Variáveis Complexas Marcos Paulo

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Curso de Variáveis Complexas.
Marcos Paulo Cintra da Silva
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Sumário
1 Conjunto dos números complexos. 5
1.1 Definições e terminologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriedades algébricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Forma polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Fórmulas de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Forma exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Funções Complexas. 11
2.1 Função de uma variável complexa. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Homotetias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Função recíproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Funções Analíticas 19
3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Derivação complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Equações de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Funções Elementares 27
4.1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Potenciação complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Funções trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Funções hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4 SUMÁRIO
Capítulo 1
Conjunto dos números complexos.
(...)
1.1 Definições e terminologias.
Um número complexo pode ser definido como um par ordenado (x, y)
de números reais e interpretado como um ponto do plano complexo, com
coordenadas retangulares x e y, da mesma forma que pensamos em números
reais x como pontos da reta real. Quando exibimos números reais x como
pontos (x, 0) do eixo real, escrevemos x = (x, 0), e fica claro que o conjunto
dos números complexos inclui o dos reais como subconjunto, isto é R ⊂ C.
Os números complexos da forma (0, y) correspondem a pontos do eixo y e
são denominados números imaginários puros se y = 0. Por isso, dizemos
que o eixo y é o eixo imaginário. É costume denotar um número complexo
(x, y) por z, de modo que quando se escreve z = (x, y), definimos x e y
como partes real e imaginária de z e denotadas pelos símbolos Re(z) e Im(z),
respectivamente.
Exemplo 1.1. Faça, na mesma figura, a representação dos seguintes números
complexos z1 = (3,−5), z2 = (1, 3), z3 = (2,
√
3), z4 = (0, 3) e z5 = (0, 3).
Aponte aqueles que são os números imaginários puros.
5
6 CAPÍTULO 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS.
Dois números complexos z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) são iguais se tiverem
as mesma partes real e imaginária. Assim, a afirmação z1 = z2 significa que
z1 e z2 correspondem ao mesmo ponto do plano complexo. A soma z1 + z2
e o produto z1z2 são respectivamente definidos por
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2)
z1z2 = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
Observe que as operações definidas por meio das equações acima resul-
tam nas operações usuais da adição e da multiplicação quando restritas aos
números reais.
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0)
Exemplo 1.2. Mostre que o número complexo z = (x, y) pode ser escrito
na forma z = (x, 0) + (0, y)(0, 1).
Fazendo i = (0, 1), segue do Exemplo 1.2 que o número complexo pode
ser escrito como
z = x+ yi. (1.1)
Esta é a forma algébrica de um número complexo. O conjunto de
todos os números complexos será denotado por C. Podemos, então,
escrever
C = {z = (x+ yi) |a, b ∈ R}.
Definindo as potências do número complexo z como z2 = zz, z3 = z2z,
etc., temos que
i2 = −1⇒ i =
√
−1.
Usando a notação dada em (1.1), podemos reformular o que dissemos
sobre as operações com números complexos nos seguintes termos: dados os
complexos z1 = x1 + y1i e z2 = x2 + y2i, a soma z1 + z2 e o produto z1z2 são
respectivamente definidos por
z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i
z1z2 = (x1x2 − y1y2) + (y1x2 − x1y2)i
O conjugado de um número z = x + yi é o número complexo obtido
trocando o sinal parte imaginária de z e denotado por z̄, isto é, z̄ = x− yi.
O conjugado de z é usado na divisão dos números complexos z1 = x1 + y1i
e z2 = x2 + y2i da seguinte forma:
z1
z2
=
z1
z2
· z̄2
z̄2
=
x1 + y1i
x2 + y2i
· x2 − y2i
x2 − y2i
=
x1x2 + y1x2
x22 + y
2
2
+
y1x2 + x1y2
x22 + y
2
2
· i
1.2. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS. 7
Mais importante do que memorizar a expressão acima é entender o seu pro-
cedimento: para dividir dois números complexos, devemos multiplicar o nu-
merador e o denominador pelo conjugado do denominador. Usando o mesmo
raciocínio, podemos obter o inverso de z = x + yi não-nulo por meio da
expressão
z−1 =
1
z
=
1
x+ yi
=
x
x2 + y2
+
−y
x2 + y2
i.
Exemplo 1.3. Considerando os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3− i,
z3 = −2− 2i e z4 = 2i, calcular:
a) z1 + z2 − z3. b) z2z3 + 5z1. c) z1/z2. d) z3/z4.
Exemplo 1.4. Determine os números complexos z tal que iz = z − 1 + 5i.
Omódulo ou valor absoluto de um número complexo z = x+yi é definido
por
|z| =
√
x2 + y2.
Geometricamente, o módulo de z corresponde à distância do ponto (x, y) à
origem do plano complexo.
