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verdade nós já “meio” que estudamos isso na aula 00 quando falamos em frequência, 
mas vamos repassar o conceito com base em nosso exemplo de alturas: 
 
 
 
Veja, a área do retângulo referente às alturas que ficam entre 1,70m e 1,80m deve 
equivaler à probabilidade de sua ocorrência. No caso, a base do retângulo é de 0,1 
(1,8 – 1,7) e sua altura é de 5, sendo este o valor de 血岫捲岻, portanto: 
 á堅結欠 噺 決欠嫌結 抜 欠健建憲堅欠 噺 ど┸な 抜 の 噺 宋┸ 捜 
 
Que é exatamente a probabilidade que calculamos. Perceba que a probabilidade 
de ocorrência de uma altura entre 1,60m e 1,80m é igual à 1 (100%)! 
 
No caso, as coleções de pares ordenados formados por 岫捲┸ 血岫捲岻岻 nos dá a distribuição 
de probabilidade da variável contínua. 
 
-“Por que você está falando tudo isso, professor”? 
 
Porque existem distribuições de probabilidades que são bem definidas e já estudadas, 
com tabelas e propriedades que permitem realizar inferências de maneira simples, tal 
como no caso da distribuição normal da aula anterior. Vamos estudar algumas 
distribuições de probabilidades discretas já definidas. Na próxima aula estudaremos 
o caso de variáveis contínuas de forma mais aprofundada. 
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2. Distribuição Uniforme 
 
Distribuição uniforme é aquela em que todos os valores 
possíveis para a variável aleatória ocorrem com a mesma probabilidade. 
 
Vocês já viram um exemplo nesta aula: o lançamento de um dado. Vocês viram lá em 
cima que a probabilidade de ocorrência de qualquer face é sempre a mesma. No 
caso: 
 鶏岫捲 噺 な┹ 捲 噺 に┹ 捲 噺 ぬ┹ 捲 噺 ね┹ 捲 噺 の┹ 捲 噺 は岻 噺 なは 
 
Nós também vimos um caso de distribuição uniforme contínua, com um gráfico 
representativo de que ambos os intervalos têm a mesma chance de ocorrer: o 
exemplo das alturas. 
 
 
Essa distribuição é fácil de entender e tem propriedades muito simples. No caso do 
lançamento do dado, qual a média do processo? 
 
Para isso, lembrem-se da aula anterior: 
 
 
 
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No lugar de frequência relativa, coloque “probabilidade de ocorrência”. Lembre-se de 
que ambos os conceitos são estritamente ligados, sendo que a frequência liga-se ao 
que “já ocorreu”, enquanto a probabilidade nos diz o que “pode ocorrer”. Daí tire a 
esperança do processo, que não é nada além de sua média: 
 継岫捲岻 噺 な 抜 なは 髪 に 抜 なは 髪 ぬ 抜 なは 髪 ね 抜 なは 髪 の 抜 なは 髪 は 抜 なは 噺 匝層掃 
 
E a variância do processo? 
 
Ora, lembrem-se da propriedade ensinada na aula 01: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
Mas, nós já temos a média, que é a esperança do processo (継岫捲岻). Agora fica fácil 
ver que: 
Esperança matemática é um conceito intimamente relacionado com a média 
aritmética. No caso, para um dado conjunto de valores (隙) que vai de 隙怠 a 隙津, 
sua esperança é dada por: 
 継岫隙岻 噺 隙怠 糾 血怠 髪 隙態 糾 血態 ┼ 隙津 糾 血津 
Sendo 血沈 a frequência relativa de 隙沈. 
 
Percebeu? A aplicação do operador “esperança” a uma série de dados nos diz, 
em termos bem simples, a média do que pode acontecer com esta variável. 
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 撃欠堅件â券潔件欠 噺 撃欠堅岫捲岻 噺 撮岫姉匝岻 伐 岷撮岫姉岻峅ふ 
 
Agora é só aplicar a “fórmula”. Só falta calcular (継岫捲態岻): 
 継岫捲ふ岻 噺 なふ 抜 なは 髪 にふ 抜 なは 髪 ぬふ 抜 なは 髪 ねふ 抜 なは 髪 のふ 抜 なは 髪 はふ 抜 なは 噺 操層掃 
 
Portanto: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 継岫捲態岻 伐 岷継岫捲岻峅態 噺 ひなは 伐 磐になは 卑態 噺 などのぬは 
 
Simples, não? Essa é a distribuição mais fácil. Basta ver quando a probabilidade de 
todos os elementos do espaço amostral é igual. 
 
3. Distribuição Binomial e de Bernoulli 
 
A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de dois eventos, mutuamente 
exclusivos: sucesso ou fracasso. 
 
-“Como assim, professor”? 
 
Simples, o nosso experimento pode ter 2 resultados: um resultado que ocorre com 
probabilidade (喧), que pode ser denominado “sucesso”, e outro com probabilidade 
(な 伐 喧), que pode ser chamado de fracasso. 
 
Um exemplo clássico seria o lançamento de uma moeda. Se apostarmos que este 
lançamento terá “cara” como resultado, então temos (喧 噺 ど┸の) chances de “sucesso” 
e (な 伐 喧 噺 ど┸の) chances de “fracasso”. 
 
Ou seja, a distribuição de Bernoulli é aquela em que “ou é um ou é outro”, no sentido 
que ou acertamos ou erramos, não há meio termo, sendo que nossa chance de acerto 
é dada por (喧) e de erro por (な 伐 喧). 
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Neste caso, qual a média do processo? 
 
Ora, pode-se provar que: 
 撮岫姉岻 噺 使 
 
Com efeito, a esperança do processo é igual à probabilidade de ocorrência de 
sucesso. 
 
Não acredita? Vamos provar calculando a média do processo tirando sua esperança! 
No nosso exemplo, se atribuirmos o valor 1 para o caso de sucesso e o valor 0 para 
o fracasso, temos que: 
 継岫捲岻 噺 隙怠 糾 血怠 髪 隙態 糾 血態 噺 な 糾 ど┸の 髪 ど 糾 ど┸の 噺 ど┸の 
 
Outra característica importante de uma distribuição é sua variância! Do resultado 
acima fica fácil ver que: 
 惨珊司岫姉岻 噺 使 伐 使ふ 
 
Isso porque: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 継岫捲態岻 伐 岷継岫捲岻峅ふ 
 
Se 捲 噺 な para sucesso e 捲 噺 ど para fracasso: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 継岫捲態岻 伐 岷継岫捲岻峅態 噺 継岫捲岻 伐 岷継岫捲岻峅態 噺 喧 伐 喧ふ 
 
Beleza? Mas, o caso da distribuição de Bernoulli é um caso particular de outra 
distribuição, chamada distribuição binomial. Pois, se repetíssemos um experimento 
de Bernoulli 券 vezes, como se dariam as probabilidades de ocorrência? 
 
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Quer um exemplo? E se nós jogássemos a moeda duas vezes, qual a probabilidade 
de obtermos duas caras? 
 
 
Veja que esse não é mais um experimento de Bernoulli, pois o estamos realizando 
mais de uma vez! Para respondermos esta questão, vamos listar como seria o espaço 
amostral deste experimento (よ)? 
 よ 噺 岫潔欠堅欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔剣堅剣欠岻 
 
Assim, as probabilidades são: 
 鶏岫に 潔欠堅欠嫌岻 噺 なね 鶏岫に 潔剣堅剣欠嫌岻 噺 なね 鶏岫な 潔欠堅欠 結 な 潔剣堅剣欠岻 噺 にね 
 
Neste caso, podemos perceber que: 
 鶏岫に 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌岻 噺 喧 ゲ 喧 鶏岫に 血堅欠潔欠嫌嫌剣嫌岻 噺 岫な 伐 喧岻 ゲ 岫な 伐 喧岻 鶏岫な 嫌憲潔結嫌嫌剣 結 な 血堅欠潔欠嫌嫌剣岻 噺 に 糾 喧 ゲ 岫な 伐 喧岻 
 
O número 2 (dois) que multiplica o último membro se refere ao fato de que há duas 
possibilidades de obtermos 1 sucesso e 1 fracasso, 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻 ou 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻. 
 
E se você jogar 3 (três) vezes? 
 よ 噺 岫潔欠堅欠┸ 潔欠堅欠┸ 潔欠堅剣欠岻┹ 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠┸ 潔剣堅剣欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔欠堅欠┸ 潔欠堅欠┸ 潔欠堅欠岻┹ 岫潔剣堅剣欠┸ 潔剣堅剣欠┸ 潔剣堅剣欠岻 
 
Assim, as probabilidades são: 
 
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 鶏岫ぬ 潔欠堅欠嫌岻 噺 喧 糾 喧 糾 喧 噺 なに 糾 なに 糾 なに 噺 なぱ 鶏岫ぬ 潔剣堅剣欠嫌岻 噺 岫な 伐 喧岻 糾 岫な 伐 喧岻 糾 岫な 伐 喧岻 噺 なぱ 鶏岫な 潔欠堅欠 結 に 潔剣堅剣欠嫌岻 噺 ぬ 糾 喧 糾 岫な 伐 喧岻 糾 岫な 伐 喧岻 噺 ぬぱ 鶏岫に 潔欠堅欠嫌 結 な 潔剣堅剣欠岻 噺 ぬ 糾 喧 糾 喧 糾 岫な 伐 喧岻 噺 ぬぱ 
 
Bom, daí você percebe que a probabilidade de qualquer resultado pode ser 
generalizada da seguinte forma: 
 鶏岫糾岻 噺 喧賃岫な 伐 喧岻津貸賃 
 
Sendo 倦 o número de sucessos, 券 o númerode experimentos e 券 伐 倦 o número de 
fracassos. Isso porque os experimentos são independentes . 
Essa é uma pressuposição da distribuição binomial e de 
Bernoull i: os experimentos devem ser independentes. 
 
O problema é que qualquer sequência com 倦 sucessos e 券 伐 倦 fracassos terá a 
mesma probabilidade acima descrita, tal como no exemplo de dois lançamentos da 
moeda, no qual há dois eventos em que há 1 sucesso: 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻 e 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻! 
Então, nós precisamos multiplicar esta probabilidade encontrada pela quantidade de 
combinações em que há a quantidade de sucessos desejada (lembrar de análise 
combinatória) . No exemplo de 1 sucesso em dois lançamentos, podemos fazer: 
 鶏岫な 潔欠堅欠 結 な 潔剣堅剣欠岻 噺 系態┸怠 糾 喧 糾 岫な 伐 喧岻 噺 に 糾 なね 噺 にね 
 
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Ou seja, nós queremos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um determinado 
tipo de sucesso pela quantidade de vezes que este ocorre de diferentes formas, no 
exemplo, 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻 e 岫潔剣堅剣欠┸ 潔欠堅欠岻, o que corresponde a 1 sucesso. Assim, para 
este caso, multiplicaríamos a probabilidade de ocorrência pela quantidade de 
combinações possíveis de 1 sucesso em 2 experimentos. 
 
