Exercicios da Aula SIA - Calculo 3

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EXEMPLO 1 
Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é 
fornecida através de uma fonte contínua de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente 
e a tensão no capacitor após t segundos. 
 
EXEMPLO 2 
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no 
recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de 
água, a uma taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída 
do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece 
no recipiente. 
 
 
EXEMPLO 3 
Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de 
proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a 
velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade 
como 10m/s2 
 
EXEMPLO 4 
Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 
1000C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a 
temperatura da esfera após 30 seg. 
 
 
 
1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é 
fornecida através de uma fonte contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente 
limite que ocorrerá no circuito. 
 
2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine 
a expressão da velocidade, em função do tempo, obtida por ele durante sua queda. Considere 
a aceleração da gravidade como 10m/s2. 
 
3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está 
a 1000C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a 
temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg. 
 
 
 
 
4. Seja um circuito em série com resistência de e capacitor de x, medido 
em F . A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50 V ligada em t= 0. 
Determine o valor de 10 s sabendo que após a corrente no capacitor vale 
 
 
5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É 
inserida no recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 5kg de sal por 
litro de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa solução é misturada completamente e tem 
uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a quantidade de sal que 
permanece no recipiente após 600s do início do processo. 
 
6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. 
Um recipiente contém 2.000L de um líquido com 100kg iniciais de uma substância. A 
concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se que a concentração de substância no 
recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine a vazão de entrada 
e de saída. 
 
 
1. Seja um circuito RC em série com resistência de 2000 e capacitor de 1 F. 
A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de 100 V ligada em t = 0s. Determine a 
tensão no capacitor após 100 s 
 
2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a 
velocidade máxima atingida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade 
como 10m/s2. 
 
EXEMPLO 5 
Determine o valor da carga de um capacitor Q (t) em um circuito RLC sabendo que 
R=40 C = 16 . 10 
-4
 F, L = 1 H e v (t) = 50 cos (5t). Sabe-se que a carga e a corrente 
elétrica para t = 0 são nulas. 
 
EXEMPLO 6 
Seja uma partícula de massa m . Determine sua função de onda unidimensional, 
sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se, também, que 
 
 
EXEMPLO 7 
Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k 
= 128N/m. Um corpo de 6,4kg é preso em sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola 
fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma distância total de 
0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10m/s2. 
 
 
EXEMPLO 8 
Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é 
retirado do ar e colocado em um fluido que contém uma constante de amortecimento c = 8 . 
Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio x = 
0,5 m , porém, com uma velocidade inicial provocada de 0,6 m/s. 
 
1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de 
amortecimento c = 32. A mola tem constante elástica de e o corpo preso a ela tem massa de 
4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m. Após esticar o 
corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o sistema entrará em 
movimento. Marque a alternativa verdadeira relacionada a sabendo que o movimento será do 
tipo subamortecido. 
 
2. Seja uma partícula de massa m tal que 
. A partícula se encontra em uma região com energia potencial nula e uma energia 
total em todos os pontos iguais a E = 1 J . Sabe-se também que . 
Determine sua função de onda unidimensional: 
 
3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito 
RLC para uma fonte de sinal dada por v (t) = sem (t) . Sabe-se que R = 
. 
 
4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de 
massa 2kg e tem uma constante de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que rege o 
movimento. O corpo é largado com uma velocidade inicial de 1m/s na posição de 0,8m. 
Considere g = 10 m/s 
2 
 
5. Determine o valor da carga de um capacitor Q (t) em um circuito RLC, sabendo que 
R = 20 , C = 2 . 10
 -3 
F, L = 1 H e v(t) = 12 V. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica 
para t = 0 são nulas. 
 
6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com 
constante de amortecimento c = 16 O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a 
constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que 
sai da posição de x = 0,647m, porém, com uma velocidade inicial provocada de 4,6m/s. 
Considere g = 10 m/s
2 
 
 
1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito 
RLC para uma fonte de sinal dada por v(t) = cos (t) . Sabe-se que R = 1 , C = 1F e L = 2H 
 
2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de 
massa 1kg e tem uma constante de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que rege o 
movimento sabendo que o sistema é largado, sem velocidade, de uma posição 0,5m. 
Considere g = 10 m/s
2 
 
EXEMPLO 9 
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por 
um degrau de amplitude V . 
 
EXEMPLO 10 
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por 
uma rampa. 
 
EXEMPLO 11 
Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V 
centrada em t = 0. 
 
EXEMPLO 12 
Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força g(t) 
externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um impulso unitário aplicado em t = 
0. 
 
EXEMPLO 13 
Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força g(t) 
externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um degrau unitário. Analise o caso 
quando, pelos valores de c e k, o sistema seja subamortecido. 
 
