
Os nomes dos naipes em espanhol, correspondentes ao ba- ralho de 52 cartas, não têm as mesmas denominações do baralho espanhol de 40 cartas, que são oros, copas, espadas e bastos, mas seus correspondentes, diamantes, corazones, pique e treboles.
Alguns jogos também incorporam um par de cartas com valor es- pecial e que nunca aparecem com naipe: os curingas (Brasil) ou jokers (Portugal).
http://pt.wikipedia.org/wiki/Baralho
De um baralho de 52 cartas (13 de cada naipe: , ,  ou ), determine a probabilidade de ser retirada:
a) um ás (A).
b uma carta de ouro.
c) um ás (A) de ouro.
d) um ás (A) ou uma carta de ouro.
e) uma carta com figura (J, Q ou K).
f) três reis em seguida, sem reposição.
g) uma carta que não seja de ouro.
h) três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de ouro.
i) três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma de- las ser de ouro.
j) um rei (K), dado que a carta é de ouro.
k) uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K).
Solução comentada:
a) Um ás (A).
P(A) = 4/52 = 1/13
b) Uma carta de ouro.
P() = 13/52 = 1/4 = 25%
c) Um ás (A) de ouro.
Como a distribuição das cartas é uniforme, temos: P(A  ) = P(A) · P() = 1/13 · 1/4 = 1/52
De outra forma, podemos simplesmente ver que só existeum (A)s de ouro dentre as 52 cartas, logo:
P(A  ) = 1/52
d) Um ás (A) ou uma carta de ouro. P(A  ) = P(A) + P() – P(A  )
P(A  ) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 P(A  ) = 4/13
e) 
Uma carta com figura (J, Q ou K).
Existem 4 valetes (J), 4 damas (Q) e 4 reis (K), logo:
P(J  Q  K) = 12/52 = 3/13
f) Três reis em seguida, sem reposição.
Como as cartas retiradas não vão sendo devolvidas, a proba- bilidade de retirar o próximo rei vai diminuindo, ou seja:
P(K  K  K) = (4/52) · (3/51) · (2/50) = 1/5525
g) Uma carta que não seja de ouro.
A chance de tirar uma carta de ouro é P() = 1/4 e de não tirar é P() = 1 – P(), ou seja:
P() = 3/4
h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de ouro.
Como há reposição, a probabilidade de retirar uma carta que não seja de ouro é sempre a mesma, logo:
P(    ) = (3/4) · (3/4) · (3/4) = 27/64
i) Três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma delas ser de ouro.
Como devemos tirar três cartas e pelo menos uma tem que ser ouro, concluímos que a única coisa que não pode ocorrer é tirar três cartas seguidas que não sejam de ouro, então a probabilidade procurada é:
P = 1 – (3/4) · (3/4) · (3/4) = 1 – 27/64 = 37/64
j) Um rei (K), dado que a carta é de ouro.
Entre as 13 cartas de ouro, existe apenas um rei (K), logo:
P(K/) = P(K  )/P() = 1/13
k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K). Entre os 4 reis do baralho, apenas uma carta é de ouro, logo: P(/K) = P(  K)/P(K) = 1/4
 (
Para Fixar
)
|C1-H2; C7-H28|
03. Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhis- tas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, as chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor é:
a) 37/44 b) 37/220 c) 185/200 d) 185/210 e) 37/88
|C7-H29|
04. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informan- do que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7	b) 1/3	c) 2/3
d) 5/7	e) 4/7
 (
A
 1
 
1/2
B
1/3
1/2
1/2
B
A
 
 
1
 
1/3
1/2
1/2
1/2 
A
C
1/2
1/2
1/2
B
1/2
A C B C B
C
 
 A
C
 
 
 
 
1/6
1/6
1/6
1/6
(1)
(2)
(3)
(4)
1/3
1/12
1/12
1/12
1/12
(5)
(6)
(7)
(8)
)OS DOIS BODES
Em um programa de televisão, o candidato é solicitado a escolher uma entre três portas fechadas. Atrás de uma de- las, há um prêmio, mais precisamente um carro, e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pen- sando que esse é um programa dominical de alguma es- tação de televisão brasileira, vamos logo avisando que está enganado, trata-se de um programa de televisão italiana.
Depois de o candidato ter escolhido a porta que dese- ja, mas antes de abrí-la, o animador do programa, que sabe onde estão os bodes, abre uma das portas que não foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela.
É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o candidato escolheu há um bode, ainda há outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo candidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e , nesse caso, o animador escolhe ao acaso uma dessas portas para abrir.
Então, nesse momento, o candidato está com a mão na maçaneta de uma porta fechada, rezando para que ali esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta
 (
aberta
 
que
 
mostra
 
um
 
bode.
 
