CONJUNTOS

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CURSO PROGRESSÃO CENTRO 
 
 Prof: Rodrigo Lima 
 
 
 Centro:  3173-3307 Niteroi 2622-3013 Campo Grande  3404-3106 Vila da Penha 3063-1510 Piedade  3681-8655 
 
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CONJUNTOS 
 
Teoria dos conjuntos 
 
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definição, isto é, são 
consideradas noções primitivas 
 Conjunto 
 Elemento 
 Pertinência entre elemento e conjunto 
 
A noção matemática de conjunto é a mesma que se usa na linguagem comum: 
grupamento, classe, coleção, sistema, etc. Eis alguns exemplos: 
 
1 – Conjunto das vogais 
2 – Conjunto dos algarismos romanos 
3 – Conjunto dos números primos positivos 
 
1. Representação : Um conjunto pode ser expresso, basicamente, de três formas: 
 
a) Colocando seus elementos entre chaves separados por vírgulas: 
 
Exemplo: O conjunto das vogais {a, e, i, o ,u} 
 
b) Explicitando a propriedade P que define seus elementos, entre chaves: 
 
Exemplo: Sendo Z o conjunto dos números inteiros e A o conjunto dos inteiros 
positivos, então, a propriedade é P = (x  0) e A = {a pertence a Z, tal que a  0} 
 
c) Representado seus elementos por pontos interiores a uma linha fechada, 
denominada Diagrama de Venn: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Relação de pertinência ( ou ) : É exclusiva para relacionar elemento e o 
conjunto, e afirma se um dado elemento pertence ou não a um dado conjunto, 
isso denotado por  (pertence) ou  (não pertence). 
 
Exemplo: Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, podemos afirmar que 2 pertence ao 
conjunto A, denotando isso por 2  A e que 5 não pertence, 5  A. 
 
3. Conjunto Unitário : Um conjunto é dito unitário se, e somente se, possui um 
único elemento. 
 
4. Conjunto vazio : O conjunto vazio, denotado por  ou { }, não possui 
elemento algum. 
 
5. Relação de inclusão (   ⊅) : Um conjunto A contém um conjunto B se, 
e somente se, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, isso é denotado 
por A  B. 
 
Uma outra forma de se fazer a mesma afirmação, é dizer que B está contido em 
A, denotada por B  A. 
 
A negação dessa afirmação é dizer que B não está contido em A, denotando-se 
isso por B  A. 
 
 Uma outra forma de se fazer a negação anterior, é dizer que A não contém B 
denotada por A ⊅ B 
 
Exemplo: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4} e C = {1, 3, 5, 7}, podemos 
afirmar que: 
 A  B B  A C  A A ⊅C 
 
6. Subconjunto : Um conjunto B é subconjunto de A se, e somente se, B  A. 
 
Exemplo: Dado o conjunto A = {a, b, c} temos que B = {a}, C = {b}, D = {c}, 
E = {a,b}, F = {a, c}, G = {b, c}, A = {a, b, c} e o conjunto vazio { }, são todos 
os subconjuntos de A. 
 
O número de subconjuntos de um conjunto com K elementos é 2K. 
7. Conjunto das partes : Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, 
denotado por P(A), tem como seus elementos todos os subconjuntos de A. 
 
No exemplo acima, temos: P(A) ={{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c},{ }} 
 
8. Conjuntos iguais : Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os 
mesmos elementos. É claro que isso é obvio; mas, se quisermos provar a 
igualdade A = B, devemos verificar que A  B e B  A, o que, em geral, não é 
tão óbvio. 
 
