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EXEMPLO 1 Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente e a tensão no capacitor após t segundos. EXEMPLO 2 Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente. EXEMPLO 3 Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2 EXEMPLO 4 Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera após 30 seg. 1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente limite que ocorrerá no circuito. 2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade, em função do tempo, obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2. 3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg. 4. Seja um circuito em série com resistência de e capacitor de x, medido em F . A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50 V ligada em t= 0. Determine o valor de 10 s sabendo que após a corrente no capacitor vale 5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a quantidade de sal que permanece no recipiente após 600s do início do processo. 6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. Um recipiente contém 2.000L de um líquido com 100kg iniciais de uma substância. A concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se que a concentração de substância no recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine a vazão de entrada e de saída. 1. Seja um circuito RC em série com resistência de 2000 e capacitor de 1 F. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de 100 V ligada em t = 0s. Determine a tensão no capacitor após 100 s 2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima atingida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2. EXEMPLO 5 Determine o valor da carga de um capacitor Q (t) em um circuito RLC sabendo que R=40 C = 16 . 10 -4 F, L = 1 H e v (t) = 50 cos (5t). Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t = 0 são nulas. EXEMPLO 6 Seja uma partícula de massa m . Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se, também, que EXEMPLO 7 Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k = 128N/m. Um corpo de 6,4kg é preso em sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma distância total de 0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10m/s2. EXEMPLO 8 Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é retirado do ar e colocado em um fluido que contém uma constante de amortecimento c = 8 . Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio x = 0,5 m , porém, com uma velocidade inicial provocada de 0,6 m/s. 1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de amortecimento c = 32. A mola tem constante elástica de e o corpo preso a ela tem massa de 4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m. Após esticar o corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o sistema entrará em movimento. Marque a alternativa verdadeira relacionada a sabendo que o movimento será do tipo subamortecido. 2. Seja uma partícula de massa m tal que . A partícula se encontra em uma região com energia potencial nula e uma energia total em todos os pontos iguais a E = 1 J . Sabe-se também que . Determine sua função de onda unidimensional: 3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dada por v (t) = sem (t) . Sabe-se que R = . 4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 2kg e tem uma constante de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que rege o movimento. O corpo é largado com uma velocidade inicial de 1m/s na posição de 0,8m. Considere g = 10 m/s 2 5. Determine o valor da carga de um capacitor Q (t) em um circuito RLC, sabendo que R = 20 , C = 2 . 10 -3 F, L = 1 H e v(t) = 12 V. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t = 0 são nulas. 6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com constante de amortecimento c = 16 O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de x = 0,647m, porém, com uma velocidade inicial provocada de 4,6m/s. Considere g = 10 m/s 2 1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dada por v(t) = cos (t) . Sabe-se que R = 1 , C = 1F e L = 2H 2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 1kg e tem uma constante de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que rege o movimento sabendo que o sistema é largado, sem velocidade, de uma posição 0,5m. Considere g = 10 m/s 2 EXEMPLO 9 Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por um degrau de amplitude V . EXEMPLO 10 Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por uma rampa. EXEMPLO 11 Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V centrada em t = 0. EXEMPLO 12 Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força g(t) externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um impulso unitário aplicado em t = 0. EXEMPLO 13 Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força g(t) externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um degrau unitário. Analise o caso quando, pelos valores de c e k, o sistema seja subamortecido. 1. Determine a resposta de um circuito RC para uma entrada degrau de amplitude V centrada em t=0 2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força f(t) externa, agindo a partir de t=0 A mola tem constante elástica 50N/m e o corpo preso a mesma tem massa de 10kg. Considere a força f(t) um impulso de amplitude 5. 3. Determine a saída de um circuito RLpara uma entrada dada por um impulso de amplitude 5V em t=0. Considere R=1 e L=1H 4. Seja um sistema modelado pela equação diferencial de segunda ordem com uma função de transferência dada por Esse sistema é excitado por uma entrada f(t) degrau de amplitude 2 a partir de t=0. Determine o valor de x(t). 5. Determine a resposta transitória de um sistema que apresenta uma função de transferência dada pela equação Esse sistema tem como entrada, a partir de t=0 , uma função . 6. Considere um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força g(t) externa agindo a partir de t=0. Esse sistema foi modelado por uma equação diferencial de segunda ordem Considere a força , um degrau unitário e que as condições de contorno são x(0) = x`(0)=0. Determine a resposta transitória do sistema: 1. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de amplitude V em t = 0. 2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força h(t) externa, agindo a partir de t = 0 . A mola tem constante elástica 100N/m e o corpo preso a ela tem massa de 10kg Considere a força h(t), um impulso de amplitude 2. Classifique as equações diferenciais, a seguir, em algébrica, EDP ou EDO: A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com as suas derivadas e com a variável x. Por isso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável independente x. A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessa equação, definimos y dependendo de x, ou x dependendo de y. Depende de qual das duas é conhecida no problema. A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas que aparecem são derivadas parciais, será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a variável dependente, e x e y serão as variáveis independentes. A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com a variável independente t. 1 - Verifique se a função y = cosx(sens –k) , com k real, é uma solução da equação diferencial y`+ tg(x) y – cos 2 x = 0 2 - Determine a solução particular que atende a equação diferencial y`+ tg (x) y - cos 2 x = 0 e a condição inicial de y = -1 para x = 0 . 