IAL_-_I_-_01_Prof_Flavio_aula_5[1]

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2 – DETERMINANTES
1
2 – Determinantes
1 – A função determinante 1
2 – DETERMINANTES
1 – A Função Determinante
A função determinante é uma função real de uma variável matricial, o que 
significa que associa um número real a uma matriz quadrada.
Antes de apresentar a definição da função determinante faz‐se necessário estudar 
os  conceitos  de  permutação e  produto elementar.
Definição:  Uma  permutação do  conjunto  de  inteiros  {1, 2, 3, ..., n} é um 
rearranjo  destes  inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.
Definição:  Uma permutação  é denominada par se o número total de inversões é 
um inteiro par e é denominada ímpar se o número total de inversões é ímpar.
‐ Ocorre uma inversão em uma permutação sempre que um inteiro maior precede um menor. 
‐ O número total de inversões que pode ocorrer numa permutação pode ser obtido como segue:
(i) encontre o número de inteiros que são menores que j
1
e que estão depois de j
1
na permutação.(i)  encontre o número de inteiros que são menores que j
1
e que estão depois de  j
1
na permutação.
(ii) encontre o número de inteiros que são menores que  j
2
e que estão depois de  j
2
na permutação.
(iii) continue este processo  para   j
3
, ..., j
n-1
. A soma destes números será o número total de 
inversões na permutação.
2 – Determinantes
1 – A função determinante 2
Permutação
Número de 
I õ
Classificação
Exemplo 1 ‐ Existem seis permutações distintas 
e utação
Inversões
C ass cação
(1, 2, 3) 0 Par
(1, 3, 2) 1 Ímpar
e p o p ç
do conjunto de inteiro  {1, 2, 3}  e são classificadas 
da seguinte forma:
( , , ) p
(2, 1, 3) 1 Ímpar
(2, 3, 1) 2 Par
(3, 1, 2) 2 Par
(3, 2, 1) 3 Ímpar
Definição:  Se A é uma matiz de tamanho nxn, dizemos que um produto de n
entradas de A, tais que não há duas de mesma linha ou mesma coluna de A, é um 
produto elementar da matriz Aproduto elementar da matriz A.
‐ Um produto elementar                               multiplicado por +1 ou ‐1 é denominado um 
produto elementar com sinal de A. Nós usamos + se ( j
1
, j
2
, ..., j ) é uma permutação par e
n
njjj
aaa ,,,
21
21
   
produto elementar com sinal de A.  Nós usamos + se ( j
1
, j
2
, ..., j
n
) é uma permutação par e 
o – se ( j
1
, j
2
, ..., j
n
)  é uma permutação ímpar.                               
Definição: Seja A uma matiz quadrada. A função determinante é denotada porDefinição:  Seja A uma matiz quadrada. A função determinante é denotada por 
det ou | | e nós definimos det(A)=|A| como a soma de todos os produtos 
elementares com sinal de A. O número det(A) é denominado determinante de A.
2 – Determinantes
1 – A função determinante 3
Exemplo 2 – Calcule o determinante da matrize p o
a) 


2221
1211
aa
aa
A
 2221
‐ Como cada produto elementar deve ter dois fatores e como cada fator vem de uma 
linha distinta, um produto elementar pode ser escrito na forma             onde as lacunas 
21
aa
, p p
designam números de coluna.  Como não há dois fatores no produto vindo da mesma 
coluna, os números de coluna devem ser 1 2 ou 2 1.
__
Produto 
Elementar
Permutação 
Associada
Par ou Ímpar
Produto 
Elementar 
Elementar Associada
com Sinal
(1, 2) Par
(2, 1) Ímpar
2211
aa
2112
aa
2211
aa
2112
aa
(2, 1) Ímpar
2112
2112
  1211
d
aa
A
 
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
A 
2 – Determinantes
1 – A função determinante 4
 131211
aaa
b)









333231
232221
131211
aaa
aaaA ‐ O produto elementar na forma                                          
_3_2_1
aaa

Produto 
El t
Permutação 
A i d
Par ou Ímpar
Produto 
Elementar com 
Elementar Associada
p
Sinal
(1, 2, 3) Par
(1 3 2) Ímpar
332211
aaa
332211
aaa
aaa
aaa(1, 3, 2) Ímpar
(2, 1, 3) Ímpar
(2, 3, 1) Par
322311
aaa
322311
aaa
332112
aaa
332112
aaa
312312
aaa
312312
aaa
( , , )
(3, 1, 2) Par
(3, 2, 1) Ímpar
312312
312312
322113
aaa
312213
aaa
312213
aaa
322113
aaa
  
322113312312332211232221
131211
det aaaaaaaaaaaa
aaa
A
 
322113312312332211
333231
232221
aaa
322311332112312213
aaaaaaaaa 
2 – Determinantes
1 – A função determinante 5
Exercício 1 – Mostre que o valor de det(A)  independe de e c c o q de ( ) p 




 0sincos
0cossin


A


 