9. Operações com conjuntos 
 
a) União: Sejam dois conjuntos A e B, tais que A  B = {x / x  A ou x  B} 
 
Exemplos: Se A = {1, 3, 5, 8}, B = {3, 7, 9} e C = {3, 5}, então: 
 
a) A  B = {1, 3, 5, 7, 8, 9} 
b) A  C = {1, 3, 5, 8} = A 
c) B  C = {3, 5, 7, 9} 
d) A  B  C = {1, 3, 5, 7, 8, 9} 
 
A união também pode ser representada por diagramas, como podemos observar 
nos exemplos abaixo: 
 
A  B U 
 
 A B 
 
 
 
 
 
A  B U 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
b) Interseção : Sejam dois conjuntos A e B, tais que A  B = {x / xA e x B} 
 
Exemplos: Se A = {1, 3, 5, 8}, B = {3, 5} e C = {7, 8}, então: 
 
a) A  B = {3, 5} 
b) A  C = {8} 
c) B  C =  (B e C são conjuntos disjuntos) 
 
Alguns diagramas para interseção 
 
A  B U 
 
 A B 
 
 
 
 
 
A  B  C 
 
 U 
 
 A B 
 
 
 
 C 
 
 
Conjuntos Disjuntos : Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos, quando sua 
interseção é o conjunto vazio. 
 
Exemplo: Dados A = {2, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, temos que não existem elementos 
comuns; portanto A  B = { }, ou seja, são disjuntos. 
 
 
 1 4 
 2  
 3  
 5  
 
 
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a) Diferença : Sejam dois conjuntos A e B, tais que A – B = {x/x  A e x  B} 
 
Exemplos: Se A = {1, 3, 5, 8}, B = {3, 7, 9} e C = {3, 5}, então: 
 
a) A – B = {1, 5, 8} 
b) B – A = {7, 9} 
c) C – A =  
 
Alguns diagramas para a diferença 
 
A – B 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
A – B 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
b) Complementar : Dados dois conjuntos A e B, quando B for um subconjunto 
de A, o conjunto diferença A – B é chamado complementar de B em relação a A, 
que é representado com o símbolo BAC 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 3, 4}, o 
complementar do conjunto B, em relação a A, é BAC = {1, 5, 6, 7}. 
Obs: Quando quisermos o complementar em relação ao universo, podemos usar 
uma das conotações: 
 
B
UC = 
BC = 
'B = B 
 
c) Número de elementos de um conjunto finito : Dado um conjunto finito A, 
indicamos o número de elementos de A por n(A). 
 
Exemplo: Considere A = {a, b, c, d, e}  n (A) = 5 
 
Propriedades: 
 
a) Considere os conjuntos finitos A e B, ambos subconjuntos de , então. 
n (AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 
 
b) Considere os conjuntos finitos A, B e C, ambos subconjuntos de , então. 
n(A BC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 
 
Exemplo: Sendo n (A  B) = 50; n(A  B) = 18 e n(B) = 20 determine n(A): 
 
Solução: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
 
50 = n(A) + 20 – 18 
n(A) = 48 
 
EXERCÍCIOS 
1) Se A, B e C são conjuntos tais que A  B = C e C  B  , então: 
 
a) B  A A B 
b) CBC = A 
c) A  B = B C 
d) C  B  A 
e) B – C  A 
 
 
2) Sejam A, B e C conjuntos. Assinale a alternativa que corresponde ao 
diagrama de “Venn”, cuja área tracejada representa graficamente o conjunto 
(C – A)  (C – B). 
 
a) c) e) 
 
 
 
 b) d) 
 
 
3) Quantos elementos possui o conjunto das partes de A = {a, b, c}? 
 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
 
4) Se A = {1, 2, 3, {1}} e B = {1, 2, {3}}, o conjunto A – B é 
 
a) {3, {2}} 
b) {3, {1}} 
c) {0, {-2}} 
d) {0, {0}} 
e) { } 
 
5) Considere os conjuntos: 
 