Portanto, podemos generalizar: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 系津┸賃 糾 喧賃 糾 岫な 伐 喧岻津貸賃 
 
-“Beleza professor, já entendi como calcular a probabilidade de ocorrência de 暫 sucessos em 仔 experimentos”. 
 
Ótimo! Mas, ainda falta definir quais são as expressões que definem a média e a 
variância em um processo deste tipo. 
 
Como a distribuição binomial corresponde à 券 experimentos de Bernoulli, pode-se 
provar que: 
 
 
 
Muito parecido com os resultados para a distribuição de Bernoulli, decore isso. Não 
está acreditando? Vamos calcular a média do processo para o caso de dois 
lançamentos, se atribuirmos o valor 1 para 1 sucesso e 2 para 2 sucessos: 
 継岫捲岻 噺 に 糾 なね 髪 な 糾 にね 髪 ど 糾 なね 噺 層 噺 仔 糾 使 
 
撮岫姉岻 噺 仔 糾 使 惨珊司岫姉岻 噺 仔 ゲ 岫使 伐 使匝岻 
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Calculando a esperança dos quadrados: 
 継岫捲ふ岻 噺 にふ 糾 なね 髪 な態 糾 にね 髪 ど 糾 なね 噺 層┸ 捜 
 
A partir daí podemos calcular a variância: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 継岫捲態岻 伐 岷継岫捲岻峅態 噺 な┸の 伐 な 噺 宋┸ 捜 噺 仔 糾 岫使 伐 使匝岻 
 
Entendeu? Vamos estudar mais um tipo de distribuição, mas antes dê uma paradinha! 
Lembre-se que sempre é bom dar uma parada após algum tempo de estudo seguido, 
caso contrário, você perderá muita concentração. 
 
4. Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é uma generalização da distribuição binomial quando 券 é 
muito grande e 喧 é pequeno. 
 
Não entendeu? Veja, qual a probabilidade de o telefone da sua casa tocar nos 
próximos 300 segundos? Esse é um exemplo em que podemos utilizar a distribuição 
de Poisson! Trata-se da análise de um evento em que podemos ter sucesso (tocar o 
telefone) ou não, porém, devido ao fato de a probabilidade ser muito baixa e o número 
de experimentos ser grande, pode-se aproximar a distribuição binomial pela seguinte 
forma: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 結貸津椎 糾 岫券 ゲ 喧岻賃倦┿ 
 
Sendo 結 um número real que vale aproximadamente 2,7. 
 
 
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Muitas vezes, os livros textos substituem o operador 券 糾 喧 pela letra grega “lambda” 
(膏). Assim: 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 結貸碇 糾 岫膏岻賃倦┿ 
 
-“Mas, quando eu decido se uso distribuição binomial ou de Poisson em uma 
prova”? 
 
Normalmente, a banca vai te falar . Nós iremos realizar alguns exercícios que vão 
facilitar sua vida e você vai pegar o jeito, mas a minha dica é a seguinte: 
 
 
 
 
Porque isso? O negócio é o seguinte, quando você avalia a probabilidade de 
ocorrência de um evento em um intervalo de tempo, por exemplo, é como se você 
dividisse o tempo em intervalos bem pequenos, o que tornaria a probabilidade de 
ocorrência muito pequena. No exemplo do telefone tocar, a probabilidade de que o 
telefone toque em um determinado segundo é muito pequena mesma, apesar de 
estarmos avaliando 300 segundos! 
 
Assim, como o nosso 喧 é muito pequeno, (な 伐 喧) se aproxima de 1. Portanto, sabendo 
que (券 糾 喧 噺 膏) e que a distribuição de Poisson é uma generalização da binomial: 
 撮岫姉岻 噺 似 惨珊司岫姉岻 噺 仔 糾 岫使 伐 使匝岻 噺 仔 糾 使 糾 岫層 伐 使岻 噺 仔 糾 使 噺 似 
 
Em geral, utilize a distribuição binomial. Mas, 
quando o exercício quiser saber a 
probabilidade de ocorrência ou de encontrar 
algo em uma área ou espaço de tempo, use 
distribuição de Poisson. 
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Portanto, a distribuição de Poisson tem a característica de que sua média e sua 
variância são iguais! 
 
5. Distribuição Geométrica 
 
A distribuição geométrica é facilmente entendida com base em nossos conhecimentos 
prévios da distribuição binomial. 
 
Suponha que realizemos um experimento de Bernoulli “X” vezes até obtermos 
“sucesso”. Neste caso, “X” é uma variável com distribuição geométrica. Por exemplo, 
“X” pode indicar o número de vezes em que temos de lançar uma moeda até obtermos 
a primeira cara. 
 
Neste exemplo, a chance de obtermos a primeira cara na k-ésima jogada é de: 
 皿岫史四算蚕史史伺 仔珊 暫 伐 é史餐仕珊 斬伺賛珊纂珊岻 噺 岫層 伐 使岻暫貸層 抜 使 
 
Ora, isso é fácil de deduzir. Imagine que queiramos saber a probabilidade de que a 
primeira cara ocorra na 3ª jogada. Sem olhar a fórmula, como você faria? 
 
Bom, você calcularia a probabilidade de que ocorressem 2 coroas seguidas, que é 
de: 
 磐なに卑 抜 磐なに卑 噺 なね 
 
Daí você multiplicaria tal resultado pela probabilidade de uma cara, que é de: 
 なに 
 
Assim: 
 なね 抜 なに 噺 層掻 
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Mas, isso é a própria fórmula: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 券欠 倦 伐 é嫌件兼欠 倹剣訣欠穴欠岻 噺 岫な 伐 喧岻賃貸怠 抜 喧 噺 磐なに卑戴貸怠 抜 なに 噺 なぱ 
 
Simples, não? Essa distribuição não costuma se muito cobrada em prova, mas vamos 
prevenir. 
Assim, pode- se pro var que, para uma variável ( 散) com 
distribuição geométrica: 
 
 撮岫散岻 噺 層使 惨珊司岫散岻 噺 層 伐 使使匝 
 
 
6. Distribuição Hipergeométrica 
 
A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de que, ao retirarmos, sem 
reposição , “n” elementos de um conjunto de “N”, “k” elementos com o atributo 
sucesso. Sabendo-se “s” elementos possuem o atributo sucesso e que “N – s” não o 
possuem, fica claro que a probabilidade de sucesso (喧) é: 
 喧 噺 嫌軽 
 
Assim, ao retirarmos uma amostra de n elementos, qual a probabilidade de que “k” 
sejam “sucesso” e “n – k” sejam “fracasso”? 
 
Bom, o total de possibilidades é uma combinação de “N” elementos em grupos de “n”. 
Assim: 
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 系朝┸津 
 
 
O total de possibilidades de obtermos “k” sucessos do total de “s” elementos é: 
 系鎚┸賃 
 
Por outro lado, o total de possibilidades de obtermos “n-k” sucessos de um total de 
“N-s” elementos com característica de fracasso é de: 
 系朝貸鎚┸津貸賃 
 
Portanto, a probabilidade (喧岫倦 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 結 券 伐 倦 血堅欠潔欠嫌嫌剣嫌岻) de, ao retirarmos uma 
amostra de n elementos, sem reposição , “k” serem de sucesso e “n-k” serem de 
fracasso é de: 
 使岫暫 史四算蚕史史伺史 蚕 仔 伐 暫 讃司珊算珊史史伺史岻 噺 察史┸暫 抜 察錆貸史┸仔貸暫察錆┸仔 
 
Esse é outro tópico que não é muito cobrado em concurso, mas que é importanteconhecer. Na seção de exercícios, vamos fazer um exercício que vai fazer com que 
vocês entendam direitinho. 
 
Veja que essa distribuição é muito semelhante à binomial, mas 
acontece que ela não tem reposição. Assim, pode-se provar que, para uma 
variável ( 散) com distribuição hipergeométrica: 
 撮岫散岻 噺 仔 ゲ 使 惨珊司岫散岻 噺 仔 糾 使 糾 岫層 伐 使岻 糾 磐錆 伐 仔錆 伐 層卑 
 
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Viram que as expressões são bem parecidas? A única diferença é o ‘”fator de ajuste” 
da variância 岾朝貸津朝貸怠峇. 
 
 
Exercício 1 
 
(FINEP – CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
Considere a distribuição de probabilidade sobre os números 1, 2, 3 e 4 acima. 
Essa distribuição é: 
 
a) Continua 
b) Assimétrica 
c) Normal 
d) Uniforme 
e) Multivariada 
 
Resolução 
 
Pessoal, o que vocês estão vendo é a função distribuição de probabilidade de uma 
variável discreta, pois os pontos não estão ligados por uma linha reta. 
 
Mas, que distribuição é essa? Uma distribuição uniforme, pois todos os pontos têm a 
mesma probabilidade de ocorrência. Alternativa (d). 
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Exercício 2 
 
(TJ\RO – CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada 
com um número diferente de 1 a 10. Uma bola é retirada aleatoriamente e um 
“X” é marcado na mesma. X é uma variável aleatória: 
a) Com desvio padrão de 10 
b) Com 1º quartil de 0,25 
c) Com média de 5 
d) Com distribuição de probabilidade uniforme 
e) Com distribuição de probabilidade assimétrica 
 
Resolução 
 
Veja, todas as possíveis realizações decorrentes da extração de uma bola têm a 
mesma probabilidade. O que é isso? Distribuição uniforme. Viu como a 
CESGRANRIO gosta disso? 
 
Alternativa (d). 
 
 
(FINEP – CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A 
probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada peça 
ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores aproximados 
de 宋┸ 挿掻, 宋┸ 挿捜 e 宋┸ 挿想, respectivamente, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 3 
 
Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. 
 
 
 
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Resolução 
 
Pessoal, nós estamos tratando de uma distribuição binomial, com o evento “encontrar 
peça defeituosa” como sucesso, portanto: 
 継岫捲岻 噺 券 ゲ 喧 
 
Assim: 
 継岫捲岻 噺 券 ゲ 喧 噺 ねどど ゲ ど┸ぬ 噺 層匝宋 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 4 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha 
exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. 
 