Exemplo 1.5. Obtenha o módulo dos números complexos do Exemplo 1.3.
Exemplo 1.6. Descrever geometricamente o conjunto dos números comple-
xos que cumprem com a condição |z − 1| = 2|z + 1|.
1.2 Propriedades algébricas.
Relacionaremos aqui as propriedades do conjunto dos números complexos e
das operações definidas na Seção 1.1.
Teorema 1.7. Sejam z, z1, z2, z3 ∈ C. A soma e o produto de números
complexos cumprem com as seguintes condições:
• Associatividade da adição: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.
• Comutatividade da adição: z1 + z2 = z2 + z1.
• O zero é o elemento neutro da adição: z + 0 = z.
• −z é o elemento simétrico da adição: z + (−z) = 0.
• Associatividade da multiplicação: z1(z2z3) = (z1z2)z3.
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS.
• Comutatividade da multiplicação: z1z2 = z2z1.
• 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1z = z.
• z−1 é o elemento inverso da multiplicação: zz−1 = 1.
• Distributividade da multiplicação em relação à adição: z1(z2 + z3) =
z1z2 + z1z3.
Quando um conjunto em que se define duas operações às quais verificam
todos os itens do Teorema 1.7, como acabamos de ver que acontece com C,
dizemos que esse conjunto é um corpo.
Teorema 1.8. As seguintes propriedades são válidas para qualquer z ∈ C
a) ¯̄z = z.
b) z ∈ R e, se somente, se z̄ = z.
c) z é imaginário puro se, e somente, se z̄ = −z.
Além das propriedades relativas ao conjugado de um número complexo,
apresentamos outras sobre o módulo.
Teorema 1.9. Dados z, z1, z2 ∈ C, tem-se que
a) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| e Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|.
b) |z|2 = zz̄, |z̄| = |z| e |z1z2| = |z1||z2|.
c) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.
O último item do Teorema 1.9 é conhecido como desigualdade trian-
gular.
1.3 Forma polar.
Sejam z = x+yi um número complexo. Podemos pensar neste número como
se fosse um vetor partindo da origem até o ponto de coordenadas (x, y). Se
θ é ângulo entre o vetor que representa z e o eixo real, segue que
x = |z| cos θ, y = |z| sen θ.
Assim podemos reescrever z como
z = |z|(cos θ + i sen θ), (1.2)
1.4. FÓRMULAS DE MOIVRE 9
que é denominada forma polar ou trigonométrica de z. Neste caso θ é
denominado um argumento de z. O argumento não é único. Por exemplo,
se π/3 é um argumento, então 7π/3, 13π/3, etc, também são argumentos. O
conjunto de todos os argumentos de z é, portanto,
arg z = {θ + 2kπ, k ∈ Z}
e o argumento pertencente ao intervalo ]−θ, θ] é denominado argumento
principal de z, que denotaremos por Arg z.
Exemplo 1.10. Escrever os números abaixo na formapolar e o conjunto de
todos os seus argumentos.
a) z = 1 + i. b) z = 1− i. c) z = −2.
Notemos que
arg(z−1) = − arg(z) e arg(zw) = arg z + argw.
A igualdades acima não necessariamente são válidas se escolhermos os ar-
gumentos principais dos números envolvidos. Basta considerar, por exemplo,
z = w = −i no primeiro caso e z = −1 no segundo.
Teorema 1.11. Sejam os números complexos z = |z|(cos θ1 + i sen θ1) e
w = |w|(cos θ2 + i sen θ2). Então
a) zw = |zw| [cos(θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)].
b) z−1 = |z|−1 [cos(−θ1) + i sen (−θ1)].
1.4 Fórmulas de Moivre
Nesta seção veremos como calcular potências e raízes de números complexos.
Esses resultados são conhecidos como fórmulas de Moivre.
Teorema 1.12. Seja n ∈ Z fixo. Então
zn = |z|n[cos(nθ) + i sen(nθ)] (1.3)
Exemplo 1.13. Calcular as potências (−1 + i)7 e (1 + i
√
3)−10.
Teorema 1.14. Seja n ∈ N∗ fixo. Todo número complexo z possui n raízes
distintas e que são calculadas pela expressão
n
√
z = n
√
|z|
[
cos
(
Arg(z) + 2kπ
n
)
+ i sen
(
Arg(z) + 2kπ
n
)]
(1.4)
onde n
√
|z| ∈ R+ e k ∈ {0, 1, . . . , n− 1}.
Exemplo 1.15. Calcular 3
√
8 e 4
√
−8 + 8i
√
3.
10 CAPÍTULO 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS.
1.5 Forma exponencial.
Passemos agora a uma quarta forma de se representar o número complexo.
Antes, porém, devemos recordar do Cálculo que a expansão em série de
Taylor de três funções reais:
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
4
4!
+ · · ·
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− · · ·+ x
6
6!