Aí
 
então
 
se
 
faz
 
uma
 
cruelda-
)
quantas vezes o candidato ganharia o prêmio se adotas- se a estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do “deve trocar” exclamasse “não disse?”
Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de
C. A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primei- ro estágio, a escolha inicial do candidato e, no segundo, o bode exibido pelo animador. O terceiro estágio mostra a segunda escolha do candidato.
Observe que o candidato ganha trocando de porta
 (
nos
 
casos
 
(2)
 
e
 
(4),
 
portanto,
 
com
 
probabilidade
 
igual
 
a
) (
.
)2
de com o candidato. O animador pergunta ao candidato se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela outra porta que ainda permanece fechada.
O que você acha que o candidato deve fazer visando maximizar a probabilidade de ganhar o carro? Você acha que ele deve permanecer com a porta que escolhera ini- cialmente, deve trocar de porta, ou tanto faz?
Convidamos você a pensar um pouco mais.
 (
Objeto do Conhecimento
Estatística
)Fizemos então uma simulação. No computador, realiza- mos uma série de 1000 experiências, arrumando os bodes ao acaso e fazendo com que o animador, no caso de haver dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato, sele- cionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então
A Estatística é uma área do conhecimento que utiliza teo- rias probabilísticas para explicação de eventos, estudos e experimentos. Tem por objetivo obter, organizar e ana- lisar dados, determinar as correlações que apresentem, tirando delas suas consequências para descrição e expli- cação do que passou e previsão e organização do futuro. A Estatística é também uma ciência e prática de desen- volvimento de conhecimento humano através do uso de dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleato- riedade e incerteza são modeladas pela teoria da probabi- lidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a sumarização e a interpretação de obser- vações, porque o objetivo da Estatística é a produção da “melhor” informação possível a partir dos dados disponí- veis. Alguns autores sugerem que a Estatística é um ramo
da teoria da decisão.
O candidato ganha sem trocar de porta nos casos (6) e (8), com probabilidade igual a 1.
Logo, a probabilidade de ganhar trocando de porta é o dobro da probabilidade de ganhar sem trocar. Então, a melhor estratégia é sempre trocar de porta!
 (
1
)A árvore mostra também que, depois de exibido o bode, a probabilidade de ganhar o o carro é igual a ,
soma das probabilidades dos casos (2), (4), (6) e (8). A pro-
babilidade de ganhar o carro antes de ser exibido o bode é igual a 1.
Estuda-se Estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justi- ficando cientificamente as decisões. Os princípios estatísti- cos são utilizados em uma grande variedade de situações
· no governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito da ciências sociais, biológicas e físicas. A Estatística presta-se a aplicações operacionais e de pesquisas, sendo efetiva não só em experimentos de laboratório, mas tam- bém em estudos fora dele.
A Estatística compreende o planejamento e a execu- ção de pesquisas, a descrição e a análise dos resultados e a formulação de predições com base nesses resultados.
 (
Estatística
 