1. Determine a resposta de um circuito RC para uma entrada degrau de amplitude V 
centrada em t=0 
 
 2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com 
ação de uma força f(t) externa, agindo a partir de t=0 A mola tem constante elástica 50N/m e 
o corpo preso a mesma tem massa de 10kg. Considere a força f(t) um impulso de amplitude 
5. 
 
3. Determine a saída de um circuito RLpara uma entrada dada por um impulso de 
amplitude 5V em t=0. Considere R=1 e L=1H 
 
4. Seja um sistema modelado pela equação diferencial de segunda ordem com uma 
função de transferência dada por 
 
 Esse sistema é excitado por uma entrada f(t) degrau de amplitude 2 a partir de t=0. 
Determine o valor de x(t). 
 
5. Determine a resposta transitória de um sistema que apresenta uma função de 
transferência dada pela equação 
 Esse sistema tem como entrada, a partir de t=0 , uma função 
. 
 
6. Considere um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força 
g(t) externa agindo a partir de t=0. Esse sistema foi modelado por uma equação diferencial de 
segunda ordem 
 
Considere a força , um degrau unitário e que as condições de contorno são x(0) = 
x`(0)=0. Determine a resposta transitória do sistema: 
 
1. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de 
amplitude V em t = 0. 
 
2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de 
uma força h(t) externa, agindo a partir de t = 0 . A mola tem constante elástica 100N/m e o 
corpo preso a ela tem massa de 10kg Considere a força h(t), um impulso de amplitude 2. 
 
Classifique as equações diferenciais, a seguir, em algébrica, EDP ou EDO: 
 
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável 
y relacionada com as suas derivadas e com a variável x. Por isso, y é a variável dependente 
que depende apenas de uma variável independente x. 
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. 
Nessa equação, definimos y dependendo de x, ou x dependendo de y. Depende de qual das 
duas é conhecida no problema. 
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. 
Como as derivadas que aparecem são derivadas parciais, será uma equação diferencial 
parcial (EDP). Nesse caso, z será a variável dependente, e x e y serão as variáveis 
independentes. 
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável 
dependente m com a variável independente t. 
1 - Verifique se a função y = cosx(sens –k) , com k real, é uma solução da equação 
diferencial y`+ tg(x) y – cos
2
x = 0 
 
2 - Determine a solução particular que atende a equação diferencial y`+ tg (x) y - 
cos
2
x = 0 e a condição inicial de y = -1 para x = 0 . 
 
3 - Verifique se a função escalar u (x,t) = e 
-4
t cos (2x) é uma solução particular da 
equação diferencial 
 
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que não é uma equação 
diferencial: 
 
2. Marque a alternativa que apresenta uma EDP: 
 
3. Seja a equação diferencial . Marque a alternativa que apresenta 
uma sentença ERRADA em relação a essa equação 
 
4. Sabendo que uma das soluções gerais da equação diferencial s’ – s + u = 0 
 é a função s (u) = 1 + ke
u
 + u , com k real, determine a solução particular dessa 
família de solução que atenda a condição inicial s(0) = 2. 
 
5. Marque a alternativa que apresenta uma solução geral para a equação diferencial y – 
2x + xy’ = 0: 
 
6. Sabe-se que a família de funções 
é uma solução geral para equação diferencial 
. Sabendo que v = 1, para quando x2 + y2 = 1 , e que v = 4, para quando x2 + y2 = e 
 , determine a alternativa que apresenta uma solução particular dessa solução geral que 
atenda as condições de contorno dadas. 
 
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação 
diferencial: 
 
2. Marque a alternativa que apresenta uma solução para equação diferencial y’’ - 2y1 
+ y = 0 
 
Determine a ordem das seguintes equações diferenciais: 
 
resposta: 
a) Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou 
variável dependente — está relacionada apenas com uma variável dependente x. Analisando a 
equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a 
ordem dessa EDO é 1. 
 
b) Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y 
está relacionada apenas com uma variável dependente z. A equação apresenta mais de uma 
derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com 
isso, a ordem dessa EDO é 3. 
 
c) Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m 
depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a derivada parcial de mais alta ordem 
é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3 
 
d) A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a 
variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos uma derivada parcial de 
primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2. 
2 - Determine a ordem e o grau das equações diferenciais apresentadas 
 
a) A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a 
função incógnita y depende da variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a 
derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A 
derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3. 
 
b) Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável 
dependente s depende da variável u. Observe que derivada de mais alta ordem é uma derivada 
de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2. 
 
c) Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das 
variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau é a derivada de ordem 3. Como o 
termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2. 
 