3 - Verifique se a função escalar u (x,t) = e -4 t cos (2x) é uma solução particular da equação diferencial 1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que não é uma equação diferencial: 2. Marque a alternativa que apresenta uma EDP: 3. Seja a equação diferencial . Marque a alternativa que apresenta uma sentença ERRADA em relação a essa equação 4. Sabendo que uma das soluções gerais da equação diferencial s’ – s + u = 0 é a função s (u) = 1 + ke u + u , com k real, determine a solução particular dessa família de solução que atenda a condição inicial s(0) = 2. 5. Marque a alternativa que apresenta uma solução geral para a equação diferencial y – 2x + xy’ = 0: 6. Sabe-se que a família de funções é uma solução geral para equação diferencial . Sabendo que v = 1, para quando x2 + y2 = 1 , e que v = 4, para quando x2 + y2 = e , determine a alternativa que apresenta uma solução particular dessa solução geral que atenda as condições de contorno dadas. 1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação diferencial: 2. Marque a alternativa que apresenta uma solução para equação diferencial y’’ - 2y1 + y = 0 Determine a ordem das seguintes equações diferenciais: resposta: a) Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou variável dependente — está relacionada apenas com uma variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem dessa EDO é 1. b) Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas com uma variável dependente z. A equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a ordem dessa EDO é 3. c) Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a derivada parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3 d) A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos uma derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2. 2 - Determine a ordem e o grau das equações diferenciais apresentadas a) A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende da variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3. b) Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da variável u. Observe que derivada de mais alta ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2. c) Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau é a derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2. 3 - Determine se as equações diferenciais a seguir são ou não lineares. a) A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x ou serem número, na equação, tem-se uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear. b) A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são números. O expoente da incógnita v e de suas derivadas vale 1, de forma que a equação diferencial é linear. c) A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da variável m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear. d) A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a derivada de y. Logo, a equação é não linear. 4 - Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de coeficientes constantes. a) Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo que a equação diferencial é de coeficientes constantes. O termo independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a equação na forma: b) A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de uma equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma: c) A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo que independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a equação na forma polinomial, temos: d) A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de forma que constitui uma equação de coeficientes variáveis. Não existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação, ficamos com: 1. Marque aalternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem: 2. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois: 3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea 4. Qual é a ordem e o grau da equação diferencial 5. Seja a equação diferencial , marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação. 6. Seja a equação diferencial f(x,y) y’’ – 2y’ + y = x g(x,y). Marque a alternativa que apresenta valores para f(x,y) e g(x,y) de forma que a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea. 1. Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois. 2. Seja a equação diferencial Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação. 1 - Obtenha a solução geral da equação diferencial 2 - Obtenha uma solução particular da equação diferencial , tal que, para atender a condição x = 1, o valor de y vale 2. 3 - Obtenha a solução da equação 4 - Determine a função u, que é solução da equação e que para v = 0 tenha u = 1. 5 - Verificação de equação exata Observe se a equação diferencial é uma equação diferencial exata. 6 - Determine a solução da equação diferencial 7 - Vamos obter a equação geral da equação diferencial 8 - Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial e que, para x = 0, tenhamos y = 1. 1. Obtenha a solução da equação diferencial 2. Seja a equação Marque a alternativa falsa relacionada a essa equação diferencial. 3. Descubra a alternativa que apresenta a solução particular para equação diferencial , sabendo que, para x = 1, o valor de y vale 2. 4. Determine a solução particular para a equação diferencial e que atenda à condição inicial de y = 1 para x = 1. 5. Obtenha a solução geral da equação diferencial 6. Obtenha a solução da equação diferencial Com x pertencente ao intervalo que atenda y(0)=2 1. Marque a alternativa que apresenta a solução geral para a equação diferencial 2. Marque a alternativa que apresenta a solução particular para a equação diferencial Sabendo que y(0) = 1. 1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 0, a população é de 1.000 espécies e, para t = 2 anos, é de 1000e4 espécies. Determine a população para um instante de tempo de 5 anos: 2. Um capital A0 foi investido em t = 0 com uma taxa anual de 10% anuais. Esse investimento teve composição de juros de forma contínua. Determine o valor de A0 sabendo que, dois anos após o início do investimento, o capital era de 2.000e0,2 3. Seja uma família de elipses centradas na origem dadas pela equação , com k real. Determine as trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas. 4. Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,1kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente. 5. Um objeto cai em queda livre a partir do repouso a uma altura de 100m do solo. O objeto tem uma massa de 5kg. Considere a constante de resistência do ar de 1 Ns²/m e a aceleração da gravidade igual a 10m/s². Determine a que distância do solo, aproximadamente, o objeto estará para um instante de 4s após o início da queda. 6. Seja um circuito RC em série com resistência de e capacitor de 5 F. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada em t = 0s. Determine a corrente após 10 s. 1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 5 anos, a população é de 8.000 espécies e, para t = 0 anos, é de 1.000 espécies. Determine o modelo do crescimento populacional com o tempo. Aproxime ln8=2, caso necessite. 2. Seja um recipiente com, inicialmente, 1.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 20L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 20L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente
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