Capitulo_5-Conducao_Transiente-Parte11

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CAPÍTULO 5 – CONDUÇÃO TRANSIENTE 
 
DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 
 
PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA 
 
 
 
• As condições térmicas mudam com o tempo. 
 
• São problemas chamados de não-estacionários ou transientes. 
 
• Surgem quando as condições de contorno de um sistema são 
alteradas. 
 
• Objetivos: 
 
1. Determinar a dependência da distribuição de temperaturas no 
interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo 
transiente. 
 
2. Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança. 
 
5.1 O MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL 
 
 
• Imersão de um corpo com iTT = em 0<t num fluido com iTT <∞ . 
 
• Em 0≥t a temperatura do sólido irá diminuir até que 
∞
=TT . 
 
• Hipótese do método da capacitância global: ( ) ( )tTtxT ≈, . 
• Essa hipótese implica que os gradientes de temperatura no 
interior do sólido sejam desprezíveis. 
 
• Isso ocorre quando no interior do sólido ∞→k ou 0→condR . 
 
• Na prática, a hipótese de gradientes desprezíveis é aproximada 
quando a resistência à condução no interior do sólido for pequena 
em comparação à resistência à convecção entre o sólido e sua 
vizinhança. 
 
• A resposta transiente da temperatura é obtida por um balanço 
global de energia no sólido: 
 
{ {
⇒=+−
==
acugse EEEE &&&&
00
acus EE && =− 
⇒++==−
==
321321
00
)()(
dt
EPd
dt
ECd
dt
dU
dt
dEq acuconv dt
dUqconv =− 
 
• Fazendo ( )
∞
−= TThAq sconv e mdudU = obtém-se: 
 
( )
dt
du
mTThAs =−− ∞ 
 
• Sabendo que Vm ρ= e cdTdu = obtém-se: 
 
( )
dt
dTVcTThAs ρ=−− ∞ 
 
• Introduzindo a diferença de temperaturas 
∞
−= TTθ tem-se que: 
( )
{ dt
d
dt
dT
dt
dT
dt
d
dt
dT θθθ =+=+=
=
∞
∞
0
 
 
• Substituindo θ e dtdθ e separando variáveis obtém-se: 
 
θ
θρ d
hA
Vcdt
s
−= 
 
• Sabendo que ( ) iTtT == 0 pode-se integrar a equação anterior: 
 
∫∫
∞
∞
−=
−=
−=
TT
TTs
t
ii
d
hA
Vcdt
θ
θ θ
θρ
0
 
 
[ ] [ ] [ ] 





−=⇒−−=−⇒−=
is
i
ss
t
hA
Vc
t
hA
Vc
t
hA
Vc
t
i θ
θρθθρθρ θθ lnlnln0ln0 
 
⇒





−=
ishA
Vc
t
θ
θρ ln 





−
−
−=
∞
∞
TT
TT
hA
Vc
t
is
lnρ 
 
• A expressão anterior pode ser utilizada para determinar o tempo 
necessário t para alcançar uma dada temperatura T . 
 
• Expressando T em função de t obtém-se: 
 
⇒





−=





−
−
⇒=





−
−
−
∞
∞
∞
∞ t
Vc
hA
TT
TT
t
TT
TT
hA
Vc s
iis ρ
ρ lnln 












−=
−
−
∞
∞ t
Vc
hA
TT
TT s
i ρ
exp 
 
• A expressão anterior pode ser utilizada para determinar a 
temperatura T em algum tempo t . 
 
• Os resultados anteriores indicam que a diferença entre ( )tT e 
∞
T 
diminui exponencialmente para zero conforme ∞→t . 
 
• A grandeza ( )shAVcρ pode ser interpretada como uma constante 
de tempo térmica: 
 
( ) tt
s
t CRVchA
=





= ρτ 1 (unidade de tempo) 
• tR é a resistência térmica de convecção e tC é a capacitância 
térmica global do sólido. 
 