é
 
o
 
campo
 
do
 
conhecimento
 
científico 
que
 
trata
 
da
 
coleta
 
e
 
análise
 
de
 
dados
 
com
 
o
 
fim
 
de
 
se 
obter
 
conclusões
 
para
 
tomada
 
de
 
decisões
.
)
A Estatística pode ser dividida em:
· Estatística Descritiva ou Dedutiva;
· Inferência Estatística ou Indutiva.
Tipos de Variáveis
Algumas variáveis como sexo, grau de instrução e estado civil apresentam como possíveis realizações uma qualida- de (ou atributo) do indivíduo pesquisado. São denomina- das de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo na empresa, idade e salário apresentam como pos- síveis valores, números resultantes de uma contagem ou mensuração. Estas são chamadas Variáveis Quantitativas.
Classificação das variáveisem Estatística
	Variáveis
	Qualitativas (atributos)
	Quantitativas (numéricas)
	Nominais
	Ordinais
	Discretas
	Contínuas
	Exemplos:
· sexo;
· cor;
· religião.
	Exemplos:
· grau de instrução;
· status
social.
	Exemplos:
· nº de fun- cionários;
· quantidade
de alunos.
	Exemplos:
· peso;
· altura;
· salário.
Distribuição de frequências com dados agrupados
Um radar, instalado num trecho de uma rodovia, registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em quilô- metros por hora, estão indicadas neste quadro:
	62
	123
	95
	123
	81
	123
	60
	72
	86
	108
	109
	84
	121
	60
	128
	77
	91
	51
	100
	63
	104
	107
	63
	117
	116
	69
	116
	82
	95
	72
	94
	84
	123
	52
	90
	100
	79
	101
	98
	110
	79
	92
	73
	83
	74
	125
	56
	86
	98
	76
	
	
	
	
Se tentássemos elaborar o quadro de distribuição de frequências utilizando esses dados, pouco ou nada po- deríamos concluir, pois eles são muito diferentes. Nesses casos, é interessante agrupá-Ios em classes ou interva- los, escolhendo-se convenientemente a amplitude dos intervalos.
No exemplo, podemos agrupar as velocidades em in- tervalos de amplitude 10. Como o menor valor é 51 km/h, a primeira classe será [50, 60[.
Obtemos, assim, o seguinte quadro de frequências:
	Classe
	Velocidade(km/h)
	fi
	fr (%)
	1
	[50, 60[
	3
	6
	2
	[60, 70[
	6
	12
	3
	[70, 80[
	8
	16
	4
	[80, 90[
	7
	14
	5
	[90, 100[
	8
	16
	6
	[100, 110[
	7
	14
	7
	[110, 120[
	4
	8
	8
	[120, 130[
	7
	14
	Total
	
	50
	100%
A velocidade máxima permitida no referido trecho da estrada é 90 km/h. Como há uma tolerância de 10 km/h, os veículos só serão multados a partir de 100 km/h. Quantos por cento desses veículos foram multados?
Observando o quadro, temos:
· 7 veículos com velocidade no intervalo [100, 110[
· 4 veículos com velocidade no intervalo [110, 120[
· (
Observação:
O
 
ponto
 
que
 
divide
 
o
 
intervalo
 
de
 
classe
 
em
 
duas
 
par- 
tes
 
iguais
 
é
 
denominado
 
ponto
 
médio
 
do
 
intervalo
. 
Por
 
exemplo,
 
a
 
velocidade
 
dos
 
veículos
 
na
 
classe
 
5
 
[90, 
100[ pode ser representada
 
por:
x 

 
90 

 100
 

 95 km / h
5
2
O
 
intervalo
 
real
 
[a,
 
b[
 
também
 
é
 
representado,
 
em
 
Es- 
tatística,
 
pela
 
notação
 
a
b.
)7 veículos com velocidade no intervalo [120, 130[ 18 veículos foram multados
 (

)Histograma de frequências
Quando se trata da representação gráfica de distribui- ção de frequências com dados agrupados, vamos utilizar um novo tipo de gráfico, denominado histograma de frequências absolutas.
Histograma é um gráfico formado por um conjunto de colunas retangulares. No eixo das abscissas, marcamos as classes, cujas amplitudes correspondem às bases dos retângulos. No eixo das ordenadas, marcamos as frequên- cias absolutas, que correspondem às alturas dos retângu- los. Os pontos médios das bases dos retângulos coincidem com os pontos médios dos intervalos das classes.
Considerando a distribuição de frequências das velo- cidades do exemplo anterior, dos 50 veículos examinados na rodovia, temos:
 (
f
i
8
50 60 70 80 90 100 110 120 130
V
) (
6
)Observe	que sobre cada um dos 7 intervalos foi cons- truído um retângu- lo de área propor- cional à frequência absoluta respectiva.
Medidas de tendência central
Média aritmética
Acompanhe a situação a seguir.
elocidade (km/h)
Essa média é conhecida como média aritmética pon- derada e o número de vezes que o salário se repete é denominado peso.
 (
x 