+ · · ·
sen x = x− x
3
3!
+
x5
5!
− · · ·+ x
7
7!
+ · · ·
Trocando x por yi na expressão da exponencial acima e combinando com
as das funções seno e cosseno chegamos à fórmula de Euler, ou seja,
eyi = cos y + i sen y
e afim de estender a propriedade em+n = emen, para m,n ∈ R também para
números complexos, definimos a exponencial de z, denotada por exp z,
como sendo
exp z = ex(cos y + i sen y) (1.5)
Exemplo 1.16. Calcular as seguintes exponenciais.
a) eiπ.
b) e−4πi.
c) e1+πi/2.
Agora podemos escrever a forma polar de um número complexo de uma
maneira mais abreviada
z = |z|eiθ. (1.6)
Esta é forma exponencial do número complexo z. Geometricamente,
esta fórmula é a representação paramétrica do círculo de centro na origem e
raio |z|. Com ela, reescrevemos a fórmula 1.14 como
n
√
z = n
√
|z| ei(
θ+2kπ
n ),
onde θ = Arg z.
Exemplo 1.17. Resolver a equação exponencial e2z + ez + 1 = 0.
Exemplo 1.18. Prove que e−|z| ≤ |ez| ≤ e|z|, para qualquer z ∈ C.
Capítulo 2
Funções Complexas.
2.1 Função de uma variável complexa.
A partir de agora estudaremos as funções complexas. Reconheceremos uma
semelhança com as funções R2 em R2. Além disso, muitos conceitos básicos
sobre funções reais como domínio, imagem, zero e bijetividade podem ser
estendidos para as funções complexas. Vários exemplos de funções complexas
como as potências e as trigonométricas serão objetos de estudo das seções
subsequentes.
Definição 2.1. Uma função complexa é uma função do tipo f : A → C,
onde A ∈ C.
Quando uma função for dada apenas pela sua lei, convencionaremos que
o domínio será o maior conjunto para o qual a lei dada tenha sentido.
Exemplo 2.2. Obtenha o domínio das funções definidas pelas leis a seguir.
a) f(z) =
3z − 2
z2 + 4
.
b) f(z) = Log (ez − e−z).
c) f(z) =
z
Re z
.
Exemplo 2.3. Dada a função f : A→ C, diz-se que z0 é um ponto fixo de
f se f(z0) = z0. Determine todos os pontos fixos da função
f(z) =
z2 + 2z
z2 + 1
.
11
12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES COMPLEXAS.
Sejam f, g : A→ C funções complexas e c um número complexo. Temos
as seguintes operações envolvendo funções de uma variável complexa.
a) Adição: f + g : A→ C definida por (f + g)(z) = f(z) + g(z).
b) Produto por constante: cf : A→ C definida por (cf)(z) = cf(z).
c) Produto: fg : A→ C definida por (fg)(z) = f(z)g(z).
d) Quociente: f/g : A→ C definida por (f/g)(z) = f(z)/g(z), g(z) 6= 0.
e) Conjugado: f : A→ C definida por f(z) = f(z).
f) Módulo: |f | : A→ C definida por |f |(z) = |f(z)|.
Podemos, ainda, expressar uma função complexa em termos das suas
partes real e imaginária no formato
f(x+ yi) = u(x, y) + iv(x, y),
onde u(x, y) = Re f(z) e v(x, y) = Im f(z) são funções duas variáveis reais
a valores reais.
Exemplo 2.4. Obtenha as funções conjugada e módulo da função definida
pela lei f(z) = z2.
Exemplo 2.5. Expressar as partes real e imaginária das seguintes funções
como funções das variáveis x e y.
a) f(z) = z2 + iz.
b) f(z) = zez − zez.
Funções complexas não possuem visualização geométrica, pois teríamos
que fazer os gráficos em R4, o que não é possível, mas podemos analisar como
um função transforma figuras geométricas.
2.2 Translações
Definição 2.6. Seja b uma constante complexa. Uma função é denominada
translação quando pode ser reduzida à forma
T (z) = z + b. (2.1)
2.3. ROTAÇÕES 13
Figura 2.1: Função translação.
No caso em que b = 0, a função também recebe o nome de identidade.
Sejam z = x+ yi e b = x0 + y0i, segue de (2.1) que
T (z) = x+ x0 + (y + y0)i,
ou ainda, a imagem do ponto (x, y) por T é o ponto (x+ x0, y + y0).
Exemplo 2.7. Obter a imagem do quadrado de vértices em 1 + i, 2i, 1 + 3i
e 2 + 2i pela função f(z) = z + 2− 4i.
2.3 Rotações
Definição 2.8. Seja a uma constante complexa. Uma função é denominada
rotação quando pode ser reduzida à forma
R(z) = az. (2.2)
Exemplo 2.9. Considere a função R(z) = iz
a) Mostre que R transforma a reta y = x+ 1 na reta v = −u− 1.
b) Represente a imagem do semi-plano Re z ≥ 2 pela função R.