Resolução 
 
Veja que agora, nosso “sucesso” é encontrar uma peça sem defeito (perceba que 
tanto faz definir quem é sucesso ou fracasso, teste para ver). Assim, vamos utilizar 
nossa fórmula para distribuição binomial: 
 
 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 系津┸賃 糾 喧賃 糾 岫な 伐 喧岻津貸賃 
 
Substituindo os valores: 
 
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鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 系怠待┸腿 糾 ど┸ば腿 糾 岫ど┸ぬ岻態 噺 など┿岫に岻┿ ぱ┿ ゲ ど┸どは ゲ ど┸どひ 噺 宋┸ 匝想惣 
 
Portanto, alternativa falsa. 
 
Exercício 5 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no 
máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. 
 
Resolução 
 
Vamos refazer o cálculo anterior com as mudanças requisitadas, só que agora 
estamos procurando 2 “sucessos” em uma amostra de 5 peças: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 系津┸賃 糾 喧賃 糾 岫な 伐 喧岻津貸賃 
 
Substituindo os valores: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ岻 噺 系泰┸戴 糾 ど┸ば戴 糾 ど┸ぬ態 噺 の┿岫ぬ岻┿ に┿ 糾 ど┸ぬねぬ 糾 ど┸どひ 噺 ど┸ぬどぱば 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ね岻 噺 系泰┸替 糾 ど┸ば替 糾 ど┸ぬ怠 噺 の┿岫な岻┿ ね┿ 糾 ど┸にね 糾 ど┸ぬ 噺 ど┸ぬは 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 の岻 噺 系泰┸泰 糾 ど┸ば泰 糾 ど┸ぬ待 噺 ど┸なば 
 
A probabilidade de existirem, no máximo, duas peças defeituosas é de: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ 姦 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ね 姦 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 の岻 
 
Como os eventos são mutuamente excludentes, basta somar: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ 姦 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ね 姦 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 の岻 噺 ど┸ぬは 髪 ど┸なば 髪 ど┸ぬどぱば 噺 宋┸ 掻惣掻挿 
 
Alternativa verdadeira. 
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Exercício 6 
 
(CGU – ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de 
Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e 
1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: 
a) Binomial com parâmetros n e p. 
b) Gama com parâmetros n e p. 
c) Qui quadrado com n graus de liberdade. 
d) Laplace. 
e) “t” de Student com n-1 graus de liberdade. 
 
Resolução 
 
Essa é bem fácil! Por definição, letra (a). 
 
Exercício 7 
 
(AFRFB – ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a 
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de 
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e 
fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 20 % e 80 % 
b) 80 % e 20 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 30 % e 70 % 
e) 25 % e 75 % 
 
Resolução 
 
No caso de 3 experimentos a probabilidade de 2 sucessos é de: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 に岻 噺 系戴┸態 糾 喧態 糾 岫な 伐 喧岻怠 噺 ぬ 糾 喧ふ 糾 岫な 伐 喧岻 
 
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Já a probabilidade de 3 sucessos é de: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 ぬ岻 噺 系戴┸戴 糾 喧戴 噺 喧ぶ 
 
Do enunciado sabemos que: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 に岻 噺 なに ゲ 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 ぬ岻 
 
Agora é só substituir e resolver a equação: 
 ぬ 糾 喧態 糾 岫な 伐 喧岻 噺 なに 糾 喧ぶ ぬ喧ふ 伐 ぬ喧戴 噺 なに ゲ 喧ぶ ぬ喧ふ 伐 なの喧戴 噺 ど 
 
 
Se isolarmos p², tem-se que: 
 喧態岫ぬ 伐 なの喧岻 噺 ど 
 
Para que essa expressão seja verdade, ou 岫喧 噺 ど岻, o que não corresponde à solução 
que buscamos, ou 岫ぬ 伐 なの喧 噺 ど岻. Assim, resolvendo a expressão: 
 ぬ 伐 なの喧 噺 ど 蝦 喧 噺 なの 噺 宋┸ 匝 
 
Assim, a chance de fracasso é de: 
 鶏岫血堅欠潔欠嫌嫌剣岻 噺 な 伐 ど┸に 噺 宋┸ 掻 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
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Exercício 8 
(SEJUS – UNIVERSA/2010) Em certo plano amostral, em uma população de 100 
elementos, optou-se pelo seguinte critério: joga-se uma moeda (honesta) e, se 
der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele não entra na amostra. 
Qual o tamanho esperado dessa amostra? 
a)10 
b)20 
c)30 
d)40 
e)50 
 
Resolução 
 
Outra questão mais tranquila para relaxar. O que o exercício está te pedindo é a 
esperança da quantidade de caras! Isso é fácil, basta: 
 継岫捲岻 噺 券 糾 喧 噺 などど 糾 ど┸の 噺 捜宋 
 
Alternativa (e). 
 
Pessoal, o próximo exercício também entra no caso que vocês devem 
acompanhar e depois tentar responder sozinhos. 
 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(TRF – FCC/2001) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina 
seja defeituoso é 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta máquina é 
selecionada ao acaso. Usando-se a aproximação pela distribuição de Poisson 
para determinar a probabilidade de que não mais que um item defeituoso seja 
encontrado na amostra, obtemos 
a) 想蚕貸惣 
b) 想蚕貸匝 
c) 惣蚕貸惣 
d) 層 伐 想蚕貸惣 
e) 層 伐 惣蚕貸惣 
 
ResoluçãoVeja que nós podemos resolver o problema com a distribuição binomial (precisaria de 
calculadora), mas como nós já fizemos exercício deste conteúdo, vamos treinar a 
aplicação da fórmula da distribuição de Poisson. 
 
O que é pedida é a probabilidade de que não haja mais do que uma peça defeituosa, 
ou seja, no máximo uma. Assim, nosso “sucesso” é encontrar uma peça defeituosa. 
Vamos encontrar as probabilidades referentes a “0” e “1” peças defeituosas. 
 
Então, em uma amostra de 30 elementos, espera-se que 3 (10%) sejam defeituosos, 
portanto: 
 膏 噺 券 糾 喧 噺 ぬど 糾 ど┸な 噺 惣 
 
Agora basta substituirmos: 
 
 
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 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 倦 噺 ど岻 噺 結貸碇 ゲ 膏賃倦┿ 噺 結貸戴 ゲ ぬ待ど┿ 噺 蚕貸惣 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 倦 噺 な岻 噺 結貸碇 ゲ 膏賃倦┿ 噺 結貸戴 ゲ ぬ怠な┿ 噺 惣 ゲ 蚕貸惣 
 
Como os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade conjunta se dará 
pela soma de ambos: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 な 剣憲 ど岻 噺 ぬ ゲ 結貸戴 髪 結貸戴 噺 想 ゲ 蚕貸惣 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 10 
 
(BACEN – FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar 
sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem 
atraso é: 
 
a) 捜 ゲ 岫宋┸ 操捜岻捜 
b) 層 伐 岫宋┸ 宋捜岻捜 
c) 層 伐 岫宋┸ 操捜岻捜 
d) 岫宋┸ 操捜岻捜 
e) 想┸ 挿捜 糾 岫宋┸ 操捜岻捜 
 
Resolução 
 
Para facilitar a resolução deste exercício, fica mais fácil avaliar a probabilidade de 
ninguém pagar a mensalidade sem atraso (鶏岫捲 噺 ど岻) e fazer: 
 な 伐 鶏岫捲 噺 ど岻 噺 鶏岫捲 噺 な岻 髪 鶏岫捲 噺 に岻 髪 鶏岫捲 噺 ぬ岻 髪 鶏岫捲 噺 ね岻 髪 鶏岫捲 噺 の岻 
 
 
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Ou seja, o cálculo fica bem mais fácil, pois só calculamos a probabilidade de que 
ninguém pague com atraso. 
 
Assim, sabendo que a chance de sucesso é de 95% (100% – 5%) e a de fracasso é 
de 5%: 
 鶏岫捲 噺 ど岻 噺 系泰┸待 糾 ど┸ひの待 ゲ ど┸どの泰 噺 宋┸ 宋捜捜 
 
Assim, a probabilidade pedida é de: 
 層 伐 宋┸ 宋捜捜 
 
Alternativa (b). 
 
 
Exercício 11 
 
(SEFAZ-ES – CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por 
uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a 
distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) 
será igual a 
 
a) 0,09 
b) 0,14 
c) 0,18 
d) 0,1 
e) 0,05 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Em primeiro lugar, nós sabemos que se trata de uma distribuição de Poisson, 
portanto, a média do processo é equivalente à variável (膏). No caso, o exercício quer 
saber a probabilidade de 0 (zero) sucessos. 
 
Vamos usar a fórmula: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 倦 噺 ど岻 噺 結貸碇 ゲ 膏賃倦┿ 
 
No caso, substituindo os valores: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 倦 噺 ど岻 噺 結貸鎮津怠待 ゲ 岫健券など岻待ど┿ 噺 結貸鎮津怠待 
 
Veja, este 健券 trata-se do logaritmo neperiano! Ou seja, 健券 de um número qualquer é: 
o valor a que você deve elevar “結” (chamado de neper e que, como vimos, tem valor 
próximo a 2,7) a fim de resultar neste número. Por exemplo: 
 捲 噺 健券 岫に岻 
Isso significa que: 
 蚕姉 噺 匝 
 
Assim, sempre que você vir 結 elevado a 健券, o resultado é o número na frente do 健券. 
Por exemplo: 
 結鎮津態 噺 に 
 
Entendeu? Agora vamos voltar ao exercício. 
 
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鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 倦 噺 ど岻 噺 結貸鎮津怠待 噺 な結鎮津怠待 噺 ななど 噺 宋┸ 層 
 
O gabarito original não tinha a resposta correta, mas neste nosso exemplo 
modificado, alternativa (d). 
 
 
 
Pessoal, o próximo exercício é sobre distribuição hipergeométrica. 
Acompanhem comigo! 
 
Exercício 12 
 
(MDIC – ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são 
empresas exportadoras. Qual o valor mais próximo do número esperado de 
empresas exportadoras em uma amostra aleatória de tamanho 20 retirada sem 
reposição da amostra. 
 
a) 10 
b) 8 
c) 7,5 
d) 6 
e) 4 
 
Resolução 
 
Veja a palavrinha chave: “sem reposição”. Trata-se de uma variável com distribuição 
hipergeométrica. 
 
Qual a esperança de uma variável com distribuição hipergeométrica? 
 継岫隙岻 噺 券 ゲ 喧 噺 にど 糾 にどのど 噺 掻 
 
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Alternativa (b). 
 