 
 
i

 
1
n

x
i
f
i
n

 
f
i
i

 1
)A média aritmética ponderada facilita o cálculo de mé- dias quando há valores que se repetem várias vezes. Nes- se caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes (peso) que eles ocorrem.
 (
x 

 
x
1
f
1
 

 x
2
f
2
 

 ... 

 x
n
f
n
f
1
 

 f
2
 

 ... 

 f
n
)ou
Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:
	Segunda
	Terça
	Quarta
	Quinta
	Sexta
	Sábado
	28
	23
	22
	27
	25
	13
Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa
Mediana (Md)
As nove classes de 3ª série do ensino médio de uma esco- la têm, respectivamente: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44 alunos.
Colocando esses dados em ordem crescente:
semana?
Para	resolver	esse	problema,	devemos	fazer:
28  23  22  27  25  13  138  23 .
28, 37, 37, 37,

4 valores
40,

mediana
41, 41, 44, 45,

4 valores
6	6
O número 23 é chamado média aritmética dos nú- meros 28, 23, 22, 27, 25 e 13.
Isso significa que, se a venda diária dessa semana fosse sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, obteríamos o mesmo total de livros vendidos: 138.
Assim, na quarta e no sábado, a venda da livraria foi abaixo da média, enquanto na segunda, quinta e sexta foi acima da média.
Média aritmética (x) dos valores x1, x2, x3, ..., xn é o quo- ciente entre a soma desses valores e o seu número total n:
 (
x 

 
x
1
 

 x
2
 

 x
3
 

 ... 

 x
n
 
n
)
Média aritmética ponderada
A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa.
	Salário (em R$)
	Número de funcionários
	600
	12
	900
	7
	1.200
	5
	1.800
	6
	4.500
	8
	Total
	38
Qual a média salarial dos funcionários dessa empresa? Observando a tabela, a média salarial	desses funcio-
nários pode ser calculada da seguinte forma:
600 . 12  900 . 7  1.200 . 5  1.800 . 6  4.500 . 8
A distribuição tem um número ímpar (9) de dados. Há quatro valores à esquerda de 40 e quatro valores à direita de 40. Dizemos que o valor central dessa distribuição, 40, é a mediana.
Indicamos:
Md = 40
 (
O
 
valor
 
que
 
ocupa
 
a
 
posição
 
central
 
de
 
um
 
conjunto 
de
 
valores,
 
colocados
 
em
 
ordem
 
crescente
 
ou
 
decres- 
cente
 
de
 
grandeza,
 
é
 
chamado
 
mediana
.
)
E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se nosso conjunto for o se- guinte:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n = 6. Um número par de elementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, significa que haverá duas posi- ções centrais!
Estas posições centrais poderão ser encontradas da se- guinte forma:
 1ª Posição Central: (n/2)
 2ª Posição Central: a vizinha posterior.
Nesse caso, em que n = 6, teremos:
 1ª Posição Central: (n/2) = 6/2 = 3ª Posição!
 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição! As duas posições centrais estão, portanto, identifica- das. Resta descobrir quais são os dois elementos que as ocupam e vejam o que será feito para calcularmos a me-
x 	12  7  5  6  8
	diana. Teremos:
 (
123
){10, 20, 30, 40, 50, 60}
 66.300, 00 @1.744, 73
38
Portanto, a média salarial dos funcionários dessa em- presa é R$ 1.744,73.
4ª Posição  40 3ª Posição  30
Md = (30 + 40) /2
Md = 35
Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam as duas posições cen- trais, somaremos esses elementos e dividiremos o resul- tado desta soma por dois. Assim, chegaremos à mediana do conjunto! Esse valor 35 não é um dos elementos! E, no entanto, é a mediana!
Moda (Mo)
Feita uma pesquisa para saber o número de irmãos que
Desvio médio (dm)
Vamos considerar o quadro seguinte, que nos mostra as notas de Matemática de um aluno durante um ano letivo:
	Bimestre
	1º
	2º
	3º
	4º
	Notas
	5
	8
	6
	9
Vamos calcular a média aritmética desse aluno:
x  5  8  6  9  28  7
cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o	4	4
seguinte quadro:
Calculemos, agora, as diferenças entre cada uma das notas e a média. Essas diferenças são chamadas desvios
 (
0,
 
