Exercícios de fixação com resolução

Prévia do material em texto

1)
Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola
de constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, 
iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.
Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio 
após 4 segundos de movimento
1)
Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola
de constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, 
iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.
Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio 
após 4 segundos de movimento
1)
Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola
de constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, 
iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.
Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio 
após 4 segundos de movimento
1)
Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola
de constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, 
iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.
Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio 
após 4 segundos de movimento
Exercícios 01 Equações Diferenciais
Questão 1
Texto da questão
Se P(t) é o valor em reais em uma conta bancária de poupança que rende uma taxa de juros anual de r% compostos continuamente, então , t em anos. Considere que os juros sejam de 5% anualmente, P(0)=R$ 1.000,00 e nenhum dinheiro seja sacado. Quando a conta chegará a R$ 4.000,00?
Resp: a.
Aproximadamente 28 anos.
Questão 02
Uma equação diferencial ordinária de ordem n que envolva as variáveis y e x pode ser expressa da seguinte forma:
assumindo que y = y(x). Isso mostra, genericamente, que existe relação entre as variáveis que figuram como argumento da função real F, relação esta que constitui uma equação diferencial. Assim, uma solução dessa equação diferencial é qualquer relação entre as variáveis x e y que não contenha derivadas e que verifique a equação
Nesse contexto, verifique qual das equações a seguir é uma solução da equação diferencial
Resp: 
e.
y(x) = x2.​​​​​​​
Questão 03
 As equações diferenciais são importantes para a modelagem matemática, pois permitem modelar determinadas situações práticas da Física, da Biologia, da Engenharia, entre outras áreas do conhecimento. Nesse contexto, determine qual dos modelos a seguir pode representar um modelo de crescimento populacional, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:​​​​​​​
Escolha uma:
a.
P'(t) = kP(t).
Questão 04
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo (equação diferencial ordinária [EDO] ou equação diferencial parcial [EDP]), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear). Assim, classifique a equação​​​​​
sob esses três aspectos, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
Resp: d.
EDO; segunda ordem; não linear.
Questão 05
Determine se a equação  é linear ou não linear e qual ordem dela.
Resp: b.
Não linear de segunda ordem.
Questão 06
Os modelos matemáticos podem ser imaginados como equações, e, por meio de equações diferenciais, muitos problemas práticos podem ser solucionados. No entanto, é importante analisar o comportamento da equação para decidir se ela atende a determinada necessidade prática. Propõe-se, aqui, a análise do comportamento de uma equação. Considere a equação diferencial
​​​​​Quanto ao comportamento de y em y=1 e y=2, é correto afirmar que:
Escolha uma:
a.
y é uma constante.
Questão 07
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Resp: 
d.
Questão 08
 Determine se a equação t5y(4)-t3y"+6y=0 é linear ou não linear e qual a ordem dela.
Escolha uma:
a.
Linear de quarta ordem.
Questão 09
Uma equação diferencial pode conter muitas derivadas, de várias ordens, de uma função desconhecida. Além disso, uma equação diferencial pode ser classificada quanto ao tipo (EDO ou EDP), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear). Nesse contexto, determine qual das equações diferenciais dadas é de terceira ordem e não linear, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
Escolha uma:
a.
y''' + 2(y')2 + 3y = 5.
Questão 10
Determine se a equação (1-x)y"-4xy'+5y=cos ⁡x é linear ou não linear e qual a ordem dela. Assinale a alternativa que contém a resposta correta:
Resp: d.
Linear de segunda ordem.
Exercícios 02 – equações diferenciais
Questão 01
Encontre a solução do problema de valor inicial   e assinale a alternativa que contempla a resposta correta.
Escolha uma:
a.
 