Exercício 13 
 
(SUSEP – ESAF/2010) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em 
clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a 
probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse 
modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 45/512 
e) 9/16 
 
Resolução 
 
Queremos saber a probabilidade de 2 sucessos (filhos homens) em 5 experimentos 
(5 filhos). Assim: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 に岻 噺 系泰┸態 ゲ 磐なね卑態 ゲ 磐ぬね卑戴 噺 など ゲ ななは 糾 にばはね 噺 層惣捜捜層匝 
 
A questão foi anulada, pois não há alternativa certa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
(ISS-SP – FCC\2012) Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento 
A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o 
experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X 
= número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. 
Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X = 
2 | X ≤ 3) é igual a 
a) 5/27 
b) 4/27 
c) 2/9 
d) 1/3 
e) 6/19 
 
Resolução 
 
Bom, em primeiro lugar temos de encontrar a probabilidade de sucesso. O exercício 
nos deu o valor da média do processo, assim: 
 継岫隙岻 噺 ぬ 
 
Como esta é uma variável com distribuição geométrica (leia o enunciado e veja se 
entendeu): 
 継岫隙岻 噺 な喧 噺 ぬ 蝦 使 噺 層惣 
 
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Agora, atenção! O exercício está te pedindo uma probabilidade condicional: 
 
P (X = 2 | X ≤ 3) 
 
Como se encontra isso? 
 鶏岫隙 噺 に】隙 判 ぬ岻 噺 鶏岫隙 噺 に 結 隙 判 ぬ岻 鶏岫隙 判 ぬ岻 
 
Bom, o numerador é a própria probabilidade de que X seja igual à 2. O denominador 
será o somatório da probabilidade de que X seja igual à “1”, “2” e “3”. 
 
Assim: 
 鶏岫隙 噺 な岻 噺 喧 噺 なぬ 鶏岫隙 噺 に岻 噺 喧 抜 岫な 伐 喧岻 噺 なぬ 抜 にぬ 噺 にひ 鶏岫隙 噺 ぬ岻 噺 喧 抜 岫な 伐 喧岻態 噺 なぬ 抜 ねひ 噺 ねにば 
 
Agora, substitua na fórmula da probabilidade condicional: 
 
鶏岫隙 噺 に】隙 判 ぬ岻 噺 鶏岫隙 噺 に 結 隙 判 ぬ岻 鶏岫隙 判 ぬ岻 噺 岾にひ峇岾なぬ 髪 にひ 髪 ねにば峇 噺 岾
にひ峇岾なひにば峇 噺 掃層操 
 
Letra (e). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
(TER-ES – FCC/2011) O custo para a realização de um experimento é de 500 
reais. Se o experimento falhar haverá um custo adicional de 100 reais para a 
realização de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso 
em qualquer tentativa é 0,4 e que todas são independentes, o custo esperado 
de todo o procedimento até que o primeiro sucesso seja alcançado é 
a)1.500. 
b)1.400. 
c)1.300. 
d)1.200. 
e) 1.000. 
 
Resolução 
 
Em primeiro lugar, precisamos encontrar quantasvezes o experimento terá de ser 
realizado, na média, até termos sucesso. Perceba que trata-se de um caso de 
distribuição geométrica, assim: 
 継岫隙岻 噺 な喧 噺 など┸ね 噺 匝┸ 捜 
 
Isso quer dizer que o experimento será realizado, na média, duas vezes e meia taé 
“acertarmos”. 
 
Bom, agora pense! Na primeira vez, você terá que desembolsar 500 reais para 
realizar o experimento, mas você vai errar. Assim, você terá que desembolsar mais 
600 reais (100 reais adicionais mais os 500 necessários para realizar o experimento 
de novo) para tentar uma segunda vez. Até aí você já gastou 1100 reais para jogar 
duas vezes. 
 
Mas, ainda falta 0,5 vezes para você acertar. Assim, na média, você irá gastar mais: 
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 ど┸の 抜 はどど 噺 惣宋宋 
 
Portanto, até acertar, você gastará, na média: 
 ななどど 髪 ぬどど 噺 層想宋宋 
 
Alternativa (b). 
 
 
Exercício 16 
 
(AFRFB – ESAF/2013\modificada ) Em uma cidade de colonização alemã, a 
probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao acaso 
4 pessoas desta cidade, a probabilidade de, exatamente, 3 delas não falarem 
alemão é, em valores percentuais, igual a 
a) 6,4. 
b) 12,26. 
c) 15,36. 
d) 3,84. 
e) 24,5. 
 
Resolução 
 
Tranquilo, não? Basta lembrar-se da nossa distribuição binomial. 
 
Veja, vamos supor que nosso “sucesso” seja encontrar alguém que fala alemão. 
Assim: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 な岻 噺 系替┸怠 ゲ ど┸は怠 ゲ ど┸ね戴 噺 ね┿岫ぬ岻┿ ゲ な┿ ゲ ど┸は ゲ ど┸どはね 噺 ど┸なのぬは 噺 なの┸ぬはガ 
 
Alternativa (c). 
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A questão original foi anulada por não possuir a palavra “exatamente”, tal como 
coloquei no enunciado. Se essa palavra não constasse, o sucesso seria obtido se 3 
ou 4 pessoas falassem alemão, pois, neste caso, pelo menos, três pessoas não 
estariam falando alemão! 
 
 
Exercício 17 
 
(DNIT – ESAF/2013) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e 
os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da 
soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
 
 
Resolução 
 
Vamos pensar no nosso espaço amostral. 
 よ 噺 岶岫な┹ な岻┹ 岫な┹ に岻┹ 岫な┹ ぬ岻┹ 岫な┹ ね岻┹ 岫な┹ の岻┹ 岫な┹ は岻┹ 岫に┹ な岻┹ 岫に┹ に岻┹ 岫に┹ ぬ岻┹ 岫に┹ ね岻┹ 岫に┹ の岻┹ 岫に┹ は岻┹ 岫ぬ┹ な岻┹ 岫ぬ┹ に岻┹ 岫ぬ┹ ぬ岻┹ 岫ぬ┹ ね岻┹ 岫ぬ┹ の岻┹ 岫ぬ┹ は岻┹ 岫ね┹ な岻┹ 岫ね┹ に岻┹ 岫ね┹ ぬ岻┹ 岫ね┹ ね岻┹ 岫ね┹ の岻┹ 岫ね┹ は岻┹ 岫の┹ な岻┹ 岫の┹ に岻┹ 岫の┹ ぬ岻┹ 岫の┹ ね岻┹ 岫の┹ の岻┹ 岫の┹ は岻┹ 岫は┹ な岻┹ 岫は┹ に岻┹ 岫は┹ ぬ岻┹ 岫は┹ ね岻┹ 岫は┹ の岻┹ 岫は┹ は岻岼 
 
Ou seja, há trinta e seis combinações possíveis. 
 
Quantas combinações têm soma menor do que 5? 
 岫鯨剣兼欠 隼 の岻 噺 岶岫な┹ な岻┹ 岫な┹ に岻┹ 岫な┹ ぬ岻┹ 岫に┹ な岻┹ 岫に┹ に岻┹ 岫ぬ┹ な岻岼 
 
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Quantas somam dez? 
 岫鯨剣兼欠 噺 など岻 噺 岶岫ね┹ は岻┹ 岫の┹ の岻┹ 岫は┹ ね岻岼 
 
Portanto: 
 鶏岫嫌剣兼欠 隼 の 剣憲 嫌剣兼欠 噺 など岻 噺 ひぬは 噺 なね 噺 にのガ 
 
Alternativa (e). 
 
 
Exercício 18 
 
(MTUR – ESAF/2013) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas 
com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a probabilidade 
de ser menor do que 500 e par é 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 20% 
 
 
Resolução 
 
Vamos pensar quantos números pares e menores do que 500 podem ser formados. 
 
Bom, o primeiro digito deve ser 3 ou 4, pois o número deverá ser menor do que 500. 
 
Vamos começar com 3, neste caso temos 5 possibilidades para o algarismo da 
dezena. Entretanto, como é exigido que o número seja par, só temos 2 opções para 
o algarismo da unidade: 4 e 8. 
 
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Neste caso, se a dezena não for composta nem por 4 ou 8, temos 3 possibilidades 
para a mesma e 2 para a unidade, o que nos leva à: 
 な ゲ ぬ ゲ に 噺 は 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 
 
Mas, caso a dezena seja composta por um destes números: 
 な ゲ に ゲ な 噺 に 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 
 
E no caso de 4? Bom, o número 8 não pode estar na dezena, pois, caso contrário, 
não sobraria um número par para a unidade. 
 な ゲ ね ゲ な 噺 ね 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 
 
Portanto, temos um total de 12 possibilidades com a nossa característica desejada. 
O total de possibilidades será dada pela permutação dos 6 elementos, de forma que: 
 は ゲ の ゲ ね 噺 なにど 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 
 
Portanto, a probabilidade desejada é de: 
 鶏岫隼 のどど 結 喧欠堅岻 噺 なになにど 噺 などガ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 19 
 
(AFRFB – ESAF/2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria 
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros 
por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três 
petroleiros em dois dias é igual a: 
 
a) 
惣匝挿惣 蚕貸想 
b) 
惣挿層 蚕想 
c) 
挿層惣 蚕貸想 
d) 
挿層惣 蚕貸匝 
e) 
惣匝惣 蚕貸匝 
 
Resolução 
 
Olha a distribuição de Poisson aí gente! 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 結貸津椎 糾 岫券 ゲ 喧岻賃倦┿ 
 
O que nós queremos saber é qual a probabilidade de que a refinaria receba zero, um, 
dois ou três petroleiros em dois dias. Portanto, sabemos que nossa média é de 2 
petroleiros por dia e a quantidade de vezes que o experimento é realizado é igual à 
2, pois são dois dias. Qual a chance de 倦 噺 ど┹ な┹ に┹ ぬ? 
 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ど岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻待ど┿ 噺 結貸替 
 
 
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 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 な岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻怠な┿ 噺 ね ゲ 結貸替 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 に岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻態に┿ 噺 ぱ 糾 結貸替 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻戴ぬ┿ 噺 はねは ゲ 結貸替 噺 ぬにぬ ゲ 結貸替 
 
Agora some! 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 判 ぬ岻 噺 結貸替 髪 ね結貸替 髪 ぱ結貸替 髪 ぬにぬ 結貸替 噺 ぬ結貸替 髪 なに結貸替 髪 にね結貸替 髪 ぬに結貸替ぬ 噺 ばなぬ 結貸替 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 20 
 
(ICMS-RJ – 2014/FCC) O número de atendimentos, via internet, realizados pela 
Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson 
com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar 
pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é 
a) 0,594 
b) 0,910 
c) 0,766 
d) 0,628 
e) 0,750 
 
Dados: 蚕貸匝 噺 宋┸ 層想┹ 蚕貸想 噺 宋┸ 宋層掻 
 
Resolução 
 
Vamos lembrar da fórmula de novo: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 結貸碇 糾 岫膏岻賃倦┿ 
 
A média (券 ゲ 喧) é igual à 12 atendimentos por hora, a quantidade de sucesso que 
queremos é igual à 3 e o tempo desejado é 1/3 de hora. 
 