2
,
 
3,
 
2
,
 
1,
 
2
,
 
2
,
 
1,
 
1,
 
2
,
 
1,
 
2
,
 
0,
 
1,
 
2
,
 
0,
 
2
,
 
2
,
 
3,
 
4,
 
2
,
2
, 3, 1, 3, 
2
, 5, 
2
, 4, 4
)para a média(xi  x)
· x1  x  5  7  2
 (
A
 
média
 
aritmética
 
dos
 
valores
 
absolutos
 
dos
 
desvios para
 
a
 
média
 
é
 
uma
 
medida
 
de
 
dispersão
 
chamada 
desvio
 
médio
,
 
que
 
se
 
indica
 
por
 
dm.
)
:
· x3  x  6  7  1
Fazendo a contagem, obtemos a tabela:
	Número de irmãos
	Frequência absoluta
	03
	1
	6
	2
	13
	3
	4
	4
	3
	5
	1
· 
x2  x  8  7  1
dm 
· 
4  x  9  7  2
 (

n
x
i
 

 x
 dm 

 
i

1 
n
)
 2  1  1  2  6  1, 5
 (
x
1
 

 
x

x
2
 

 x

x
3
 

 
x

x
4
 

 
x
)Observe que o número de irmãos varia entre 0 e 5 e o número que aparece mais vezes é o 2, isto é, 13 alunos têm 2 irmãos. Dizemos que 2 é a moda desse conjunto de valores e indicamos:
 (
Moda
 
de
 
um
 
conjunto
 
de
 
valores
 
é
 
o
 
valor
 
que
 
apa- 
rece
 
um
 
maior
 
número
 
de
 
vezes,
 
ou
 
seja,
 
é
 
o
 
valor
 
de 
maior frequência
 
absoluta.
)Mo = 2
4	4	4
Variância (Va)
O valor que corresponde à média aritmética dos quadra- dos dos desvios em relação à média recebe o nome de variância, valor esse que se indica por Va.
 (
Va 

 
 
i

 
1
n

f
i
 (x
i
 

 x)
2
n

f
i
i

 1
)
Um conjunto de valores pode ter uma só moda, duas modas, três modas etc., ou nenhuma moda. Para ilustrar, observe as notas de recuperação em Português obtidas
No mesmo exemplo:
 (
1
)x  x2  (2)2  4
 (
2
)x  x2  (1)2  1
x  x2  (1)2  1
 (
3
) (
4
)x  x2  (2)2  4
por três classes de uma escola e suas respectivas modas:
Va  4  1 1 4  10  2, 5
 (
Classe
Notas
Moda
3º A
4, 5, 6, 7, 8, 8, 9
8
3º B
3, 5, 6, 6, 7, 7, 9
6 e 7
3º C
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
não tem
)4	4
Desvio padrão (s)
Medidas de dispersão
Para caracterizar um conjunto de dados em Estatística, nem sempre são suficientes a média, a moda e a mediana. Em alguns casos, temos de recorrer a outros parâme- tros, que são chamados medidas de dispersão. Vamos estudar três dessas medidas: desvio médio, variância e
desvio padrão.
A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão do conjunto de dados, valor que representamos por s.
 (
s 

 Va
)
No mesmo exemplo:
s  2, 5  1, 58
Então, para as notas do aluno considerado, temos:
· média aritmética: x  7	 variância: Va = 2,5
· desvio médio: dm = 1,5	 desvio padrão: s = 1,58
 (
Questão Comentada
)
|C7-H27|
 (
Velocidade
 
(km/h)
Frequência
 
(número
 
de
 
carros)
50
60
10
60
70
20
70
80
45
80
90
30
90
100
5
Total
110
) (

 

 

 

)Numa avenida de trânsito rápido, a velocidade dos veículos, em certo trecho e em dado horário, foi observada e está apresentada no quadro abaixo.
200
175
150
125
100
75
50
25
0
-25
-50
-75
 (
mudança desde 1948 (%)
) (
produtividade 
total 
da
 
agricultura
dos
 
EUA
custos de material
despesas 
de capital
uso da terra
custos de mão de obra
)
1950 1960 1970 1980 1990 2000
ano
 (