• Um aumento de tR e/ou tC causará uma resposta mais lenta do 
sólido a mudanças no seu ambiente térmico. 
 
• O total de energia transferida Q até um instante t é dado por: 
 
( )∫∫ ∞−==
t
s
t
dtTThAqdtQ
00
 
 
• Substituindo 
∞
−TT obtém-se: 
( ) ( )∫∫ 











−−=











−−=
∞∞
t
s
is
t
s
is dttVc
hATThAdtt
Vc
hATThAQ
00
expexp ρρ 
 
• Fazendo ( )tVchAa s ρ−= obtém-se ( )dahAVcdt sρ−= e assim: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫ ∞∞ −−=−−=
t
i
t
sis daaTTVcdahAVcaTThAQ 00 expexp ρρ 
( ) =











−−−=
∞
t
s
i tVc
hATTVcQ
0
exp ρρ 
 
( )


















−−











−−−=
∞
0expexp
Vc
hA
t
Vc
hATTVcQ ssi ρρρ 
 
( ) 











−−=


















−−−=
∞
t
i
s
i
tVct
Vc
hATTVcQ
τ
θρρρ exp1exp1 
 
• Obviamente, Q está relacionada à mudança na energia interna do 
sólido: 
 
acuEQ ∆=− 
5.2 VALIDADE DO MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL 
 
 
• Considere uma superfície mantida a 1,sT e outra exposta a um 
fluido com temperatura 1,sTT <∞ de tal maneira que 1,2, ss TTT <<∞ . 
 
• Um balanço de energia na superfície a 2,sT se reduz a: 
( ) ( )
∞
−=−⇒=⇒= TThATT
L
kAqqEE sssconvcondse 2,2,1,&& 
 ( )
( )
( )
( ) Bi12,
2,1,
====
−
−
∞
k
hL
R
R
hA
kAL
TT
TT
conv
cond
s
ss
 
 
• Bi é o NÚMERO DE BIOT e fornece uma medida da “queda de 
temperatura no sólido em relação à diferença de temperaturas 
entre a superfície e o fluido”. 
 
• Para 1Bi << é razoável supor uma distribuição de temperaturas 
uniforme no interior do sólido em qualquer instante durante o 
processo transiente, ou seja, convcond RR << . 
 
 
• Como condição para a utilização do método da capacitância 
global tem-se que: 
 
1,0Bi <=
k
hLc
 
• cL é o comprimento característico, definido como sc AVL = . 
 
Parede plana de espessura L2 : L
Hw
LHw
A
VL
s
c === 2
2
 
Cilindro longo: 
22
2
o
o
o
s
c
r
Lr
Lr
A
VL ===
pi
pi
 
Esfera: 
34
68
2
3
o
o
o
s
c
r
r
r
A
VL ===
pi
pi
 
 
• O expoente ( )VcthAs ρ pode ser representado por: 
 
Bi.Fo22 ====
c
c
c
c
c
s
L
t
k
hL
L
t
c
k
k
hL
cL
ht
Vc
thA α
ρρρ 
• Fo é o número de Fourier (tempo adimensional): 
 
2Fo
cL
tα
= 
 
5.3 ANÁLISE GERAL VIA CAPACITÂNCIA GLOBAL 
 
• Condução transiente no interior de um sólido pode surgir devido 
a vários processos de transferência de energia, que podem agir 
individualmente ou em conjunto: 
1. Convecção para ou de um fluido adjacente (já mostrado). 
2. Troca líquida por radiação com uma vizinhança (separação 
com um gás ou vácuo). 
3. Fluxo térmico sobre toda a superfície ou parte dela 
(aquecedor elétrico delgado). 
4. Geração de energia térmica (passagem de corrente elétrica). 
 