Questão 02
Uma indústria química registra em um instante t0 = 0 um tanque contendo 150 litros de uma solução com 2 gramas de um certo soluto por litro. Nesse tanque, água pura entra à razão de 3l/min e uma mistura homogênea sai na mesma razão. Considere que a quantidade do soluto Q(t) (em gramas) é a solução do problema de valor inicial 
​​​​​
Quanto tempo transcorre, aproximadamente, até que a concentração de corante atinja 4% da concentração original? Dica: Resolva o PVI e encontre t1 tal que Q(t1) = 12g.​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
Escolha uma:
a.
160 minutos.
Questão 03
Suponha que um habitante infectado por um vírus da gripe volte para uma comunidade isolada, na qual habitam 2.000 pessoas. Presumindo que o número de pessoas infectadas N(t), t medido em dias, é dado pela equação logística, determine o número de pessoas infectadas após 8 dias se N(0) = 1 e N(4) = 10.​​​​​​​_____​​​​​​​​​​​​​​​​
Resp: 96 pessoas
Questão 04
Encontre a solução particular da equação y''+y=0 que satisfaz as condições y(0)= 1 e y'(0)= -2.
Resp: d.
y = cos x-2sen x.
Questão 05
Sobre um problema de valor de contorno, é correto afirmar que:
Resp: 
apresenta várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.
Questão 06
A equação diferencial para a velocidade v = v(t) de uma massa m em queda, sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é mv'=mg-kv, onde k é uma constante de proporcionalidade positiva e g é a aceleração da gravidade. Assim, para um objeto de m = 5kg e k = 2 (medido experimentalmente), considerando g = 9,8m/s2, calcule a velocidade desse objeto, aproximada, após 4 segundos se v(0) = 0.
Resp: 19,6m/s.
Questão 07
Em uma reação química entre substâncias A e B, o composto resultante é tal que, para cada 3 gramas do composto A, 2 gramas de B são usados. Determine a quantidade X formada após 80 minutos, se inicialmente havia 45 gramas de A, 40 gramas de B e 5 gramas do produto são formados em 10 minutos.
Escolha uma:
b. 28,37 gramas.
Questão 08
Uma força eletromotriz (fem) de 10 volts é aplicada a um circuito em série L- R, no qual a indutância é de 2 henry e a resistência 25 ohms, considerando que a corrente i(t) (em amperes) é a solução do problema de valor inicial​​​​​  
Qual é o valor aproximado da corrente após 0,1 segundos? ​​​​​​​​​​​​​​
Escolha uma:
b. 0,285A.
 Questão 09
Resolva a equação diferencial y''-y=0 e assinale a alternativa que contém a resposta correta.
Escolha uma:
Questão 10
Verifique as equações a seguir e assinale a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea.
Resp: 
Exercícios 03 Equações diferenciais
01- A equação (1 – x) y'' – 4xy' + 5y = cos ⁡x é linear ou não linear? Qual é a sua ordem?
Linear de segunda ordem.
02- Considere a equação diferencial dada por y’’ + 2x = 3. Qual é a sua solução? ​​​​​​​
Escolha uma:
a.
03- Um sistema massa-mola é composto por um objeto de massa m, uma mola de constante elástica k=2 kg/s2 e uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea. Determine a massa m do objeto de forma que esse sistema, livre de outras forças, seja criticamente amortecido.
Escolha uma:
a.
m é igual a 1/8kg
04 - Em um circuito em série LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm, capacitância C = 1/3 farad e uma bateria de força eletromotriz E =12 volt, determine a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem que descreve a carga q = q(t) no capacitor.
Escolha uma:
2q''+7q'+3q = 12.
05 - Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola de constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, iniciando na posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s. Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio após 4 segundos de movimento.
Escolha uma:
e.
-7,1517m.
06- Em um circuito em série LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm e capacitância C = 1/3 farad, tal que em t = 0 aciona-se uma bateria de força eletromotriz E(t) = 12 volt, determine a carga aproximada no capacitor em t = 3s, supondo que q(0) = 0 e q'(0) = 0.
2,929 coulomb.
07- Determine se a equação t5y(4) – ​​​​​​​t3y" + 6y = 0 é linear ou não linear e sua ordem.
Resp: Linear de quarta ordem
08- Para o problema de valor inicial (PVI) da equação y = c1 –​​​​​​​ 20x, onde y(0) = 40, determine c1.
Escolha uma:
Resp: 40
09- Um sistema massa-mola é composto por um objeto de massa m = 9kg, uma mola de constante elástica k = 1kg/s2 e uma força de amortecimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantânea. Determine o tempo t em que o objeto passa pelo ponto de equilíbrio se x(0) = -4m e x’(0) = 2m/s.
Resp: 6 s
10- Determine se a equação x5y'' – cosy – 12 = x + y é linear ou não linear e sua ordem.​​​​​
Escolha uma:
a.
Não linear de segunda ordem.
Exercícios 04 Equações diferenciais
Questão 01
Resolva a equação diferencial não linear y’ = y² com a condição inicial y(0) = 1.
Resp: 
Questão 02
Encontre a solução particular para y’' − 5y’ + 4y = 8ex.​​​​​​​​​​​​​​
Escolha uma:
a.
Questão 03
Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente dependentes ou não dependentes.
Resp: Linearmente dependentes com coeficientes c1 −4, c2 3, c3 1.
Questão 04
Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha é 
Escolha uma:
a.
Questão 05
Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.​​​​​​​​​​​​​​
Escolha uma:
a.
Questão 06
Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.
Escolha uma:
y = k1e−0,5x + k2e3x
Questão 07
Classifique a equação (1 – x)y" – 4xy' + 5y² = cos x por linearidade e grau.
Resp: Não linear de segunda ordem.
Questão 08
Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:
y' + 1xy = 1xy–2.​​​​​​​
Resp: 
Questçao 09
Um estudante está com uma doença contagiosa e vai para a faculdade, onde estudam 1.000 alunos. A taxa com que o vírus se espalha pode ser modelada pela função logísticai(0) = 1 = 1000kc1/kc1 + eo, com i(0) = 1 e i(4) = 50.
Determine i(6), ou seja, a quantidade de alunos infectados após seis dias.
Resp: 276
Questão 10
Determine os termos p(x), q(x) e r(x) para a equação de Riccati:
y' = –2 – y + y2.
Escolha uma:
a.
p(x) = –2, q(x) = –1, r(x) = 1.