Analisemos o caso em que |a| = 1 usando a forma exponencial. Sejam
z = |z|eiθ e a = eiα. Obtemos de (2.2) a expressão
R(z) = |z|e(α+θ)i.
Resulta que |R(z)| = |z| e, portanto, z e R(z) pertencem à circunferência de
centro na origem e raio |z| (Figura 2.2).
14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES COMPLEXAS.
Figura 2.2: Função rotação.
Exemplo 2.10. Obtenha a imagem da reta y = 0 pela rotação
R(z) =
√
2(1 + i)
z
2
.
2.4 Homotetias
Definição 2.11. Seja k uma constante real não nula. Uma função é deno-
minada homotetia quando pode ser reduzida à forma
H(z) = kz. (2.3)
Em particular, a homotetia é denominada dilatação se k > 1 ou de contra-
ção se 0 < k < 1.
A imagem de z = x+ yi na expressão (2.3) é
H(z) = kx+ kyi,
ou seja, o módulo de H(z) é multiplicado pelo fator k. Considerando a forma
exponencial z = |z|eiθ, a imagem é
H(z) = k|z|eiθ,
o que significa que a imagem de z é um ponto da circunferência de raio
k|z|. Além disso, observe que uma homotetia altera o tamanho, mas não a
forma de uma figura. Assim, por exemplo, uma homotetia transforma uma
circunferência em outra, porém maior (dilatação) ou menor (contração) que
a primeira.
Exemplo 2.12. Esboçar a imagem dos números complexos da forma |z| = 3,
pela função H(z) = 2z.
2.5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 15
Figura 2.3: Função homotetia, tipo dilatação.
2.5 Transformações lineares
Definição 2.13. Seja k uma constante real não nula. Uma função é deno-
minada transformação linear quando pode ser reduzida à forma
f(z) = az + b. (2.4)
Observe que (2.4) é uma composição envolvendo rotação, homotetia e
translação. De fato, se a = |a|eiθ e b = x0 + y0i, a expressão (2.4) se torna
f(z) = |a|eiθz + (x0 + y0i).
Geometricamente, isso corresponde a um rotação de um ângulo θ = Arg a,
seguido de uma homotetia de fator |a| e, finalmente, de uma translação pelo
vetor b.
Exemplo 2.14. Encontrar a imagem do retângulo de vértices −1 + i, 1 + i,
1 + 2i e −1 + 2i pela função f(z) = 4iz + 2 + 3i. Interprete graficamente o
efeito da função sobre o retângulo.
Exemplo 2.15. Encontrar a transformação linear f(z) = az+ b que faz um
rotação de π/4, uma homotetia de 2 e uma translação de 1 + i em z.
Exemplo 2.16. Mostre que w = iz + i transforma o semi-plano Re(z) > 1
no semi-plano Im(w) > 2.
2.6 Função potência
Definição 2.17. Seja n ∈ N∗. Uma função é denominada potência quando
pode ser reduzida à forma
f(z) = zn. (2.5)
16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES COMPLEXAS.
Recordando a fórmula (1.6), a imagem de z em (2.5) é
f(z) = |z|neinθ.
Veremos nos exemplos a seguir que essa função pode transformaruma
figura em outra completamente diferente.
Exemplo 2.18. Seja função w = z2.
a) Mostre que f transforma a reta x = 1 em uma parábola.
b) Determine a imagem do triângulo de vértices 0 e 1± i.
Exemplo 2.19. Determinar a imagem de S = {z ∈ C; |z| ≤ 2 e 0 ≤ arg z ≤
π/2} pela função w = z3.
Exemplo 2.20. Determinar a imagem de S = {z ∈ C; |z| ≤ 3 e π/2 ≤
arg z ≤ 3π/4} pela função w = z1/2.
2.7 Função inversa
Definição 2.21. Seja f : A → B uma função bijetora, onde A e B são
conjuntos de números complexos. A função inversa de f , denotada por
f−1 é a função f−1 : B → A, definida por f−1(w) = z, se f(z) = w.
Segue desta definição, que se a função f transforma z em w, então f−1
desfaz essa transformação. Além disso, como ocorre para funções reais tem-
se que (f−1)−1 = f e f ◦ f−1(z) = f−1 ◦ f(z) = z. Para se obter a inversa de
f resolvemos a equação z = f(w) na incógnita w.
Exemplo 2.22. Obter a inversa da função f(z) = z − 4i. Generalizar esse
resultado para a transformação linear (2.4).
Exemplo 2.23. Obter a inversa g da função f : C → C, definida pela lei
f(z) = z4 de modo que g(−1) =
√
2
2
(1 + i).