-“1/3 de hora, professor”? 
 
Exatamente! Você tem que usar a mesma unidade de medida para todas as 
informações. 
 
Assim, se em uma hora são realizados 12 atendimentos, em 1/3 de hora: 
 膏 噺 なにぬ 噺 ね 
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A probabilidade de realizar, pelo menos, 3 atendimentos em uma hora é igual à: 
 鶏岫喧結健剣 兼結券剣嫌 ぬ岻 噺 な 伐 鶏岫ど岻 伐 鶏岫な岻 伐 鶏岫に岻 
 
Agora basta encontrar estes valores: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ど岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻待ど┿ 噺 結貸替 ゲ なな 噺 結貸替 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 な岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻怠な┿ 噺 結貸替 ゲ ねな 噺 ね結貸替 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 に岻 噺 結貸替 糾 岫ね岻態に┿ 噺 結貸替 ゲ なはに噺 ぱ結貸替 
 
Portanto: 
 鶏岫喧結健剣 兼結券剣嫌 ぬ岻 噺 な 伐 鶏岫ど岻 伐 鶏岫な岻 伐 鶏岫に岻 噺 な 伐 岫結貸替 髪 ね結貸替 髪 ぱ結貸替岻 な 伐 なぬ結貸替 噺 な 伐 なぬ岫ど┸どなぱ岻 噺 ど┸ばはは 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(ICMS-SP – FCC/2013) Sabe-se que em determinado município, no ano de 2012, 
20% dos domicílios tiveram isenção de determinado imposto. Escolhidos, ao 
acaso e com reposição, quatro domicílios deste município a probabilidade de 
que pelo menos dois tenham tido a referida isenção é igual a a) 0,4096 
b) 0,4368 
c) 0,1808 
d) 0,3632 
e) 0,2120 
 
Resolução 
 
Vamos nos utilizar da velha e boa fórmula: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 系津┸賃 糾 喧賃 糾 岫な 伐 喧岻津貸賃 
 
Bom, nós sabemos que a probabilidade de “sucesso” é de 20% (0,2). Assim, a 
probabilidade de 2 sucessos em 4 “jogadas” é de: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 に岻 噺 系替┸態 糾 ど┸に態 糾 岫ど┸ぱ岻態 噺 ね┿に┿ に┿ 抜 ど┸どね 抜 ど┸はね 噺 ど┸なのぬは 
 
Porém, como sempre, o exercício pede a probabilidade de que ao menos 2 jogadas 
tenham sucesso. Assim, precisamos das probabilidades de 3 e 4 sucessos: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ岻 噺 系替┸戴 糾 ど┸に戴 糾 岫ど┸ぱ岻怠 噺 ね┿な┿ ぬ┿ 抜 ど┸どどぱ 抜 ど┸ぱ 噺 ど┸どにのは 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ね岻 噺 系替┸替 糾 ど┸に替 糾 岫ど┸ぱ岻待 噺 ね┿ど┿ ね┿ 抜 ど┸どどなは 抜 な 噺 ど┸どどなは 
 
 
 
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Assim: 
 鶏岫欠剣 兼結券剣嫌 に 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌岻 噺 ど┸なのぬは 髪 ど┸どにのは 髪 ど┸どどなは 噺 ど┸なぱどぱ 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 22 
 
(Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013\alterada ) Uma variável aleatória X tem 
distribuição de Poisson com valor esperado igual a 5, qual a probabilidade de 0 
(zero) ocorrências desta variável? 
 
a)蚕貸捜 
b)蚕貸層宋 
c)蚕貸層匝 
d)蚕貸惣 
 
Resolução 
 
Bom, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦岻 噺 結貸津椎 糾 岫券 ゲ 喧岻賃倦┿ 
 
O valor esperado é 券 ゲ 喧 噺 の e o exercício pergunta a chance de 嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 倦 噺 ど. 
Assim: 
 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ど岻 噺 結貸泰 糾 岫の岻待ど┿ 噺 結貸泰 糾 なな 噺 結貸泰 
 
 
Alternativa (a). 
 
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Exercício 23 
 
(SUDECO – FUNCAB\2013/alterada ) Em um concurso público, um candidato 
conhece bem 20 dos 25 temas indicados no programa da disciplina. Se forem 
propostas três questões, qual a probabilidade aproximada de que ele consiga 
responder bem as três? 
A) Mais que 0,6. 
B) 0,512 
C) 0,5381 
D) 0,4957 
E) 0,4669 
 
Resolução 
 
Veja, trata-se de uma distribuição binomial, pois o indivíduo pode ou não ter sucesso 
ao responder a questão. A probabilidade de “sucesso” ao responder a questão é de: 
 喧 噺 にどにの 噺 ねの 
 
Assim, com base na distribuição binomial, buscamos a probabilidade de 3 sucessos 
em 3 jogadas: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ぬ岻 噺 系戴┸戴 糾 磐ねの卑戴 糾 磐なの卑待 噺 磐ねの卑戴 噺 はねなにの 噺 ど┸のなに 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 24 
 
(SEMAD – FUNCAB\2013) A probabilidade de você efetuar uma compra via 
Internet e não receber a mercadoria no tempo combinado é igual a 0,04. Você 
efetua duas compras que são enviadas em tempos espaçados o suficiente para 
considerá-las como eventos independentes. Qual a probabilidade de uma ou 
mais compras não serem recebidas no tempo exato? 
A) 0,0768 
B) 0,0016 
C) 0,0384 
D) 0,0784 
 
Resolução 
 
Veja, trata-se de uma distribuição binomial, pois o indivíduo pode ou não receber a 
mercadoria. Neste caso, vamos chamar de “sucesso” a não entrega da mercadoria. 
Assim, queremos saber de uma ou duas mercadorias não serem entregues no prazo. 
Isso é equivalente à 100% menos a probabilidade de ambas serem recebidas no 
prazo, ou seja, 2 fracassos. 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 ど岻 噺 系態┸待 糾 岫ど┸どね岻待 糾 岫ど┸ひは岻態 噺 ど┸ひになは 
 
Assim, o que procuramos é: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣嫌 噺 な 剣憲 に岻 噺 な 伐 ど┸ひになは 噺 ど┸どばぱね 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25 
 
(SEMAD – FUNCAB\2013) Os pesos de 27 indivíduos foram coletados e 
resultaram no seguinte ramo-e-folhas: 
 
 
 
A mediana desses pesos, em quilogramas, é igual a: 
A) 71 
B) 72 
C) 83 
D) 87 
 
Resolução 
 
Essa é boa para vocês verem: Diagrama de Ramos e Folhas ainda é cobrado pela 
FUNCAB. Vamos ordenar os dados: 
 経欠穴剣嫌┺ はな┹ はな┹ はに┹ はぬ┹ はね┹ ばど┹ ばど┹ ばど┹ ばな┹ ばな┹ ばに┹ ばに┹ ぱぬ┹ ぱぬ┹ ぱは┹ ぱば┹ ぱひ┹ ぱひ┹ ぱひ┹ ぱひ┹ ひな┹ ひに┹ ひぬ┹ ひぬ┹ などに┹ などぬ┹ ななど 
 
Portanto, são 27 observações, o que faz com que a mediana seja o elemento: 
 にば 髪 なに 噺 なねぇ 
Essa é a observação de valor 83, ou seja, alternativa (c). 
 
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Exercício 26 
 
Analisando o histograma abaixo, o que se pode inferir sobre a simetria da 
distribuição? 
 
 
 
A) Assimétrica negativa. 
B) Assimétrica positiva. 
C) Simétrica. 
D) Malcomportada. 
 
Resolução 
 
Essa é o tipo de questão que você resolve bem fácil por exclusão! A mesma não tem 
assimetria nem positiva nem negativa. 
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A alternativa (d), fala de “malcomportada”, o que não tem nada a ver. Assim, é a 
alternativa (c). Se você conhece o formato da distribuição simétrica, também fica fácil: 
 
 
 
Alguns alunos destacaram que a distribuição aprece assimétrica! Concordo! Mas,o 
gabarito indicou simetria...fazer o que? 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 27 
 
(TJ RO – CESPE\2012) 
 
Resolução 
 
Pessoal, nós estudamos isso na aula 02. Se você fizer a soma de todos os desvios 
das observações com relação a sua média, o resultado será igual à zero. No caso: 布岫捲沈 伐 捲違岻 噺 ど 
Este é o motivo pelo qual elevamos esta expressão ao quadrado quando calculamos 
a variância. 
 
Neste caso, a expressão acima não pode ser uma medida de dispersão, pois ela 
sempre será igual à zero! 
 
Alternativa (e). 
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(TJ RO – CESPE\2013\alterada) Um perito investiga se determinada empresa 
manipulou os resultados fiscais com o objetivo de sonegar impostos. 
Considere que M e L representam, respectivamente, os eventos “manipula os 
resultados fiscais ” e “obteve lucro no ultimo trimestre ”, e que Mc e Lc denotam 
os eventos complementares correspondentes. Com base em investigações 
anteriores, e conhecida a proporção de empresas que manipulam os resultados 
fiscais, ou seja, P(M). Conhece- se também a probabilidade condicional P(M|L). 
O perito determinou a proporção de empresas que tiveram lucro no ultimo 
trimestre, P(L), com base em dados fornecidos pela junta comercial. Com base 
nessas informações, julgue as afirmativas: 
 
Exercício 28 
 
P(M) = P(M|Lc) × P(Lc) + P(M|L) × P(L). 
 
Resolução 
 
Pense noTeorema de Bayes e no denominador da fórmula aplicada ao caso 鶏岫詣】警岻. 
Ora, o denominador desta fórmula é exatamente 鶏岫警岻! Qual a relação de M com Lc 
e L? 
 鶏岫警岻 噺 鶏岫警 堪 詣潔岻 髪 鶏岫警 堪 詣岻 
 
Isso porque, de acordo com o enunciado do exercício, o evento “manipular resultados 
fiscais” só pode ocorrer sob duas situações, ter lucro ou não. Substituindo a fórmula 
acima com o que já sabemos de probabilidade condicional: 
 鶏岫警 堪 詣潔岻 噺 鶏岫警】詣潔岻 抜 鶏岫詣潔岻 鶏岫警 堪 詣岻 噺 鶏岫警】詣岻 抜 鶏岫詣岻 鶏岫警岻 噺 鶏岫警】詣潔岻 抜 鶏岫詣潔岻 髪 鶏岫警】詣岻 抜 鶏岫詣岻 
 
Alternativa correta. 
 