)Para diminuir o número de acidentes nesse local, a Compa- nhia de Engenharia de Tráfego (CET) estabeleceu um limite de velocidade a essa avenida igual à média da velocidade dos carros observada. Para controle, irá instalar um radar que é acionado quando a velocidade do veículo chega a 10% aci-
Scientific American Brasil, jun/2007, p. 19 (com adaptações).
Com base nas informações anteriores, pode-se considerar fator relevante para o aumento da produtividade na agricul- tura estadunidense, no período de 1948 a 2004:
a) o aumento do uso da terra.
b) a redução dos custos de material.
c) a redução do uso de agrotóxicos.
d) o aumento da oferta de empregos.
e) o aumento do uso de tecnologias.
|C7-H28|
ma da velocidade-limite. A velocidade de acionamento do radar será de:
a) 60,5 km/h	b) 65 km/h	c) 75 km/h
d) 82,5 km/h	e) 85 km/h
06. 
O gráfico ao lado
 (
42
46
50
29
19
11
4
) (
Freq.
 
abs.acum.
 
CTE
)apresenta os valores	60
50
de 50 aluguéis em	40
 (
20
)uma região praiana,	30
no verão de 2008, uti-	10
Valores dos aluguéis verão/2008
Solução comentada:
Construindo a tabela temos:
lizando frequências absolutas acumula- das crescentes.
0
517 530 543 556 569 582 595
Valor do aluguel em reais
 (
Velocidade 
(km/h)
50
60
60
70
70
80
80
90
90
100
Total
Frequência 
(fi)
 
–
 
núme- 
ro
 
de
 
carros
10
20
45
85
95
110
PM
 
(Ponto 
Médio
 
)
PM
 

 
fi
55
65
75
85
95
550
1300
3375
2550
475
8.250
)Fazendo a leitura do gráfico, é correto afirmar que:
a) 19 dos valores dos aluguéis coletados é de R$ 543,00.
b) (

 

 

 

)21 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 543,00 e menores que R$ 569,00.
c) 29 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 517,00 e menores que R$ 569,00.
d) 46 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 582,00 e menores que R$ 595,00.
e) (
Exercitando para o Enem
) (

)34 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais a R$ 517,00 e menores que R$ 543,00.
Logo:
x   fi(PM)  x  8.250  x  75 km/h n	110
|C1-H2|
01. Observe a tirinha de quadrinhos a seguir.
 (
CEBOLINHA! 
QUER 
PARAR DE TORCER PRA MÔNICA?
)Logo, a velocidade de acionamento do radar será de (100% + 10%) de 75 km/h, isto é 82,5 km/h.
 (
Para Fixar
)Resposta correta: d
|C7-H29, H30|
05. Leia o texto.
AUMENTO DE PRODUTIVIDADE
Copyriht ã1999 Mauricio de Sousa Produções Ltda. Todos os direitos reservados	5445
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”.
Nos últimos 60 anos, verificou-se grande aumento da pro- dutividade agrícola nos Estados Unidos da América (EUA). Isso se deveu a diversos fatores, tais como expansão do uso de fertilizantes e pesticidas, biotecnologia e maquinário es- pecializado. O gráfico abaixo apresenta dados referentes à agricultura desse país, no período compreendido entre 1948 e 2004.
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer po- sição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer, nessa brincadeira, será igual a:
a) 60 b) 150 c) 600
d) 120 e) 200
|C1-H3|
02. Uma rede é formada de triângulos 		 equiláteros congruentes, conforme 			 a representação ao lado.	 				 Uma formiga se desloca do ponto A 			 para o ponto B sobre os lados dos		 	 triângulos, percorrendo X caminhos
distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
a) 20	b) 15	c) 12
d) 10	e) 25
|C1-H3|
03. Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numé- ricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previa- mente pelo fabricante.
 (
3
1 
2
6
4 
5
8 
9
7
10
3
1 2
5 6
)Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre.
Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para cin-
co o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre.
Calcule o valor de n – m.
a) 10	b) 15	c) 20
d) 25	e) 30
|C7-H28|
04. Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos cas- tanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a proba- bilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
	a)
	0
	b)
	10/19
	c) 19/50
	d)
	10/50
	e)
	19/31
	
|C7-H30|
05. As placas que são utilizadas nos carros registrados no Brasil sofreram algumas alterações no século passado:
Entre 1901 e 1941, cada município era responsável por expe- dir as placas de seus automóveis, havendo, portanto, muitas placas idênticas ao longo de todo território nacional.
 (
14
 