Exemplo 2.24. Mostre que a imagem do disco aberto |z + 1 + i| < 1 pela
função w = (3− 4i)z + 6 + 2i é o disco aberto |w + 1− 3i| < 5.
Exemplo 2.25. Representar a imagem do semiplano Re(z) > 1 pela função
transformação linear w = (−1 + i)z − 2 + 3i.
2.8. FUNÇÃO RECÍPROCA. 17
2.8 Função recíproca.
Definição 2.26. A transformação definida pela lei w = 1/z, com z 6= 0 é
denominada função recíproca ou inversão.
Lembrando que zz = |z|2, podemos observar que a função recíproca é
uma composição das aplicações
w = Z, Z =
z
|z|2
, (2.6)
onde Z é denominada inversão em relação ao círculo de raio 1. Por ela,
um número complexo z 6= 0 tem como imagem o ponto tal que
|Z||z| = 1, argZ = arg z
Portanto, ela transforma pontos do círculo |z| = 1 em pontos fora do círculo
|Z| = 1 e reciprocamente. Qualquer ponto de módulo 1 é transformado nele
próprio, conforme ilustrado na Figura 2.4(a).
(a) A inversão Z(z1) = z2. (b) A recíproca w(z1) = z2.
Figura 2.4: A inversão Z =
z
|z|2
e a recíproca w =
1
z
.
A descrição geométrica da transformação recíproca é uma inversão se-
guida de uma reflexão pelo eixo x. Analisemos essa inversão em colocando
em coordenadas polares,
z = |z|eiθ, w = ρeiϕ ⇒ w = 1
|z|
e−iθ,
o que significa que a imagem de z tem módulo inverso ao de z, ρ = 1/|z|,
argumento oposto ao de z, ϕ = −θ, e transforma o ponto (|z|, θ) no ponto
(1/|z|,−θ), como você pode ver na Figura 2.4(b).
18 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES COMPLEXAS.
Exemplo 2.27. Mostre que a imagem do semi-plano Re(z) > 1/2 pela fun-
ção recíproca é o disco |w − 1| < 1.
Exemplo 2.28. Achar a imagem do semi-plano Re(z) > 1/2 contido no
disco |z − 1/2| < 1 pela função recíproca.
Exemplo 2.29. Achar a imagem do semicírculo |z| = 2, com 0 ≤ arg z ≤ π,
pela função recíproca.
Capítulo 3
Funções Analíticas
3.1 Limite
Seja � > 0 um número real. Denominamos disco aberto de centro no ponto
z0 ∈ C e raio � ao conjunto Dr(z0) de todos números complexos z que estão
a uma distância menor que � de z0, isto é
D�(z0) = {z ∈ C; |z − z0| < �}.
A palavra vizinhança também é usada como sinônimo de disco aberto.
Um disco fechado inclui os pontos que estão a distância � de z0 e um disco
perfurado (ou vizinhança perfurada) é um disco aberto sem o ponto z0.
Esses conjuntos são, respectivamente,
D�(z0) = {z ∈ C; |z − z0| ≤ �} e D∗� (z0) = {z ∈ C; 0 < |z − z0| < �}.
O limite de uma função de uma variável complexa tem a mesma ideia do
de função de uma variável real.
Definição 3.1. Seja f uma função complexa definida em uma vizinhança
perfurada de z0 e L ∈ C. Diz-se que o limite de f , quando z tende a z0, da
seguinte forma
lim
z→z0
f(z) = L⇐⇒ ∀� > 0,∃ δ > 0; 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < �.
Assim, dizer que o limite de f é L, quando z tende a z0, significa que a
distância entre f(x) e L pode ser tão pequena quanto queiramos, desde que
escolhamos z suficientemente próximo de z0, mas não igual a z0. Podemos
reformular a definição de limite em termos de discos abertos como segue
lim
z→z0
f(z) = L⇐⇒ ∀� > 0,∃ δ > 0; z ∈ D∗δ(z0)⇒ f(z) ∈ D�(L).
19
20 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Exemplo 3.2. Prove pela definição que:
a) lim
z→1+i
(2 + i)z = 1 + 3i.
b) lim
z→z0
Re z = Re z0.
Muitos teoremas dos limites de funções de uma variável complexa são
similares aos de funções de uma variável real.
Teorema 3.3. O limite de uma função complexa, quando existe, é único
Este teorema pode ser usado para provar quando o limite de uma função
não existe. No caso das funções de uma variável x só existem duas formas de
x se aproximar de um certo x0: pela direita ou pela direita (limites laterais).
Já para funções de uma variável complexa temos uma infinidade de formas
de z se aproximar de um certo z0.
Exemplo 3.4. Mostre que os limites abaixo não existem.
a) lim
z→0
Re z
Im z
.
b) lim
z→0
(z
z
)2
.