 
 
• Considerando que ( ) iTtT == 0 , que ∞≠ TTi e vizi TT ≠ , que "sq age 
sobre )(hsA , que 
"
radq e 
"
convq agem sobre ( )rcsA , tem-se que: 
( ) ( ) ( ) dt
dTVcAqAqEAqEEEE rcsradrcsconvghssacugse ρ=−−+⇒=+− ,","" &&&&& 
 
• Substituindo as equações de taxas para "convq e 
"
radq obtém-se: 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) dt
dTVcATTTThEAq rcsvizghss ρεσ =−+−−+ ∞ ,44" & 
 
• A equação anterior é uma equação diferencial ordinária, não-
linear de primeira ordem, não-homogênea, que não pode ser 
integrada para se obter uma solução exata. 
 
• 1o CASO: sem fluxo térmico, sem geração interna de energia e 
sem convecção térmica. 
 
( )44
, vizrs TTAdt
dTVc −−= εσρ 
 
• Separando as variáveis e integrando de uma condição inicial até 
algum tempo t tem-se que: 
 
∫∫
−
=
T
T
viz
t
rs
i TT
dTdt
Vc
A
440
,
ρ
εσ
 
 
• Efetuando as integrais e rearranjando, o tempo necessário para 
alcançar a temperatura T se torna: 
 


















−





+
−
+
−
−
+
=
−−
viz
i
viziviz
iviz
viz
viz
vizrs T
T
T
T
TT
TT
TT
TT
TA
Vc
t 113
,
tantan2lnln
4εσ
ρ
 
• 2o CASO: sem radiação térmica. 
 
( ) ( ) dt
dTVcATThEAq csghss ρ=−−+ ∞ ," & 
 
( ) ( )
dt
dTTT
Vc
hA
Vc
EAq
csghss
=−−
+
∞ρρ
,
" &
 
 
• Introduzindo 
∞
−= TTθ onde dtdTdtd =θ e fazendo 
( )VchAa cs ρ,= e ( )( ) ][ " VcEAqb ghss ρ&+= obtém-se: 
 
0=−+ ba
dt
d θθ 
 
• Introduzindo a variável 
a
b
−=θθ ' de tal forma que 
dtddtd θθ =' obtém-se: 
 
0'
'
=+ θθ a
dt
d
 
 
• Separando variáveis e integrando de 0 até t ( 'iθ até 'θ ) segue: 
 
( )at
i
−= exp
'
'
θ
θ
 
 
• Substituindo as definições de 'θ e 'iθ obtém-se: 
 
( )
( ) ( )atabTT
abTT
i
−=
−−
−−
∞
∞ exp 
 
• Rearranjando obtém-se: 
 
( ) ( )[ ]at
TT
ab
at
TT
TT
ii
−−
−
+−=
−
−
∞∞
∞ exp1exp 
 
• 3o CASO: sem fluxo térmico e sem geração interna de energia. 
 
( ) ( )[ ] ( )rcsviz ATTTThdt
dTVc
,
44
−+−=
∞
εσρ 
 
• A solução desta equação diferencial pode ser obtida por 
integração numérica no tempo (Runge-Kutta). 
• Uma alternativa aproximadaconsiste em expressar o termo de 
radiação na forma linearizada e combinar os coeficientes de 
convecção e radiação, ou seja: 
 
( ) ( )( ) ( )( )∞∞ −=−+= TTAhTTAhhdt
dTVc rcscrcsr ,,ρ 
 
• Foi admitido que 
∞
=TTviz e que rc hhh += . 
 
• A solução para esse caso é igual à apresentada no início desse 
tópico e consiste em: 
 
( )






−
−
−=
∞
∞
TT
TT
Ah
Vc
t
ircsc
ln
,
ρ
 ou ( ) 











−=
−
−
∞
∞ t
Vc
Ah
TT
TT rcsc
i ρ
,exp 
• No cálculo do coeficiente de radiação, pode-se aproximar a 
temperatura superficial pela média aritmética no intervalo de 
tempo considerado, ou seja: 
 
( ) ( )
2
0
,
tTtTT ssms
+=
= 
 
• O coeficiente de radiação é calculado então como: 
 ( )( )22
,, vizmsvizmsr TTTTh ++= εσ 
 
