transformadaZ

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Introdução	
Transformada Z
Região de Convergência
A Transformada Z inversa
Propriedades da Transformada-Z
Transformada-Z
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Função: É um operador linear útil para análise de sistemas lineares e invariantes no tempo e para resolver equações diferenças.
Definição: A transformada Z de uma sequência discreta x(n) é dado por
Notação: 
A variável z é geralmente complexa e, 
A Transformada Z é uma série de potência, que pode ou não convergir .
O espaço do plano complexo para o qual ela converge define a região de convergência.
 Transformada Z
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Transformada Z
 Região de Convergência da Transformada Z (ROC)
A região de convergência da transformada Z especifica onde X(z) é definida. Geralmente, uma ROC é especificada como parte da transformada Z. 
A ROC de X(z) é definida sobre uma região de um anel, centrado na origem de um plano complexo: X(z) converge para 
A ROC é delimitada por pólos
Pólos: valores que anulam o
denominador de X(z).
R+
R-
Im
Re
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Transformada Z
Relação com a transformada de Fourier
Expressando a variável z na forma polar, tem-se:
 
Portanto, a transformada de Fourier
 é um caso particular da transformada
 Z, quando 
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Uma ferramenta básica de análise usada na transformada Z é a série geométrica. 
 
 Exemplo: Determinar a transformada Z de x[n]=anu[n]
Seqüência Exponencial à Direita
Pólos: valores que
anulam o denominador
de X(z)
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 Seqüência Exponencial à Esquerda
 
 
 Se ou, equivalente, o somatório acima converge, e
Zeros: valores que
anulam o denominador
o x
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Propriedades da Transformada Z
Pólos: valores que anulam o denominador de X(z) (raízes)
Zeros: valores que anulam o numerador de X(z) (raízes)
Supondo
 
 
e seja 
Propriedades:
Linearidade:
 
A ROC pode ser expandida devido ao cancelamento de pólos e zeros. 
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Propriedades da Transformada Z
Supondo
 
Deslocamento:
Convolução: Se
Então
A ROC contém a interseção de Rx com Ry. 
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Sequência exponencial bi-lateral
Assim pela propriedade da linearidade da transformada Z, tem-se
Obs. Nenhum pólo pode estar dentro da ROC.
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 Região de Convergência
A série de potência da transformada Z, X(z) não converge para todas
as seqüências ou valores de z. Para determinada sequência os
 valores de z da transformada convergem para uma região chamada 
de Região de Convergência (ROC).
Regiões de Convergência
1
a
Im
Re
1
a
Im
Re
b
a
Im
Re
Sequência à direita
(causal)
Sequência à esquerda
(não-causal)
Sequência Bilateral
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Exemplo
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Importância da Especificação do ROC
É importância especificar a ROC, pois ela é parte da transformada-Z. 
Na especificação da transformada Z, X(z), de uma sequência discreta x(n), a ROC deve ser dada, uma vez que x(n) não poderá ser encontrada se X(z) não tem a sua ROC especificada.
Exemplo - Considere duas sequências
 então
 
É importante entender que X(z)  Y(z). 
X(z) + ROC  x(n) única.
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Diferentes tipos de sequência - ROC
Duração Finita:
 , para
À direita: 
 
À esquerda:
 
Bilateral: 
 
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Outras Propriedades da ROC
ROC é um anel ou um disco centrado na origem do plano z complexo.
Uma seqüência discreta x[n] tem transformada de Fourier se somente se a ROC da transformada-Z de x(n) inclui o círculo unitário.
ROC não pode conter pólos.
ROC deve ser uma região conectada, isto é, não pode ter espaço vazios.
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Estabilidade e Causalidade
Função de Transferência : Se H(z) é a transforma Z de um sistema linear com resposta ao impulso unitário h(n), i.e.,
Teorema: Um sistema linear com função de transferência racional é causal e estável se e somente se todos os pólos de H(z) estão localizados dentro do círculo unitário.
Im
Re
1




Círculo unitário
ROC

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Observação
Supondo que
então h[n] pode ser escrito como
Claramente, a transformada-Z de converge se
então, H(z) converge para todo z tal que
Obs. A ROC de um sistema H(z ) causal inclui o círculo unitário. 
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Prova : Suficiência
Suficiência: supondo que Então
 então
 e também
 
 então . Consequentemente H(z) é a função de transferência do sistema estável.
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Prova : Necessidade
Necessidade: (pela contradição) Supondo que existe um polo pi tal que | pi |>1. Claramente, o círculo unitário não está incluído na ROC de H(z).
Então, existe z0 com |z0|=1 tal que H(z0) não converge absolutamente.
 
 
 Uma vez que não existe tal z0 então a ROC não inclui o círculo unitário.
 Então
 H(z) não é estável.			
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Properties of Z-Transform
1. Linearidade:
2. Deslocamento no Tempo:
3. Multiplicação:
4. Diferenciação:
5. Conjugado:
6. Tempo Reverso:
7. Convolução:
8. Teorema do Valor Inicial:
Propriedades Sequência Transformada Z ROC
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Transformada Z Inversa
Transformada-Z Inversa
X(z) + ROC  x(n) única.
Métodos
Usando o Teorema do resíduo
Inspeção
Expansões por frações parciais
Pólos de primeira ordem
Pólos de m-ésima ordem
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Suponha que X(z) é expressa como uma relação polinomial de z-1.
 ou equivalentemente
o que indica que tais funções têm M zeros e N pólos. Além disso tem-se M - N pólos para z=0, se M >N e N - M zeros para z=0, se N > M. Isso significa que o número de pólos e zeros são sempre iguais, e não há pólos para X(z) pode ser escrito na forma.
 onde ck são zeros e dk pólos (não nulos) 
 
Se todos os M <N pólos são de primeira ordem, então:
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Multiplicando ambos os lados por (1 - dk z -1) e avaliando em z = dk 
Se então deve-se escrever:
Se X(z) tem pólos de ordem múltiplos, e então a equação deve ser modificada. Em particular, se X(z) tem um pólo de ordem s em z=di. :
Os coeficientes Cm podem ser obtidos da equação
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Exemplo: Suponha que x[n] tem transformada Z dada por:
A ROC de X(z) é mostrado na figura
Como M = N =2, então X(z) pode ser escrito:
A constante B0 pode ser encontrada dividindo-se o numerador de X(z)
 pelo denominador
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Dessa forma X(z) é escrito como:
Usando a tabela de transformada Z
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Aplicação das propriedades da transformada Z
1.Determine a transformada inversa de 
 Rescrevendo X(z), tem-se 
Calculando a transformada inversa:
Usando a propriedade: 
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2. Multiplicação por uma seqüência exponencial
Dado que determinar a transformada Z de 
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Exemplo de Solução via Transformada Z
Problema: Dado que y(0)=1. Considere a equação diferença
Solução: Aplicando a transformada Z dos dois lados:
Direito =
Esquerdo =
Resolvendo:
 (pela expansão em frações parciais)
Transformada Z inversa 
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Considere um sistema LTI com entrada x[n] e saída y[n] que satisfaz a equação diferença:
Determine todas as possíveis respostas do sistema ao impulso unitário h[n] .
Exemplo