1cossincossin
0sincos

A
Solução:
 cossin0cossin




cossincossin
sincos
1cossincossin
0sincos)det(



A
‐ +
1i)(i)d t(
2222 A 1cossin)cos(sin)det( 2222  A
2 – Determinantes
1 – A função determinante 6
301
1

x
Exercício 2 – Resolva a equação                                                   em x
531
62
13
1



x
x
x
x
Solução:
x
3
1
2 
xxxx
xx
x
23
301
3
13
22
2






   
xxx
x
x 183185
531
62
2








333
0332
2
 xxx
4
0332  xxx
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 7
2 – Propriedades da Função Determinanteop edades da u ção ete a te
Teorema:  Seja A uma matriz quadrada nxn
) S A t li h l d tã d t(A) 0a) Se A tem uma linha ou coluna de zeros, então det(A)=0.
b) Se A possui duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais, 
então det(A)=0.
c) det(A) = det(AT)
2.1 ‐ Operações Elementares sobre Linhas
d) Se A for triangular (superior ou inferior), então det(A)=a
11
.a
22
... a
nn
.
p ç
‐ Como det(A)=det(AT) , qualquer operação sobre linha terá uma operação 
equivalente sobre a correspondente coluna.
131211131211
aaaKaKaKa
a) Uma linha de A é multiplicada por K
)det()det(
333231
232221
333231
232221
AKB
aaa
aaaK
aaa
aaa 
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 8
b) Duas linhas de A são permutadasb)  Duas  linhas de A são permutadas
)det()det(
232221
131211
131211
232221
ABaaa
aaa
aaa
aaa
 )det()det(
333231
232221
333231
131211
AB
aaa
aaa
aaa
aaa 
c)  Um múltiplo de uma linha de A é somado a outra linha
131211231322122111
aaaKaaKaaKaa 
)det()det(
333231
232221
333231
232221
AB
aaa
aaa
aaa
aaa 
Exemplo 3 – Calcule por inspeção os determinantes das matrizes abaixo

a)





0200
0030
0001
A
62.3)det( A A segunda e a terceira linha da 
matriz  A estão respectivamente 
multiplicadas por 3 e 2


 1000
0200
multiplicadas por 3 e 2.
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 9
 1000
b)







0100
0010
B
1)det( B A primeira e a quarta linha da 
matriz  B foram permutadas.
 0001
c) 



0010
7001
C
 A primeira coluna foi multiplicada 
1)det(C






1000
0100
C
p p
por 7 e somada com a quarta coluna.
1)det( C
d)


 0301
d)







1001
0220
0110
D
 A  segunda e a terceira linha são 
proporcionais.
0)det( D
 1001
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 10
Exercício 3 – Calcule o determinante da matrizExercício 3 Calcule o determinante da matriz




6072
3001




 

5137
0360
6072
A
Solução:

‐ Vamos realizar operações elementares para deixar a matriz na forma triangular inferior p ç p g
ou superior

00013001
         



 



 
0360
0072
0360
6072
144
3CCC  Forma triangular inferior
   261375137
546)26.(3.7.1)det( A
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 11
111
   
bcacab
cba
cba 
222
111
Exercício 4 – Mostre que
S l ã
‐ Vamos realizar operações elementares para deixar a matriz na forma triangular inferior 
ou superior
Solução:
p
0
111111
1
2
33
122
acabcba
LaLL
aLLL
  

        
2222222
0 acabcba 
111


  
))((00
0
111
22
)(
233
abacac
acab
LabLL     
))((
   
bcacabacab  0
111
   
bcacab
bcac
acab 


))((00
0    
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 12
cba
6
ihg
fed
cba
Exercício 5– Sabendo que                                , determine
g
fed
cba 333
a)  b) 
cba
ihg
ihg
fed
444

c) d)
fed
cba 333 
heb
gda
c) d)
fiehdg
fed
444  ifc
heb
R t ) 6 b)72 ) 18 d) 6Resposta:  a) ‐6;  b)72;  c) 18;  d) ‐6
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 13
2 1 A it éti d f ã d t i t2.1 – Aritmética da função determinante
Considere A e Bmatrizes quadradas de tamanho nxn
I. .
II
)det()det()det( BABA 
)det()det()det( BABA
II. .
)det().det().det( BABA 
Exemplo 3 Dada as matrizes e
21
A 
13
B
Exemplo 3 – Dada as matrizes                             e

52
A  31B
341321  
23932
83
34
31
13
52
21
det)det( 







 BA      
1321
9)89()45(
31
13
52
21
)det()det(  BA
)det()det()det( BABA 
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 14
751321
 
87785
1711
75
31
13
52
21
det)det( 







 AB     
8)89).(45(
31
13
.
52
21
)det().det( BA
)det()det()det( BAAB 
1
Exercício 5 – Seja A uma matriz quadrada não singular. Mostre que
Solução:
)det(
1
)det(
1
A
A
)det()det(
.
1
1




IAA
IAA
Solução:
            
                   
)det(
1
)det(1)det()det(
)det().det(
1
1

 

A
AAA
IAA
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 15
1111 
  aaa 
a
a
n
....
1111
1111
1111
21
2
1




Exercício 6 – Mostre que
a
n
n
1111
21
2


Exercício 7 Mostre que o determinante é múltiplo de 17 sem
911
Exercício 7 – Mostre que o determinante                      é múltiplo de 17, sem 
desenvolvê‐lo.
351
781
E í i 8 S j d t i ( ) l ( ) d â t  t l
31
A
Exercício 8 – Seja                        , determine o(s) valor(es) do parâmetro  tal  que 24A
0)det(  AI
Resposta: =‐2 e =5 
2 – Determinantes
2– Propriedades da função determinante 16

1211
AA
A
Exercício 9 – Se                                é uma matriz em blocos triangular superior,
onde A
11
e A
22
são matrizes quadradas, então det(A) = det(A
11
)det(A
22
). Use este 



22
1211
0 A
A
resultado para calcular det(A) para a matriz.
  65212








53100
43134
A






25300
26200
Resposta: ‐1080
Exercício 10 – Mostre que as matrizes e comutam se
ba
A 
ed
BExercício 10 Mostre que as matrizes                        e                           comutam se, cA 0  fB 0
0 cab 0 fde