 
 
 
5.4 EFEITOS ESPACIAIS 
 
• Gradientes de temperatura no interior do meio não são mais 
desprezíveis. Para uma parede plana de espessura L2 , com 
condução unidimensional em x, sem geração de energia interna e 
com k constante, a equação do calor se reduz a: 
 
}
t
T
cq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ =
==
ρ
0
00
&
4847648476
 
 
t
T
c
x
Tk
x ∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ ρ 
 
⇒∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
t
T
k
c
x
T
x
ρ
t
T
x
T
∂
∂
=∂
∂
α
1
2
2
 
• A solução da equação diferencial parcial anterior fornece ( )txT , . 
 
• A condição inicial é: 
 
( ) iTxT =0, 
 
• As condições de contorno são: 
 
0
0
=∂
∂
=xx
T
 e ( )[ ]
∞
=
−=∂
∂
− TtLTh
x
Tk
Lx
, 
 
• Fica evidente que as temperaturas na parede dependem de: 
 
( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞= 
• Para reduzir a dependência funcional de T faz-se a 
adimensionalização das equações do problema. 
 
• A adimensionalização consiste no agrupamento das variáveis 
relevantes do problema em grupos adimensionais apropriados. 
 
• TEMPERATURA ADIMENSIONAL: 
∞
∞
−
−
=
TT
TT
i
*θ 
 
• COORDENADA ESPACIAL ADIMENSIONAL: 
L
x
x =* 
 
• TEMPO ADIMENSIONAL: Fo2
*
==
L
t
t
α
 
• Com os adimensionais, a formulação é reescrita como: 
 
Fox ∂
∂
=∂
∂ *
2*
*2 θθ
 
 
( ) 10,** =xθ 0
0
*
*
*
=∂
∂
=x
x
θ
 ),1(Bi **
1
*
*
*
t
x
x
θθ −=∂
∂
=
 
 
• Nota-se agora que a dependência funcional é na forma: 
 ( )Bi,Fo,** xf=θ 
 
• Fica evidente a vantagem de ( )Bi,Fo,** xf=θ sobre 
( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞= . 
• Para uma dada geometria, a distribuição transiente de 
temperaturas é uma função universal de ,*x Fo e Bi. 
 
• O número de Fourier é um tempo adimensional, embora ele tenha 
uma interpretação alternativa em problemas nas quais a 
transferência de calor por condução através de sólidos é 
concorrente com o armazenamento de energia pelo sólido: 
 
Fo22 ===∆
∆
=
L
t
cL
kt
t
TALc
L
TkA
E
q
acu
cond α
ρρ&
 
 
• O número de Fourier fornece uma medida da efetividade com a 
qual um sólido conduz e armazena energia térmica. 
5.5 A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃO 
 
5.5.1 SOLUÇÃO EXATA 
 
 
( ) ( )*
1
2* cosFoexp xC n
n
nn ζζθ ∑
∞
=
−= 
 
( )nn
n
nC δδ
δ
2sen2
sen4
+
= 
 
Bitan =nn ζζ 2Fo Ltα= 
 
• As quatro primeiras raízes da equação transcendental são 
fornecidas no Apêndice B.3 do livro-texto. 
5.5.2 SOLUÇÃO APROXIMADA 
 
• Para 2,0>Fo a solução em série infinita pode ser aproximada 
pelo primeiro termo da série: 
 ( ) ( )*1211* cosFoexp xC ζζθ −= ou ( )*1** cos xo ζθθ = 
 
onde ( )Foexp 211* ζθ −=
−
−
=
∞
∞ C
TT
TT
i
o
o 
 
5.5.3 TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA 
 
• É útil saber a energia total que deixou (ou entrou) a parede até um 
dado tempo t em um dado processo transiente. 
• Da conservação da energia aplicada num intervalo de tempo de 
0=t até 0>t tem-se que: 
 
acusaient EEE ∆=− 
 
• Fazendo saiEQ = , 0=entE e ( ) ( )0EtEEacu −=∆ obtém-se: 
 