O próximo teorema mostra uma importante relação entre os limites de
uma função complexa e de suas partes real e imaginária.
Teorema 3.5. Sejam f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x0 + y0i e w0 = u0 + v0i.
Então
lim
z→z0
f(z) = w
se, e somente se,
lim
(x,y)→(x0,y0)
u(x, y) = u0 e lim
(x,y)→(x0,y0)
v(x, y) = v0.
Exemplo 3.6. Calcular lim
z→1+i
(z2 + 4z + 2).
As propriedades operatórias de limites também podem ser adaptadas para
funções complexas.
Teorema 3.7. Sejam f e g duas funções complexas tais que lim
z→z0
f(z) = w1
e lim
z→z0
g(z) = w2. Então:
i) lim
z→z0
cf(z) = cw1, para qualquer constante c ∈ C.
3.2. CONTINUIDADE 21
ii) lim
z→z0
[f(z) + g(z)] = w1 + w2.
iii) lim
z→z0
[f(z)g(z)] = w1w2.
iv) lim
z→z0
f(z)
g(z)
=
w1
w2
, onde w2 6= 0.
A demonstração deste teorema pode ser feita diretamente da Definição
3.1, mas fica bem mais fácil se usarmos o Teorema 3.5. No próximo exemplo,
além das propriedades operatórias, usaremos uma fatoração para o cálculo
de um limite
Exemplo 3.8. Calcular lim
z→1+i
z2 − 2i
z2 − 2z + 2
.
3.2 Continuidade
Definição 3.9. Sejam f : A → C uma função e z0 um ponto de ∈ A ⊂ C.
Diz-se que a função f é contínua em z0 se:
a) Existe f(z0).
b) Existe lim
z→z0
f(z).
c) lim
z→z0
f(z) = f(z0).
No caso de pelo uma das condições da Definição 3.9, diremos que z0 é um
ponto de descontinuidade de f Se f for contínua em todos os pontos do
seu domínio, f é denominada função contínua.
No teorema seguinte, listamos as propriedades das funções contínuas
Teorema 3.10. Sejam f e g funções complexas e c ∈ C. Tem-se que:
i) A função f : A → C é contínua em z0 ∈ C se, e somente se, as funções
reais Re f e Im f em z0.
ii) Se as funções f, g : A→ C são contínua em z0 ∈ C se, e somente se, as
funções reais Re f e Im f em z0.
22 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES ANALÍTICAS
3.3 Derivação complexa
Nesta seção vamos definir a derivada de uma função complexa que é similar
a de uma função real. Aliás, praticamente tudo que veremos aqui é herdado
das funções reais.
Definição 3.11. Seja f : A → C uma função de variável complexa. Diz-se
que f é diferenciável no ponto z0 ∈ A quando o limite
lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0
,
existir e for finito. Neste caso, o limite acima é denominado derivada de f
em z0
A derivada de f no ponto z0 é denotada por f ′(z). Se f é diferenciável
em todos os pontos de A, diremos simplesmente que f é diferenciável.
Exemplo 3.12. Calcule, pela definição, a derivada da função f(z) = z3.
Exemplo 3.13. Mostre que a função f(z) = 2xi− 3z, onde z = x+ yi não
é diferenciável em ponto algum.
Exemplo 3.14. Em que pontos a função f(z) = z é diferenciável?
Como sabemos, a função bastante simples do exemplo precedente é con-
tínua em todo C. Funções reais com essa propriedade são muito difíceis de
se construir, por exemplo, a função de Van Der Waerden, definida pela
lei
f(x) =
∞∑
n=1
1
10n
{10nx},
onde {x} é a distância de x para o inteiro mais próximo. Voltando para o
caso complexo, vamos dar uma nomenclatura para funções complexas que
diferenciáveis.
Definição 3.15. Uma função complexa é denominada analíticano ponto
z0 se for diferenciável em z0 e todos os pontos de alguma vizinhança de z0.
Se f é analítica em todos os pontos de uma região R, diremos simplesmente
que f é analítica em R e se f é analítica em todo C, a denominaremos
inteira.
Todas as regras de derivação das funções de variável real são válidas para
funções de varável complexa.
3.3. DERIVAÇÃO COMPLEXA 23
Teorema 3.16. Sejam f, g : A → C duas funções deriváveis em z0 ∈ A,
A ⊂ C e c ∈ C uma constante. Temos as seguintes regras de derivação.
a) (cf)′(z0) = cf ′(z0).
b) (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).
c) (fg)′(z0) = f ′(z)g(z0) + f(z0)g′(z0).
d)
(
f
g
)′
(z0) =
f ′(z0)g(z0)− f(z0)g′(z0)
[g(z0)]
2 , onde g(z0) 6= 0.
Usando o teorema precedente, podemos concluir que as funções polino-
miais e racionais (onde o denominador não se anula) são funções inteiras.