3 - Determine se as equações diferenciais a seguir são ou não lineares. 
 
a) A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da 
variável independente x ou serem número, na equação, tem-se uma derivada da incógnita y 
com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear. 
 
b) A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável 
independente u ou são números. O expoente da incógnita v e de suas derivadas vale 1, de 
forma que a equação diferencial é linear. 
 
c) A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis 
independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da variável m, que existe na equação, é 
a unidade. Com isso, a EDP é linear. 
 
d) A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas 
estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a derivada de y. Logo, a equação 
é não linear. 
 
4 - Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e 
indique se são ou não de coeficientes constantes. 
 
 
a) Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas 
são numéricos, de modo que a equação diferencial é de coeficientes constantes. O termo 
independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos 
reescrever a equação na forma: 
 
b) A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que 
independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de uma equação diferencial de 
coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma: 
 
c) A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das 
variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo que independe da variável 
dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. 
Reescrevendo a equação na forma polinomial, temos: 
 
 
d) A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de 
forma que constitui uma equação de coeficientes variáveis. Não existe termo que independa 
da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação, 
ficamos com: 
 
1. Marque aalternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem: 
 
2. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois: 
 
3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea 
 
4. Qual é a ordem e o grau da equação diferencial 
 
5. Seja a equação diferencial , marque a alternativa que apresenta 
uma classificação verdadeira em relação a essa equação. 
 
6. Seja a equação diferencial f(x,y) y’’ – 2y’ + y = x g(x,y). Marque a alternativa que 
apresenta valores para f(x,y) e g(x,y) de forma que a equação diferencial seja de segunda 
ordem, linear e homogênea. 
 
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois. 
 
2. Seja a equação diferencial 
Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa 
equação. 
 
1 - Obtenha a solução geral da equação diferencial 
 
2 - Obtenha uma solução particular da equação diferencial 
, tal que, para atender a condição x = 1, o valor de y vale 2. 
 
3 - Obtenha a solução da equação 
 
4 - Determine a função u, que é solução da equação 
e que para v = 0 tenha u = 1. 
 
 
5 - Verificação de equação exata Observe se a equação diferencial 
 é uma equação diferencial exata. 
 
6 - Determine a solução da equação diferencial 
 
7 - Vamos obter a equação geral da equação diferencial 
 
8 - Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial 
 e que, para x = 0, tenhamos y = 1. 
 
1. Obtenha a solução da equação diferencial 
 
2. Seja a equação Marque a alternativa falsa 
relacionada a essa equação diferencial. 
 
3. Descubra a alternativa que apresenta a solução particular para equação diferencial 
, sabendo que, para x = 1, o valor de y vale 2. 
 
4. Determine a solução particular para a equação diferencial 
e que atenda à condição inicial de y = 1 para 
x = 1. 
 
5. Obtenha a solução geral da equação diferencial 
 
6. Obtenha a solução da equação diferencial 
Com x pertencente ao intervalo que atenda y(0)=2 
 
 
1. Marque a alternativa que apresenta a solução geral para a equação diferencial 
 
 
2. Marque a alternativa que apresenta a solução particular para a equação diferencial 
Sabendo que y(0) = 1. 
 
1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se 
que, para t = 0, a população é de 1.000 espécies e, para t = 2 anos, é de 1000e4 espécies. 
Determine a população para um instante de tempo de 5 anos: 
 
2. Um capital A0 foi investido em t = 0 com uma taxa anual de 10% anuais. Esse 
investimento teve composição de juros de forma contínua. Determine o valor de A0 sabendo 
que, dois anos após o início do investimento, o capital era de 2.000e0,2 
 
3. Seja uma família de elipses centradas na origem dadas pela equação 
, com k real. Determine as trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas. 
 
4. Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no 
recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,1kg de sal por litro de 
água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do 
tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no 
recipiente. 
 
5. Um objeto cai em queda livre a partir do repouso a uma altura de 100m do solo. O 
objeto tem uma massa de 5kg. Considere a constante de resistência do ar de 1 Ns²/m e a 
aceleração da gravidade igual a 10m/s². Determine a que distância do solo, aproximadamente, 
o objeto estará para um instante de 4s após o início da queda. 
 
6. Seja um circuito RC em série com resistência de e capacitor de 5 F. A tensão 
é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada em t = 0s. Determine a corrente após 
10 s. 
 
1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se 
que, para t = 5 anos, a população é de 8.000 espécies e, para t = 0 anos, é de 1.000 espécies. 
Determine o modelo do crescimento populacional com o tempo. Aproxime ln8=2, caso 
necessite. 
 
2. Seja um recipiente com, inicialmente, 1.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no 
recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de 
água, a uma taxa fixa de 20L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída 
do tanque com uma taxa de 20L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece 
no recipiente