( ) ( )[ ]0EtEQ −−= ou ( )[ ]dVTtxTcQ i∫ −−= ,ρ 
 
• É conveniente introduzir a quantidade máxima de transferência de 
energia que poderia ocorrer se o processo se estendesse até ∞=t : 
 
( )
∞
−= TTcVQ io ρ 
 
• Pode-se então escrever a razão entre a quantidade total de energia 
transferida a partir da parede ao longo do intervalo de tempo t e a 
transferência máxima possível: 
 
( )[ ] ( )dV
VV
dV
TT
TtxT
Q
Q
i
i
o
∫∫ −=
−
−−
=
∞
*11, θ 
 
• Utilizando a forma apropriada de *θ obtém-se: 
 
*
1
1sen1 o
oQ
Q θζ
ζ
−= 
 
• Os resultados anteriores podem ser utilizados para uma parede 
plana com espessura L e isolada em um dos seus lados ( )0* =x . 
 
 
 
 
 
• Para utilização das tabelas acima, deve-se recalcular Biot: 
 
k
hL
=Bi (parede plana) 
k
hro
=Bi (cilindro infinito e esfera) 
5.6 SISTEMAS RADIAIS COM CONVECÇÃO 
 
5.6.1 SOLUÇÕES EXATAS 
 
 
 
Cilindro Infinito 
( ) ( )*0
1
2* Foexp rJC n
n
nn ζζθ ∑
∞
=
−= 
 
( )
( ) ( )nn
n
n
n JJ
JC ζζ
δ
δ 2120
12
+
= 
 
( )
( ) Bi0
1
=
n
n
n J
J
ζ
ζζ 2Fo ortα= 
 
• 1J e 0J são funções de Bessel de primeira espécie, tabeladas no 
Apêndice B do livro-texto. 
• Raízes da equação transcendental ( )( ) Bi0
1
=
n
n
n J
J
ζ
ζζ podem ser 
encontradas em livros textos especializados. 
 
 
 
 
Esfera 
( ) ( )*
*
1
2* sen
1Foexp r
r
C n
nn
nn ζζζθ ∑
∞
=
−= 
 
( ) ( )[ ]
( )n2sen2
cossen4
ζζ
ζζζ
−
−
=
n
nnn
nC 
 
Bicot1 =− nn ζζ 2Fo ortα= 
 
• Raízes da equação transcendental Bicot1 =− nn ζζ podem ser 
encontradas em livros textos especializados. 
5.6.2 SOLUÇÕES APROXIMADAS 
 
• Para 2,0>Fo a solução em série infinita pode ser aproximada 
pelo primeiro termo da série: 
 
 
 
 
Cilindro Infinito 
 ( ) ( )*10211* Foexp rJC ζζθ −= 
 ( )*10** rJo ζθθ = 
 
( )Foexp 211* ζθ −=
−
−
=
∞
∞ C
TT
TT
i
o
o 
 
( )11
1
*21 ζζ
θ JQ
Q o
o
−= 
 
 
 
 
Esfera 
( ) ( )*1*
1
2
11
* sen
1Foexp r
r
C ζζζθ −= 
 
( )*1*
1
** sen
1
r
r
o ζζθθ = 
 
( )Foexp 211* ζθ −=
−
−
=
∞
∞ C
TT
TT
i
o
o 
 
( ) ( )[ ]1113
1
*
cossen
31 ζζζζ
θ
−−=
o
oQ
Q
 
 
 
5.6.3 CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS 
 
• Os resultados anteriores podem ser usados para predizer a 
resposta transiente de cilindros longos e de esferas submetidos a 
uma súbita mudança na temperatura superficial. 
 
• Para tal, um número de Biot infinito é estabelecido, e a 
temperatura no fluido 
∞
T é substituída pela temperatura 
superficial constante sT . 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS DE CONDUÇÃO TRANSIENTE