63
 
47
LONDRINA PR
) (
IESDE Brasil S.A.
)Entre 1941 e 1969, elas possuíam 6 algaris- mos quaisquer, mas nenhuma letra.
 (
AM-MANAUS
ZD-9834
) (
IESDE Brasil S.A.
)Entre 1969 e 1990, dois desses algarismos foram trocados por letras quaisquer. Nesse período, o emplaca-
mento era de responsabilidadeestadual e, portanto, a mesma placa mostrada a seguir podia existir em vários estados.
 (
RS-PORTO
 
ALEGRE
IIY-0082
) (
IESDE Brasil S.A.
)A partir de 1990, foram mantidos os quatro algarismos e foi acrescentada uma letra. A partir de então,
o sistema de emplacamento passou a ser nacional, de forma que, atualmente, não existem duas placas iguais em todo o país.
Sabendo-se que a frota atual de carros no Brasil é de aproxi- madamente 50 milhões de veículos, a respeito dos diversos sistemas de placas que já foram adotados no país, é correto afirmar que:
a) o sistema adotado entre 1941 e 1969 poderia ser usado atu- almente para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa di- ferente.
b) o sistema atual jamais terá que ser trocado, mesmo que pla- cas usadas para carros que não estão mais em circulação pu- dessem ser reutilizadas, em carros novos.
c) o sistema adotado entre 1969 e 1990 não poderia ser usado atualmente para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa diferente.
d) o sistema atual permite que sejam geradas pouco menos de 100 milhões de placas distintas, sendo mais do que suficiente para a frota brasileira.
e) o sistema adotado entre 1969 e 1990 permitia que fossem geradas mais de 10 milhões de placas distintas.
|C7-H29|
06. A roleta, considerada um jogo de azar, é proibida no Brasil. Nesse jogo, a probabilidade de se ganhar é sempre menor que a probabilidade de perder. Assim, o jogador terá uma tendência natural de continuar jogando para tentar recupe- rar as perdas, podendo desenvolver um vício.
 (
0 
0
1
2 
 
3
4 5 
 
6
7 8 
 
9
10 11 
 
12
13 14 
 
15
16 
17 
 
18
19 
20 
 
21
22 23 
 
24
25 26 
 
27
28 29 
 
30
31 32 
 
33
34 35 
 
36
) (
3rd
 
12
2nd
 
12
1st
 
12
) (
PAR 
ÍMPAR
)Nesse jogo, os números que podem ser sorteados vão de 0 a 36, como é possível verificar na figura a seguir.
 (
1 to 18 19 to 36
)Existem vários tipos de apostas que os jogadores podem fa- zer nesse tipo de jogo, mas a preferida normalmente é aquela em que se aposta em determinado número, concentrando- se fichas na escolha feita.
Depois que a roleta é posta a girar, após alguns segundos, uma bolinha cai e para no espaço relativo a um determinado número. Esse é o número sorteado naquela rodada. O res- ponsável por comandar o jogo observa o tabuleiro e vê se alguém colocou fichas naquele número. Em caso afirmativo, paga para esse apostador 36 vezes o valor de sua aposta (a própria aposta e mais 35 vezes o valor dela). Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.
a) Quanto maior o valor apostado por um jogador, maior a chance que ele tem de perder a rodada.
b) Quanto maior o valor apostado por um jogador, maior a chance que ele tem de ganhar a rodada.
c) Analisando exclusivamente pelo ponto de vista das probabi- lidades, a proibição da roleta é uma decisão acertada, pois a chance de o jogador ganhar é de 1 .
d) Se em todos os números do tabulei3ro7for colocada exatamente uma ficha, nesse caso, o cassino não ganha nem perde.
e) Se um jogador aposta sempre em um mesmo número, au- mentam suas chances de obter lucro após várias rodadas.
|C7-H28|
07. Um agricultor deseja fazer a colheita de sua produção. Para tal, ele realiza uma consulta sobre a previsão do tempo nos próximos 4 dias, pois ele sabe que a colheita demora um pra- zo de 3 dias para ser completamente realizada e tem que ser feita sem interrupção e sem chuva na maior parte do tempo. Segundo estudos agronômicos, se a probabilidade de não chover ao longo dos 3 dias for maior que 30%, vale a pena ini- ciar a colheita. Se for menor que 20%, não vale a pena iniciar a colheita. Se estiver entre esses dois valores, pode-se realizar a colheita, mas aconselha-se que ela seja agilizada e termine em apenas 2 dias consecutivos.
 (
Dia
Probabilidade de chover
1
30%
2
50%
3
40%
4
60%
)A tabela a seguir mostra a probabilidade de chuva no perío- do consultado.
Fazendo a leitura da tabela, é incorreto afirmar que:
a) o valor de A é 8.
b) o valor de B é 23.
c) o valor de C é 25.
d) 75% dos alunos têm menos de 26 anos.
e) 16 alunos têm menos que 24 anos.
|C7-H27|
 (
Taxa
 