Exemplo 3.17. Calcular a derivadas seguintes funções.
a) f(z) = 4z3 − 5z2 + 6z + 2.
b) f(z) =
1
z
.
A Regra da Cadeia é outra propriedade que pode ser estendida para
as funções de variável complexa.
Teorema 3.18. Sejam f : A → C e g : B → C, duas funções deriváveis
onde a imagem de A está contida no domínio de g. Se f é diferenciável em
z0 e g é diferenciável em f(z0). Então a função composta g◦f é diferenciável
em z0 e
(g ◦ f)′(z0) = g′(f(z0))f ′(z0).
Exemplo 3.19. Calcular a derivada da função f(z) =
(
z − 6
z2 + iz
)3
.
Fechamos essa seção, com uma poderosa ferramenta para cálculo de limi-
tes que também é valida para funções complexas, a Regra de L’Hospital.
Teorema 3.20. Sejam f e g analíticas em z0, tais que f(z0) = g(z0) = 0 e
g′(z0) 6= 0. Então
lim
z→z0
f(z)
g(z)
= lim
z→z0
f ′(z0)
g′(z0)
.
Exemplo 3.21. Calcular lim
z→1+i
z2 − iz − 1− i
z2 − 2z + 2
.
24 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES ANALÍTICAS
3.4 Equações de Cauchy-Riemann
A partir de agora veremos que, ao contrário do que pode parecer, o “cálculo
diferencial complexo” não é análogo ao “cálculo diferencial real”.
Teorema 3.22. Seja f : A→ C uma função complexa escrita na forma
f(x+ yi) = u(x, y) + iv(x, y)
Se f é diferenciável no ponto z0, então as derivadas parciais
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂v
∂x
e
∂v
∂y
existem em (x0, y0) e satisfazem as relações
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) e
∂u
∂y
(x0, y0) = −
∂v
∂x
(x0, y0),
denominadas equações de Cauchy-Riemann. Além disso, tem-se que
f ′(z0) =
∂u
∂x
(z0) + i
∂v
∂x
(z0) e f ′(z0) =
∂v
∂y
(z0) + i
∂v
∂x
(z0).
Observe que o teorema que acabamos de ver diz que se f é diferenciável
em z0, as equações de Cauchy-Riemann se verificam para f .
Exemplo 3.23. Já sabemos que f(z) = z3 é diferenciável. Verifique, para
esta função, a validade das equações de Cauchy-Riemann.
A recíproca do Teorema 3.22 não é válida, ou seja, se as equações de
Cauchy-Riemann não são satisfeitas, a função não é diferenciável.
Exemplo 3.24. Use o Teorema 3.22 para refazer o Exemplo 3.14.
Mesmo que as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas em z0, não
podemos garantir que f é diferenciável em z0.
Exemplo 3.25. Mostre que a função
f(z) =
 z
2
z
, se z 6= 0
0, se z = 0
não é diferenciável em z = 0, apesar de satisfazer as equações de Cauchy-
Riemann.
3.4. EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN 25
Reiteramos que o Teorema 3.22 nos dá uma condição necessária para que
f seja diferenciável no ponto z0, vejamos agora que uma condição necessária
para garantir a diferenciabilidade de f .
Teorema 3.26. Seja f : A→ C uma função complexa escrita na forma
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
em que as derivadas parciais
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂v
∂x
e
∂v
∂y
existem em todo ponto de A.
Se cada uma dessas derivadas parciais é contínua em um ponto z0 ∈ A e se u
e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em z0, então é diferenciável
em z0.
Exemplo 3.27. Mostre que a função f(z) = x3 + 3xy2 + (y3 + 3x2y)i é
diferenciável nos eixos x e y e não analítica em ponto algum.
Se necessário, podemos reescrever as Equações de Cauchy-Riemann na
forma polar, conforme o próximo teorema.
Teorema 3.28. Seja f(reiθ) = U(r, θ) + iV (r, θ) uma função contínua e
definida em alguma vizinhança do ponto z0 = r0eiθ0. Se todas as derivadas
parciais ∂U/∂r, ∂U/∂θ, ∂V/∂r e ∂V/∂θ existem em todo ponto de (r0, θ0) e
se a forma polar da Equações de Cauchy-Riemann,
∂U
∂r
(r0, θ0) =
1
r0
∂V
∂θ0
(r0, θ0) e
∂V
∂r
(r0, θ0) = −
1
r0
∂U
∂θ0
(r0, θ0),
se verificam, então f é diferenciável em z0 e sua derivada pode ser calculada
por
f ′(z0) = e
−iθ0
[
∂U
∂r
(r0, θ0) + i
∂V
∂r
(r0, θ0)
]
ou
f ′(z0) = −
1
r0
e−iθ0
[
∂V
∂θ
(r0, θ0) + i
∂U
∂θ
(r0, θ0)
]
Exemplo 3.29. Mostre que se f é a raiz quadrada principal, isto é
f(reiθ) =
√
r cos
θ
2
+ i
√
r sen
θ
2
,
com domínio restrito ao conjunto {reiθ; r > 0 e − π < θ < π}, então
f ′(z) =
1
2
√
z
.