A = {x/x é letra do estado brasileiro cuja capital é Recife}; 
B = {y/y é letra da palavra número}; 
C = {p, a, r, e, o} e D = {b, o} 
Assim, a expressão A – [(B – C)  D] é igual ao conjunto das letras da palavra 
 
a) BRIGADEIRO 
b) EPCAR 
c) BRASIL 
d) BARBACENA 
e) AERONÁUTICA 
 
6) Um conjunto A possui 1024 subconjuntos. Retirando-se 3 elementos de A, 
forma-se um novo conjunto que terá m subconjuntos, o valor de m é: 
 
a) 64 b) 128 c) 256 d) 512 e) 1024 
 
7) Um conjunto A tem n elementos e p subconjuntos e um conjunto B tem 3 
elementos a mais que o conjunto A. Se q é o número de subconjuntos de B, 
então: 
 
a) q = 3p 
b) p = 8q 
c) p/q = 1/8 
d) q = p + 8 
e) p = q8) No diagrama abaixo, a parte tracejada representa: 
a) A  (B  C) 
b) (A  B)  C 
c) A  B  C 
d) (A  B)  C 
e) A  (B  C) 
 
 
9) O conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n 
elementos e b subconjuntos, e um conjunto C tem p elementos e c subconjuntos. 
Se b = 8 , a = c – 2b e m = 2p – 2n então a + b + c vale: 
 
a) 56 b) 12 c) 32 d) 16 e) 48 
 
10) Considerando A  B, onde A e B são conjuntos não vazios, é correto 
afirmar que 
 
a) A  B =  
b) A  B = B 
c) A – B = A 
d) A  B =  
e) A  B = B 
 
 
 
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11) Sendo A = {; a; {b}}, com {b}  a  b  , então: 
 
a) {, {b}}  A 
b) {, b}  A 
c) {, {a}}  A 
d) {a, b}  A 
e) {{a}, {b}}  A 
 
12) Se X é um conjunto finito qualquer, indicamos por n(X) o número de 
elementos de X. Sendo A e B dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a 
afirmação correta. 
 
a) n (A  B) = n (A) + n (B) + n (A  B) 
b) n (A  B) = n (A) – n(B) 
c) n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) 
d) n (A  B) = n (A) + n (B) 
e) n (A  B) = n (A) + n (B) 
 
13) O conjunto A = {3, 2, 4} possui quantos subconjuntos? 
 
a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 10 
 
14) Se A  B e B  C, então: 
 
a) C  A 
b) B  A 
c) C  B 
d) A  C 
e) A = C 
 
15) Se A  B = {1, 2}, B  C = {2, 3}; A  B = {1, 2, 3, 4} e B  C = {1, 2, 3, 
5}, então A  C é: 
 
a) {4, 5} {1, 2, 3} 
b) {1} 
c) {2} 
d)  
 
16) (PUC) Sendo A e B conjuntos quaisquer, então é verdade que: 
 
a) A  B  A  B 
b) A  B  A  B 
c) (A  B)  (B – A) 
d) (A  B)  ( B – A) = B 
e) A = B  A  B  A  B 
 
17) Seja A = {2, 3, 5}, determine P (A): 
 
18) Sendo dado um conjunto A com n elementos, indiquemos por a o número de 
subconjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um novo 
elemento a A indiquemos por b o número de subconjuntos de B. Qual é a relação 
que liga a a b? 
 
a) 2a = b 
b) a = 2b 
c) b = a + 1 
d) a = b 
e) n. a = (n + 1) . b 
 
19) Assinale V (verdade) ou F (falso): 
 
a) 3  {1, 3, 7} 
b) 4  {2, {4}, 7} 
c) {3, 5}  {2, 3, 5, 7} 
d)   {6, 7, 8} 
e)   {1, 2, 3} 
 
20) A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A que 
pertencem ao conjunto B. Então, pode-se afirmar: 
 
a) A é subconjunto de B 
b) B é subconjunto de A 
c) A e B são disjuntos 
d) A  B   
e) n.r.a 
 
 
 
21) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos 
alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de, 
pelo menos, um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: 
 
a) 48% 
b) 140% 
c) 60% 
d) 80% 
e) 40% 
 
22) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, pode-se afirmar que: 
 
a) {1}  A 
b) {1}  A 
c) {1}  {2}  A 
d) 2  A 
e) {1}  {2}  A 
 
23) De um grupo de n alunos reprovados, sabe-se que: 
 
12 foram reprovados em matemática 
5 foram reprovados em física 
8 foram reprovados em química 
6 foram reprovados em matemática e química simultaneamente 
3 foram reprovados em física e química simultaneamente 
2 foram reprovados em matemática e física simultaneamente 
1 foi reprovado em matemática, química e física simultaneamente. 
 