Média
 
de
 
Desocupação
 
(%)
9,9 
10,1 10,110,1
9,8
9,7
9,5
9,5
 
9,5
9,3
9,0
8,4
8,7
8,2
10/06 11 12 01/07 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11/07
)09. Observe o gráfico.
Considere os eventos citados como independentes. Para ten- tar maximizar sua chance de sucesso na colheita, esse agri- cultor deve:
a) realizar a colheita nos 3 primeiros dias do período consultado.
b) realizar a colheita nos 2 últimos dias do período consultado ou esperar outra ocasião melhor.
c) realizar a colheita nos 2 primeiros dias do período consultado ou esperar outra ocasião melhor.
d) realizar a colheita nos 3 últimos dias do período consultado.
e) deixar para realizar a colheita em outra ocasião.
|C7-H27|
 (
f
r
%
14,3
14,3
28,6
17,8
C
F
c
4
8
16
B 
28
f
4
4
A 
5
7
Valores
18 
 
20
20 
 
22
22 
 
24
24 
 
26
26 
 
28
)08. A tabela a seguir apresenta as idades dos alunos de Estatística I de certa faculdade.
IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento.
Pesquisa Mensal de Emprego.
Com base no gráfico apresentado, pode-se afirmar que:
a) a média arirmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 9,4.
b) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 8,4.
c) a média aritmética é igual a 9,2 e a moda é igual a 9,4.
d) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 10,1.
e) a média aritmética é igual a 9,0 e a moda é igual a 9,5.
|C7-H27, H30|
10. Veja abaixo uma amostra de 5 tempos (em minutos) de fabrica- ção de certa peça por três equipamentos diferentes: Equipamento A: 10, 11, 9, 10, 10
Equipamento B: 11, 11, 10, 10, 8
Equipamento C: 7, 8, 8, 8, 9
Utilizando a principal medida de variação, verifique qual o equi- pamento mais irregular.
a) Equipamento A.
b) Equipamento B.
c) Equipamento C.
d) Os equipamentos A e B têm a mesma regularidade.
e) Todos têm a mesma regularidade.
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	c
	c
	a
	b
	e
	c
 (
Para
 
Fixar
Exercitando
 
para
 
o
 
Enem
) (





)Considere: f a frequência simples absoluta;
 (
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
d
b
a
b
c
c
c
b
d
b
)Fc a frequência acumulada crescente;
fr % a frequência simples relativa.
 (
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)
Expediente
 (
ISBN 978-85-7529-512-0
)Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Sérgio Falcão Coordenação do Curso: Fernanda Denardin e Marcelo Pena Coordenação Editorial: Sara Rebeca Aguiar
Coordenação Acadêmico-Administrativa: Ana Paula Costa Salmin
Coordenação de Design Gráfico: Deglaucy Jorge Teixeira
Projeto Gráfico: Dhara Sena e Suzana Paz
Capa: Suzana Paz
Editoração Eletrônica: Antônio Nailton
Ilustrações: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e João Lima
Revisão: Maria Sárvia, Rosana Nunes e Sara Rebeca Aguiar
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