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Exercício 29 
 
P(M|Lc) = 1 - P(M|L). 
 
Resolução 
 
A questão implica que: 
 鶏岫警】詣潔岻 噺 な 伐 鶏岫警】詣岻 蝦 皿岫捌】鯖岻 髪 皿岫捌】鯖算岻 噺 層 
 
Não há como fazer essa afirmação com base nos dados da questão. A única coisa 
que sabemos é: 
 鶏岫警岻 噺 鶏岫警】詣潔岻 抜 鶏岫詣潔岻 髪 鶏岫警】詣岻 抜 鶏岫詣岻 
 
Alternativa errada. 
 
(Polícia Federal – CESPE\2012) Dez policiais federais — dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir 
mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à 
superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, 
exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um 
perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, 
julgue os itens que se seguem. 
 
Exercício 30 
 
Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, 
formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma 
equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro 
passageiros — será superior a 100. 
 
 
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Resolução 
 
Pesosal, perceba que o exercício trata de uma única equipe no carro, então, cuidado, 
pois você pode acabar querendo fazer combinação com todos os policiais! Se você 
pode dispor uma equipe de 5 pessoas, para uma equipe , as formas diferentes de 
organizá-la dentro do carro é uma permutação de 5 elementos. Assim: 
 の┿ 噺 の 抜 ね 抜 ぬ 抜 に 抜 な 噺 なにど 
 
Entretanto, o correto seria utilizar permutação com repetição, já que há 2 agentes! 
 の┿に┿ 噺 の 抜 ね 抜 ぬ 抜 に 抜 なに 抜 な 噺 はど 
 
Mas, isso não bate com o gabarito. A questão deveria ter sido anulada. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 31 
 
Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
 
 
Resolução 
 
 
Neste caso, fica fácil resolver o exercício pelo princípio fundamental da contagem! No 
caso: 
 
 
 
 
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Cada bolinha é uma representação das combinações possíveis para cada 
carreira. Assim, a bolinha “agente”, por exemplo, é a quantidade de 
combinações que podem ser realizadas com agentes. 
 
Facilitando, para escrivão, perito e delegado só existem 2 combinações para cada, 
afinal, só há duas pessoas com essas patentes no total! Mas, para agente, a 
quantidade de combinações de duplas possíveis é: 
 
 系替┸態 噺 ね┿に┿ に┿ 噺 ね 抜 ぬに 噺 は 
 
Portanto, é possível fazer 6 duplas diferentes com os 4 agentes. Assim, com 
base no nosso diagrama de bolinhas: 
 撮刺四餐使蚕史 纂餐讃蚕司蚕仔嗣蚕史 噺 掃 抜 匝 抜 匝 抜 匝 噺 想掻 
 
 
Alternativa errada. 
 
Exercício 32 
 
Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e 
independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos 
constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. 
 
Resolução 
 
Com base no exercício anterior nós já sabemos que há 48 formas diferentes de 
compormos equipes no formato desejado, ou seja, 1 perito, 1 escrivão, 1 delegado e 
2 agentes. Se nós já sabemos o total de combinações que desejamos, precisamos 
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saber o total de combinações possíveis, pois, assim, poderemos calcular a 
probabilidade de ocorrência das combinações desejadas. 
 
O total de combinações possíveis é uma combinação de 10 elementos em grupos de 
5: 
 系怠待┸泰 噺 など┿の┿ の┿ 噺 など 抜 ひ 抜 ぱ 抜 ば 抜 はの 抜 ね 抜 ぬ 抜 に 抜 な 噺 に 抜 ぬ 抜 に 抜 ば 抜 ぬ 噺 匝捜匝 
 
Assim: 
 皿岫賛司四使伺史 仔伺 讃伺司仕珊嗣伺 纂蚕史蚕斬珊纂伺岻 噺 想掻匝捜匝 簡 宋┸ 層操 
 
Alternativa errada. 
 
 
(PETROBRAS – CESGRANRIO/2014) Use o texto abaixo para responder as 
questões 33 e 34. 
 
Um analista observou que a média das remunerações recebidas pelos 100 
empregados que responderam a uma determinada pesquisa estava muito baixa: 
R$ 2.380,00. Após investigar, verificou que 15% das respostas estavam com 
valor nulo e todas elas eram referentes às respostas dos empregados que se 
recusaram a responder a esse quesito, embora recebessem remuneração. 
 
Exercício 33 
 
Retirando essas observações nulas, a média dos salários dos respondentes é, 
em reais, 
(A) 2.380 
(B) 2.487 
(C) 2.650 
(D) 2.737 
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(E) 2.800 
 
 
Resolução 
 
A média original era tal que: 
 警é穴件欠 噺 デ 捲沈券 噺 デ 捲沈などど 噺 にぬぱど 
 
 
Portanto: 
 布 捲沈 噺 にぬぱど 抜 などど 噺 にぬぱどどど 
 
 
Se 15% de 100 (15 0bservações) eram nulas e nós a retiramos: 
 券剣懸欠 兼é穴件欠 噺 デ 捲沈券 噺 にぬぱどどどなどど 伐 なの 噺 にぬぱどどどぱの 噺 にぱどど 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 34 
 
Inicialmente, o analista registrou variância dos salários, em reais2, igual a 
2.835.600,00. Retirando as observações nulas, a média dos quadrados dos 
salários dos respondentes é, em reais², aproximadamente, 
(A) 10.000.000,00 
(B) 8.500.000,00 
(C) 6.300.000,00 
(D) 4.400.000,00 
(E) 2.800.000,00 
 
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Resolução 
 
Nós temos sempre de lembrar que: 
 懸欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
Então, antes de retirarmos as observações nulas: 
 
 懸欠堅件â券潔件欠 噺 にぱぬのはどど 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 岫にぬぱど岻ふ にぱぬのはどど 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 のははねねどど 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 ぱのどどどどど 
 
Veja, a média dos quadrados é: 
 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 デ岫捲沈岻ふ券 
 
Antes de retirarmos as 15 observações: 
 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 デ岫捲沈岻ふ券 蝦 ぱのどどどどど 噺 デ岫捲沈岻ふなどど 蝦 布岫捲沈岻ふ 噺 ぱのどどどどどどど 
 
Este valor não muda, mesmo quando tiramos as observações nulas, pois o quadrado 
de zero é zero! Então, a nova média dos quadrados é: 
 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 デ岫捲沈岻ふぱの 噺 ぱのどどどどどどどぱの 噺 などどどどどどど 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
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Exercício 35 
 
(LIQUIGAS – CESGRANRIO/2012) 
 
 
 
Resolução 
 
As formas que podem gerar a vitória de M são dadas por: 
 穴憲欠嫌 倹剣訣欠穴欠嫌┺ 岫警┸ 警岻 噺 なぬ 抜 なぬ 噺 なひ 建堅ê嫌 倹剣訣欠穴欠嫌┺ 岫警┸ 軽┸ 警岻┹ 岫軽┸ 警┸ 警岻 噺 に 抜 なぬ 抜 なぬ 抜 にぬ 噺 ねにば 圏憲欠建堅剣 倹剣訣欠穴欠嫌┺ 岫警┸ 軽┸ 軽┸ 警岻┹ 岫軽┸ 軽┸ 警┸ 警岻┹ 岫軽┸ 警┸ 軽┸ 警岻 噺 ぬ 抜 なぬ 抜 なぬ 抜 にぬ 抜 にぬ 噺 なにぱな 
 
Assim, a probabilidade de M ganhar é: 
 鶏岫警 訣欠券月欠堅岻 噺 なひ 髪 ねにば 髪 なにぱな 噺 ひぱな 髪 なにぱな 髪 なにひな 噺 ぬぬぱな 噺 ななにば 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
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Exercício 36(CELESC – FEPESE/2013) Uma empresa tem 8 funcionários à disposição para 
os cargos de presidente, primeiro secretário e segundo secretário. De quantas 
maneiras diferentes esses cargos podem ser preenchidos? 
a. ( ) 24 
b. ( ) 56 
c. ( ) 336 
d. ( ) 1680 
e. ( ) 40320 
 
Resolução 
 
Simples, basta fazer uma permutação com os três lugares que você tem para 
preencher: 
 
 
 
Assim, temos 8 pessoas: 
 ぱ 抜 ば 抜 は 噺 ぬぬは 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 37 
 
(CELESC – FEPESE/2013) Uma distribuição de probabilidade que se caracteriza 
pela existência de apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, num 
experimento que é realizado uma única vez, define a seguinte distribuição: 
a. ( ) Distribuição binomial. 
b. ( ) Distribuição de Poisson. 
c. ( ) Distribuição geométrica. 
d. ( ) Distribuição de Bernouilli. 
e. ( ) Distribuição uniforme discreta. 
 
Resolução 
 
Pessoal, qual é a distribuição de probabilidade que se caracteriza por possuir dois 
resultados possíveis: um “sucesso” ou “fracasso” 
 
Você tem de responder: 
 
-“Depende, professor”. 
 
Pois, se você realizar o experimento uma única vez, trata-se de Bernouilli, casso 
contrário, será uma binomial. O enunciado fala de uma única “jogada”. 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 38 
 
(CELESC – FEPESE/2013) Em uma festa são servidos 4 tipos de carne, 5 tipos 
de salada e 6 tipos de sobremesa. Se uma pessoa pretende se servir de 2 tipos 
de carne, 2 tipos de salada e 3 tipos de sobremesa, quantas opções tem esta 
pessoa? 
a. ( ) 800 
b. ( ) 1200 
c. ( ) 1600 
d. ( ) 2400 
e. ( ) 3600 
 
Resolução 
 
Pessoal, a ideia aqui é a seguinte, encontrar a quantidade de combinações possíveis 
para cada um dos alimentos e multiplica-las! Veja, no caso da carne, temos 4 tipos 
de carne, mas só podemos escolher 2, portanto, o total de combinações é: 
 系替┸態 噺 ね┿に┿ に┿ 噺 ね 抜 ぬに 抜 な 噺 は 
 
Portanto, há 6 formas de combinar os 4 tipos de carne. Vamos fazer isso para a 
salada: 
 系泰┸態 噺 の┿に┿ ぬ┿ 噺 の 抜 ねに 抜 な 噺 など 
 
Agora, para a sobremesa: 
 系滞┸戴 噺 は┿ぬ┿ ぬ┿ 噺 は 抜 の 抜 ねぬ 抜 に 抜 な 噺 に 抜 の 抜 に 噺 にど 
 
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Portanto, para encontrarmos o total de combinações, basta multiplicarmos o total de 
combinações de cada um dos alimentos pelos demais: 
 劇剣建欠健 穴結 潔剣兼決件券欠ç�結嫌 噺 にど 抜 など 抜 は 噺 なにどど 
 
Alternativa (b). 
 