Então, o número n de alunos desse grupo é: 
 
a) 12 b) 35 c) 13 d) 15 e) 25 
 
24) Sendo A = {0,1} e B = {2,3}, o número de elementos do conjunto P(A)  
P(B) é: 
 
a) 0 b) 1 c)2 d) 4 e) 8 
 
25) Sejam A e B subconjuntos de U, tal que n (A) = 20, n (B) = 26, n (U) = 35 
e n (A  B) = 30. Determine n [(A  B)] 
 
a) 11 b) 5 c) 19 d) 29 e) 21 
 
26) Leia com atenção as afirmações abaixo e assinale: 
 
I) Se A e B são disjuntos, então A  B =  
II)   {} 
III)   {} 
 
a) Se apenas I e II são verdadeiras 
b) Se apenas I é verdadeira 
c) Se apenas II e III são verdadeiras 
d) Se as três são verdadeiras 
e) Se as três são falsas 
 
27) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os 
jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor 
de n é: 
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 
 
28) O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2}  X  {1, 2, 3, 4} é: 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
29) Sabendo-se que A e B são subconjuntos de U, A’ ={e, f, g, h, i}; A  B ={c, 
b}; A  B ={a, b, c, d, e, f}, então: 
 
a) A tem 2 elementos e B tem 4 elementos 
b) A tem 4 elementos e B tem 2 elementos 
c) A tem 3 elementos e B tem 3 elementos 
d) A tem 4 elementos e B tem 4 elementos 
e) A tem 1 elemento e B tem 5 elementos 
 
30) Num avião encontravam-se 122 passageiros dos quais 96 eram brasileiros, 64 
homens, 47 fumantes, 51 homens brasileiros, 25 homens fumantes, 36 brasileiros 
fumantes e 20 homens brasileiros fumantes. Calcule: 
 
a) O número de mulheres brasileiras 
b) O número de homens fumantes não brasileiros 
c) O números de mulheres fumantes 
 
 
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31) Se A, B e C são conjuntos finitos tem-se que n [A – (B  C)] = 15, 
n [B – (A  C)] = 20 , n [C – (A  B)] = 35 e n ( A  B  C) = 120, então, n 
[(A  B)  (A  C)  ( B  C), é igual a: 
 
a) 40 b) 50 c) 5 d) 7 e) 8 
 
32) Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças, um 
segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz 
dança com todas as moças. Tem-se então: 
a) r = 
5
m
 
b) r – 5 = m 
c) r = m – 4 
d) r = m 
e) m = 5r 
 
33) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 
múltiplos de 6 ,5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos 
de X é: 
 
a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 
 
34) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C com 4 
elementos, então: 
 
a) A  B tem no máximo 1 elemento 
b) A  C tem no máximo 5 elementos 
c) (A  B)  C tem no máximo 2 elementos 
d) (A  B)  C tem no máximo 2 elementos 
e) A   tem dois elementos, pelo menos. 
 
 
35) Sendo X e Y conjuntos em que X – Y = {a, b} e X  Y = {c}, o conjunto X 
é: 
a) {} b) {a} c) {a, d} d) {a, c, d} e) {a, b, c} 
 
36) Se o conjunto A tiver 16 elementos, o conjunto B tiver 18 elementos e houver 
4 elementos pertencentes a A e B, então o número de elementos de A  B, será: 
 
a) 38 b) 26 c) 30 d) 34 e) 28 
 
37) Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: 
 
(1) 3  A (2) {3}  A (3) {3}  A então: 
 
a) apenas (1) e (2) são verdadeiras 
b) apenas (2) e (3) são verdadeiras 
c) apenas (1) e (3) são verdadeiras 
d) todas as proposições são verdadeiras 
e) nenhuma proposição é verdadeira 
 
38) Em uma pesquisa realizada entre 500 pessoas foram obtidos os seguintes 
dados: 
 
- 200 pessoas gostam de música clássica 
- 400 pessoas gostam de música popular 
- 75 pessoas gostam de música clássica e de música popular 
 
Verifique a consistência ou inconsistência dos dados desta pesquisa. 
 
39) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, 
verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo 
e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? 
 
40) Numa pesquisa com 125 pessoas, verificou-se que: 
 
a) 35 pessoas fumam 
b) O número de homens que não fumam é o dobro do número de mulheres que 
fumam 
c) O número de mulheres que não fumam é o triplo do número de homens que 
fumam 
 
Pergunta-se: Quantas mulheres fumam? 
 
41) Considere os pacientes da AIDS classificados em três grupos de risco; 
hemofílicos, homossexuais e toxicômanos. Num certo país, de 75 pacientes, 
verificou-se que: 
 
- 41 são homossexuais 
- 9 são homossexuais e hemofílicos, e não são toxicômanos 
- 7 são homossexuais e toxicômanos, e não são hemofílicos 
- 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não são homossexuais 
- 6 pertencem apenas aogrupo de risco dos toxicômanos 
- o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de 
pacientes que são apenas homossexuais 
- o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três grupos de 
risco é a metade de pacientes que não pertencem a nenhum dos grupos de 
risco. 
 
Quantos pacientes pertencem aos três grupos de risco? 
 
42) Em cada uma das alternativas a seguir tem-se um universo U e seus 
subconjuntos, não vazios, X, Y e Z. Assinale a alternativa onde a região 
hachurada representa (X  Y)  Z. 
 
a) b) 
 
c) d) e) 
 
43) No diagrama abaixo, a parte sombreada representa: 
 
 
 
a) (E  F)  G 
b) E  G 
c) CR E  F 
d) (E  G) – F 
e) E – G 
 
44) Se A = {; 3; {3}; {2, 3}}, então: 
 
a) {2, 3}  A b) 2  A c)   A d) 3  A e) {3}  A 
 
45) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou 
jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que: 
 
a) 31 são mulheres 
b) 29 são homens 
c) 29 mulheres não jogam xadrez 
d) 23 homens não jogam xadrez 
e) 9 homens jogam xadrez 
 
46) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 
80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm 
sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo 
diferente de O e com fator Rh positivo é: 
 
a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 
 
47) Considere as afirmações a respeito da parte hachurada do diagrama seguinte: 
I – A  ( B  C ) 
II – A  ( B  C ) 
III – A  ( CB ) 
IV – A  ( CB ) 
 
 
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A(s) afirmação (ões) correta(s) é (são): 
 
a) I b) III c) I e IV d) II e III e) II e IV 
 
48) A parte hachurada do gráfico abaixo corresponde a: 
 
 
a) (A  B) – B 
b) (A  C) – B 
c) (B  C) – A 
d) (A  C) – A 
e) (A  B) – C 
 
49) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O 
número de alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: 
 
a) exatamente 16 
b) exatamente 10 
c) no máximo 6 
d) no mínimo 6 
e) exatamente 18 
 
50) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor; 130 não tem 
mãe professora e 5 tem pai e mãe professores. Qual o número de alunos do 
colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e 
que não existem alunos irmãos? 
 
a) 155 b) 154 c) 153 d) 152 e) 151 
 
GABARITO 
 
1. d 2. a 
3. d 4. b 
5. b 6. b 
7. c 8. e 
9. a 10. b 
11. a 12. c 
13. d 14. d 
15. d 16. d 
17. {{2}, {3}, {5}, {2,3}, 
{2,5}, {3,5}, {2,3,5}, 
} 
18. a 
19. a) F; b)F; c) V; d) V;e) 
F 
20. d 
21. e 22. e 
23. d 24. b 
25. c 26. d 
27. c 28. b 
29. d 30. a) 45; b) 5; c) 22 
31. b 32. c 
33. d 34. c 
35. e 36. c 
37. d 38. Não há consistência. 
39. 46 40. 15 
41. 1 42. c 
43. d 44. e 
45. c 46. c 
47. d 48. b 
49. d 50. a