 
(SUSAM – FGV/2014 - alterada) Suponha que A e B sejam dois eventos 
independentes, com probabilidades positivas. Com base nestas informações, 
julgue as afirmativas. 
 
Exercício 39 
 
A e B não podem ser mutuamente exclusivos . 
 
Resolução 
 
Perfeito! Veja, independência implica que a probabilidade de ocorrência de um evento 
não é afetada pela ocorrência de outro. Se A e B fossem mutuamente exclusivos, isso 
significaria que a ocorrência de A implica na não ocorrência de B. Ora, mas isso não 
é independência! 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 40 
 
P[A|B] = P[A]. 
 
Resolução 
 
Essa é a própria definição de independência, ou seja, a probabilidade de ocorrência 
de A, dado B, é igual à probabilidade incondicional de A – a probabilidade de 
ocorrência de A não é afetada por B. 
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Alternativa correta. 
 
Exercício 41 
 
(SUSAM – FGV/2013) Uma variável aleatória discreta X tem distribuição 
uniforme, x = 1, 2, ..., 100. A probabilidade condicional de que X seja um número 
ímpar dado que 23 ≤ x ≤ 30 é igual a 
(A) 4/7. 
(B) 1/2. 
(C) 3/7. 
(D) 5/7. 
(E) 3/4. 
 
Resolução 
 
O fato de a distribuição ser uniforme só afeta no fato de que cada intervalo entre 
dois números tem a mesma probabilidade! 
 
O que nós estamos procurando é: 
 鶏岫í兼喧欠堅】にぬ 判 捲 判 ぬど岻 
 
Nós sabemos, pela fórmula de probabilidade condicional que: 
 鶏岫í兼喧欠堅】にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺 鶏岫í兼喧欠堅 堪 にぬ 判 捲 判 ぬど岻鶏岫にぬ 判 捲 判 ぬど岻 
 
Veja, qual a probabilidade de obter um número que fica entre 23 e 30? Tratam-se de 
8 números em um universo de 100! Assim: 
 鶏岫にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺 ぱなどど 
 
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E a probabilidade de intersecção? 
 
 鶏岫í兼喧欠堅 堪 にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺╂ 
 
Esta intersecção é dada pela multiplicação da probabilidade de o número ser ímpar 
(50 de 100) pela probabilidade de estar no intervalo em questão (8 de 100). 
 鶏岫í兼喧欠堅 堪 にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺 のどなどど 抜 ぱなどど 噺 ねどどなどどどど 噺 ねなどど 
 
Substituindo na fórmula: 
 
鶏岫í兼喧欠堅】にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺 鶏岫í兼喧欠堅 堪 にぬ 判 捲 判 ぬど岻鶏岫にぬ 判 捲 判 ぬど岻 噺 岾 ねなどど峇岾 ぱなどど峇 噺 ねぱ 噺 なに 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 42 
 
(SUSAM – FGV/2014) 
 
 
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Resolução 
 
O melhor jeito de resolver esta questão é tratando aquelas probabilidades como 
números! Assim, vamos olhar somente a linha dos “masculinos”, afinal o exercício 
pergunta a probabilidade condicional de ser contra, dado que é do sexo masculino. 
 
 à favor contra indiferente Soma 
Masculino 20 12 28 60 
 
O total de homens, neste caso, são 60! A probabilidade de ser contra, dado que é 
homem, é de: 
 鶏岫潔剣券建堅欠】月剣兼結兼岻 噺 なにはど 噺 なの 噺 ど┸に 
 
Alternativa (a). 
 
(DEPEN – CESPE/2015) 
 
 
Exercício 43 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Se o evento “apresentar depressão” está contido em “apresentar perturbação 
antissocial”, isso significa que todo preso com depressão tem perturbação antissocial. 
Assim, qual a probabilidade de união? Basta perceber que a probabilidade de 
intersecção será dada pela própria probabilidade de B, já que este está contido em A. 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸は 髪 ど┸の 伐 ど┸の 噺 ど┸は 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 44 
 
 
 
Resolução 
 
Estes eventos não são mutuamente exclusivos porque não há como acontecer A e 
não acontecer B. Veja, como P(A)=0,6 e P(B)=0,5, isso significa que se A ocorrer, a 
probabilidade de B ocorrer é, pelo menos, de 10% (0,1), pois: 
 
 
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Ou seja, só sobra 40% para que B ocorra e A não! 
 
Com relação ao valor proposto, uma forma de encontrar esta probabilidade de 
intersecção é: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 蝦 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦】稽岻 抜 鶏岫稽岻 
 
Veja, pelo enunciado, nós conhecemos o valor de P(B). Mas, não conhecemos o valor 
de P(A|B). Isso não importa para responder: 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦】稽岻 抜 ど┸の 
 
A probabilidade de A ocorrer, dado B, é igual a um número menor do que 1 (鶏岫畦】稽岻) 
multiplicado por 0,5. Assim, o valor em questão deve ser menor ou igual a 0,5. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 45 
 
 
 
Resolução 
 
Já fizemos muitos exercícios assim. Independênciaimplica que: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫稽岻 
 
E só! 
 
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Alternativa errada. 
 
 
(DEPEN – CESPE/2015) 
 
 
Exercício 46 
 
 
 
Resolução 
 
Trata-se de uma binomial, afinal, podemos enxergar este experimento como um caso 
de seleção de indivíduos, sendo “sucesso” encontrar um presidiário com tuberculose. 
Assim, vamos encontrar a probabilidade de nenhum dos escolhidos ter a doença e 
fazer 100% menos este valor, o que nos dará a probabilidade de, pelo menos, 1 deles 
ter a doença! 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 ど岻 噺 系態┸待 抜 ど┸どな待 抜 ど┸ひひ態 噺 ど┸ひひ態 噺 ど┸ひぱどな 
 
A probabilidade de que, pelo menos, 1 tenha a doença é de: 
 な 伐 ど┸ひぱどな 噺 ど┸どなひひ 
 
Alternativa correta. 
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Exercício 47 
 
 
 
Resolução 
 
Mesma coisa, mas agora vamos calcular diretamente esta probabilidade, com base 
na binomial do exercício anterior: 
 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 噺 に岻 噺 系態┸態 抜 ど┸どな態 噺 ど┸どな態 噺 ど┸どどどな 
 
Alternativa errada. 
 
(TELEBRAS – CESPE/2015) 
 
 
Exercício 48 
 
 
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Resolução 
 
Cada opção tem 50% de chance de ocorrer, assim vamos criar uma variável que seja 
chamada de W e seja dada por: 
 激 噺 隙 髪 桁 
 
Neste caso, a esperança conjunta seria dada por: 
 継岫激岻 噺 継岫隙 髪 桁岻 
 
Assim, vamos calcular: 
 継岫激岻 噺 ど┸の 抜 岫ど┸どの 抜 にぱどど 髪 ど┸ひの 抜 ど岻 髪 ど┸の 抜 岫ばど岻 継岫激岻 噺 ばど 髪 ぬの 噺 などの 
 
Alternativa errada. 
 
Exercício 49 
 
 
Resolução 
 
Temos que resolver uma equação cujo valor de p é uma incógnita. O que iremos fazer 
é comparar os valores das duas esperanças: 
 継岫穴結件捲欠堅 券欠 堅憲欠岻 噺 継岫穴結件捲欠堅 券剣 結嫌建欠潔件剣券欠兼結券建剣 喧欠訣剣岻 喧 抜 にぱどど 髪 ど┸ひの 抜 ど 噺 ばど 喧 噺 ばどにぱどど 噺 ど┸どにの 
 
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Ou seja, o valor limite é de 0,025. Se você aumentar p, a esperança do prejuízo de 
deixar na rua aumenta também! Portanto, 0,025 é o valor máximo de p em que 
Roberto ainda acha vantajoso deixar o carro na rua. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 50 
(CODEMIG – FGV/2016) 
 
Resolução 
 
A FGV adora essa questão! 
 
A quantidade de combinações possíveis com as bolas é de: 
 系替┸態 噺 ね┿に┿ に┿ 噺 に 抜 ぬ 噺 は 
 
As combinações que tem duas bolas da mesma cor são duas: duas brancas ou duas 
pretas. Portanto: 
 鶏岫に 決剣健欠嫌 穴結 兼結嫌兼欠 潔剣堅岻 噺 には 噺 なぬ 
 
Alternativa (b). 
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(ANATEL – CESPE/2015) 
 
 
Exercício 51 
 
 
Resolução 
 
Esta questão é um pouco mais complexa, sendo que vamos resolvê-la por meio de 
uma forma mais simples. 
 
A definição de eventos independentes é que a probabilidade condicional é igual à 
probabilidade incondicional, portanto: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 
 
E: 
 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫稽岻 
 
A relação exposta pelo exercício implica que: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫稽】畦岻 蝦 鶏岫畦 結 稽岻鶏岫稽岻 噺 鶏岫畦 結 稽岻鶏岫畦岻 
 
Dividindo ambos os lados pela probabilidade de intersecção: 
 な鶏岫稽岻 噺 な鶏岫畦岻 蝦 鶏岫畦岻 噺 鶏岫稽岻 
 
Ou seja, não implica em independência. Alternativa errada. 
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Exercício 52 
 
 
Resolução 
 
Nós já conhecemos esta fórmula de probabilidade condicional: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 結 稽岻鶏岫稽岻 噺 ど 
 
Se P(B)>0, então isso implica que: 
 鶏岫畦 結 稽岻 噺 ど 
 
Ou seja, são eventos disjuntos. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 53 
(Analista do CNMP - Estatística – 2015/FCC) 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Ela pede “o resultado da divisão da 
soma dos valores das alturas elevados ao quadrado pelo número de associados”. 
Isso nada mais é do que a média dos quadrados. E sabemos que para calcular a 
variância, podemos fazer através da diferença da média dos quadrados menos o 
quadrado da média. Deu pra perceber onde quero chegar, né? 
Relembrando a fórmula do coeficiente de variação: 
 系撃 噺 経結嫌懸件剣 喧欠穴堅ã剣兼é穴件欠 
Podemos facilmente obter o valor do desvio-padrão: 
 なぱ┸ばのガ 噺 経結嫌懸件剣 喧欠穴堅ã剣なはど 噺 ぬど 
Como a variância é o desvio-padrão elevado ao quadrado, sabemos agora que a 
variância é: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 経結嫌懸件剣 喧欠穴堅ã剣態 噺 ぬど態 噺 ひどど 
 
Vamos agora substituir estes valores na fórmula de variância: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 ひどど 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 なはど態 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 ひどど 髪 にのはどど 噺 にはのどど 
Alternativa D 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 54 
 
(Analista do CNMP - Estatística – 2015/FCC) 
 
Resolução 
 
Questão simples, pessoal! Primeiro, vamos calcular o “Z” em cada palavra: 
 X (NÚMERO DE 
LETRAS) 
Y (NÚMERO DE 
VOGAIS) 
Z (X + 
Y) 
O 1 1 2 
PAPA 4 2 6 
É 1 1 2 
POP 3 1 4 
 
Com os valores de Z, é só calcular a variância. Lembrem da fórmula: 撃欠堅件â券潔件欠 噺 デ岫捲沈 伐 捲違岻態券 
Primeiramente, calculamos a média de Z: に 髪 は 髪 に 髪 ねね 噺 ぬ┸の 
E substituímos na fórmula da variância: 
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撃欠堅件â券潔件欠 噺 岫に 伐 ぬ┸の岻態 髪 岫は 伐 ぬ┸の岻態 髪 岫に 伐 ぬ┸の岻態 髪 岫ね 伐 ぬ┸の岻態ね 噺 ななね 
 
Alternativa A. 
 
Exercício 55 
 
(Analista Judiciário TRE/RR – Estatística – 2015/FCC) 
 
 
Resolução 
 
Mais uma de interpolação linear! É bom treinar seu raciocínio, pois este assunto está 
sempre presente nas provas. 
 
Vamos ao que temos pelo enunciado: sabemos que a mediana é no valor de 5600 e 
está na classe [5000;6500). E sabemos que 80 funcionários, ou seja, 40% dos 
funcionários, recebem menos que R$ 5.000. Dessa forma, para completar 50% (pois 
a mediana divide os dados em 2), de 5000 a 5600, deve-se ter 10% de frequência. 
Mas o que quero dizer com isso? Sabendo qual a frequência acumulada até a classe 
[5000;6500), saberemos que o restante será composto de pessoas que recebem 
acima de R$ 6.500. 
 
Agora ficou mais fácil de visualizar, não é? Vamos apelar para a boa e velha regra de 
três: 
 のはどど 伐 のどどどなどガ 噺 はのどど 伐 のどどど捲 蝦 捲 噺 にのガ 
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Temos que a classe [5000;6500) tem uma frequência absoluta de 25%, e as classes 
anteriores acumulam 40%. A frequência acumulada da classe [5000;6500) é de 65% 
(40%+25%). Portanto, aqueles que recebem acima de R$ 6.500 é 35%. 
 
Alternativa E 
 
Exercício 56 
(Analista Judiciário TRE/RR – Estatística – 2015/FCC) 
 
Resolução 
 
Essa questão refere-se a uma distribuição binomial, dado que o objetivo é saber, se 
jogarmos 5 vezes o dado, qual a probabilidade de obtenção de exatamente 3 
sucessos!Ou seja, o caso clássico de uma distribuição binomial, que nos permite 
calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um certo número de 
jogadas. 
 
 
 
Mas, tem uma pegadinha! Quantos lançamentos você tem de fazer para que na 5ª 
jogada ocorra o 3º sucesso? Ora, você sabe que na quinta jogada você tem de ter 
tido sucesso? E nas primeiras 4 jogadas? Você não sabe! Pode ser qualquer 
combinação de sucessos e fracassos. Então, faça o seguinte, calcule qual a 
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probabilidade de 2 sucessos e 2 fracassos nas primeiras 4 jogadas e multiplique o 
resultado pela probabilidade de sucesso na última jogada e pronto! 
 
Você já aprendeu a fórmula: 
 鶏岫捲 噺 倦岻 噺 系津┸賃 抜 喧賃 抜 岫な 伐 喧岻津貸賃 
Ou seja, esta fórmula é a da probabilidade de obtermos k sucessos em n jogadas! 
 
Assim, verifique qual a probabilidade de 2 sucessos nas 4 primeiras jogadas: 
 鶏岫捲 噺 に岻 噺 系替┸態 抜 喧態 抜 岫な 伐 喧岻態 
 
E qual a probabilidade de sucesso? Ora, é a de obtermos um valor superior a 4! Ou 
seja, a chance de obtermos 5 ou 6. Portanto, 2/6 do total de faces: 
 喧 噺 には 噺 なぬ 
Substituindo: 
 鶏岫捲 噺 に岻 噺 系替┸態 抜 なぬ態 抜 磐にぬ卑態 噺 ね┿に┿ に┿ 抜 なひ 抜 ねひ 噺 は 抜 ねぱな 噺 にねぱな 
 
Tá bom, você já teve 2 sucesso nas 4 primeiras jogadas! E como obter o sucesso na 
última jogada? Multiplique este valor pela probabilidade de mais um sucesso, ou seja, 
1/3: 鶏岫嫌憲潔結嫌嫌剣 ぬ 懸結権結嫌 結兼 の 倹剣訣欠穴欠嫌岻 噺 にねぱな 抜 なぬ 噺 ぱぱな 
Alternativa B 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 57 
(Analista Judiciário TRE/RR – Estatística – 2015/FCC) 
 
 
Resolução 
 
Primeira coisa é perceber que você terá que usar a distribuição de Poisson, portanto, 
como sempre, primeiro lembre da fórmula: 
 鶏岫捲 噺 倦岻 噺 結貸碇 抜 膏賃倦┿ 
 
Não tem jeito, tem que lembrar desta fórmula. Mas, pense assim, sabendo isso, uma 
questão de Poisson está garantida, pois elas costumam ser fáceis. 
 
Bom, vamos ao enunciado. O exercício pede a probabilidade de, pelo menos, duas 
consultas em um dia. Como fazer isso? 
 などどガ 伐 鶏岫な 剣憲 券結券月憲兼欠 潔剣券嫌憲健建欠 結兼 憲兼 穴件欠岻 
 
Assim, precisamos saber: 
 鶏岫捲 噺 ど岻 結 鶏岫捲 噺 な岻 
 
A média do processo, ou seja, 膏 que é dado no exercício é a média semanal, mas 
precisamos da diária. Portanto, você já sabe que a média de um processo de Poisson 
é dada por: 
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 膏 噺 券 抜 喧 
Então: 
 ぬ┸の 噺 ば 抜 喧 喧 噺 ど┸の 
 
Essa é a probabilidade de sucesso em um dia! 
 
Agora é só substituir na fórmula: 
 鶏岫捲 噺 ど岻 噺 結貸待┸泰 抜 ど┸の待ど┿ 噺 結貸待┸泰 鶏岫捲 噺 な岻 噺 結貸待┸泰 抜 ど┸の怠な┿ 噺 ど┸の結貸待┸泰 
 
Portanto, a probabilidade de que haja, pelo menos, 2 consultas em um dia é de: 
 鶏岫喧結健剣 兼結券剣嫌 穴憲欠嫌 潔剣券嫌憲健建欠嫌岻 噺 な 伐 結貸待┸泰 伐 ど┸の結貸待┸泰 噺 な 伐 な┸の結貸待┸泰 
 
Com base nos dados do enunciado: 
 鶏岫喧結健剣 兼結券剣嫌 穴憲欠嫌 潔剣券嫌憲健建欠嫌岻 噺 ど┸どぱの 噺 ぱ┸のガ 
 
Alternativa A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
(FINEP – CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
Considere a distribuição de probabilidade sobre os números 1, 2, 3 e 4 acima. 
Essa distribuição é: 
 
a) Continua 
b) Assimétrica 
c) Normal 
d) Uniforme 
e) Multivariada 
 
Exercício 2 
 
(TJ\RO – CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada 
com um número diferente de 1 a 10. Uma bola é retirada aleatoriamente e um 
“X” é marcado na mesma. X é uma variável aleatória: 
a) Com desvio padrão de 10 
b) Com 1º quartil de 0,25 
c) Com média de 5 
d) Com distribuição de probabilidade uniforme 
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e) Com distribuição de probabilidade assimétrica 
 
 
(FINEP – CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A 
probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada peça 
ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores aproximados 
de 宋┸ 挿掻, 宋┸ 挿捜 e 宋┸ 挿想, respectivamente, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 3 
 
Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. 
 
 
Exercício 4 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha 
exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. 
 
Exercício 5 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no 
máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. 
 
 
 
Exercício 6 
 
(CGU – ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de 
Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e 
1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: 
a) Binomial com parâmetros n e p. 
b) Gama com parâmetros n e p. 
c) Qui quadrado com n graus de liberdade. 
d) Laplace. 
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e) “t” de Student com n-1 graus de liberdade. 
 
 
Exercício 7 
 
(AFRFB – ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a 
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de 
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e 
fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 20 % e 80 % 
b) 80 % e 20 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 30 % e 70 % 
e) 25 % e 75 % 
 
 
Exercício 8 
(SEJUS – UNIVERSA/2010) Em certo plano amostral, em uma população de 100 
elementos, optou-se pelo seguinte critério: joga-se uma moeda (honesta) e, se 
der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele não entra na amostra. 
Qual o tamanho esperado dessa amostra? 
a)10 
b)20 
c)30 
d)40 
e)50 
 
 
 
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Exercício 9 
(TRF – FCC/2001) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina 
seja defeituoso é 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta máquina é 
selecionada ao acaso. Usando-se a aproximação pela distribuição de Poisson 
para determinar a probabilidade de que não mais que um item defeituoso seja 
encontrado na amostra, obtemos 
a) 想蚕貸惣 
b) 想蚕貸匝 
c) 惣蚕貸惣 
d) 層 伐 想蚕貸惣 
e) 層 伐 惣蚕貸惣 
 
 
Exercício 10 
 
(BACEN – FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar 
sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem 
atraso é: 
 
a) 捜 ゲ 岫宋┸ 操捜岻捜 
b) 層 伐 岫宋┸ 宋捜岻捜 
c) 層 伐 岫宋┸ 操捜岻捜 
d) 岫宋┸ 操捜岻捜 
e) 想┸ 挿捜 糾 岫宋┸ 操捜岻捜 
 
 
 
 
 
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Exercício 11 
 
(SEFAZ-ES – CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por 
uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a 
distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) 
será igual a 
 
a) 0,09 
b) 0,14 
c) 0,18 
d) 0,1 
e) 0,05 
 
 
Exercício 12 
 
(MDIC – ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região,