26 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES ANALÍTICAS
Encerramos essa seção com duas consequências importantes da Equações
de Cauchy-Riemann.
Teorema 3.30. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função analítica em um
domínio D.
i) Se |f(z)| é constante para qualquer z ∈ D, então f é constante D.
ii) Se f ′(z) = 0 para qualquer z ∈ D, então f é constante D.
Capítulo 4
Funções Elementares
Neste capítulo estenderemos algumas funções elementares do Cálculo de Va-
riável Real para o domínio complexo.
4.1 Função exponencial
A função exponencial é a função f : C→ C definida pela lei
f(z) = ez,
que também se denota por exp(z) e pode ser escrita como na Equação (1.5).
Teorema 4.1. A função exponencial complexa f(z) = ez tem as seguintes
propriedades:
i) Se z = x+ yi, então |ez| = ex e arg(ez) = {y + 2kπ ; k ∈ Z}.
ii) É periódica e seu período é 2πi, ou seja, para z, w ∈ C distintos tem-se
que
ez = ew ⇐⇒ ∃k ∈ Z, z = w + 2kπi.
iii) É uma função inteira e a sua derivada é f ′(z) = ez.
Existem outras propriedades da função exponencial nos Exercícios. Ve-
jamos algumas transformações que a função exponencial é capaz de fazer.
Exemplo 4.2. Mostre que a função exponencial f(z) = ez transforma o
retângulo R = {(x, y);−1 ≤ x ≤ 1 e − π/4 ≤ y ≤ π/3} no conjunto
S = {ρeiφ; e−1 ≤ ρ ≤ e}.
27
28 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ELEMENTARES
4.2 Função logarítmica
A função logarítmica real de base (natural) e associa cada x positivo a um
número y real da seguinte forma
loge x = y ⇐⇒ ey = x
e verifica-se que tal função é bijetora: cada número real tem apenas um, e
somente um, logaritmo na base e. Se tentarmos imitar essa definição para
um número complexo z, devemos ter em conta o Teorema 4.1(ii). Por este,
cada número complexo terá infinitos logaritmos. De fato, seja w = u + vi o
logaritmo de z = |z|eiθ. Temos que
ew = z ⇒ euevi = |z|eiθ
ou seja,
u = ln |z| e v = θ + 2kπ, k ∈ Z.
Observe que cada valor de k dá um valor diferente para o logaritmo de
z, conforme já havíamos dito. Assim, definiremos a função logarítmica
complexa, que é multivariada, pela lei
log z = {ln |z|+ i(Arg z + 2kπ), k ∈ Z},
sendo que o logaritmo obtido com k = 0 é denominado logaritmo principal
de z e denotado por Log z. Assim,
Log z = ln |z|+ iArg z.
Se z = x ∈ R∗+, teremos Log x = lnx, mostrando que tudo que desenvol-
vemos está em conformidade com o caso real e o mais interessante: a partir
de agora podemos calcular logaritmos de números negativos!
Exemplo 4.3. Calcular os seguintes conjuntos, identificando seus logaritmos
principais.
a) log(−5).
b) log(−ei).
c) log(1 + i).
Exemplo 4.4. Resolver a equação ez−1 = −ie3.
Vejamos mais uma propriedade de logaritmo que pode ser estendida para
números complexos.
4.3. POTENCIAÇÃO COMPLEXA 29
Teorema 4.5. Dados três números complexos z, z1 e z2 quaisquer, tem-se
que
a) log(z1z2) = log z1 + log z2.
b) log(z1/z2) = log z1 − log z2.
c) log zm = m log z.
Ressaltamos que o Teorema 4.5 não necessariamente é válido se trocarmos
log por Log. Finalmente, vamos conhecer a derivada da função logarítmica.
Teorema 4.6. A derivada de f(z) = log z é f ′(z) = 1/z.
4.3 Potenciação complexa
Sejam z, c ∈ C, com z 6= 0. Definimos a potência zc por
zc = ec log z. (4.1)
Observe que o lado direito da Equação (4.1) é um conjunto. A definição que
foi dada também faz todo sentidomesmo que z, c ∈ C, com z > 0, como
ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 4.7. Calcular, usando a Equação (4.1), o valor de 41/2.
Como a função logarítmica é multivariada, a potência zc também será.
Se escolhermos trabalhar com o logaritmo principal, teremos a potência prin-
cipal, isto é
zc = ecLog z.
Exemplo 4.8. Calcular os valores principais de
√
1 + i e ii.
Sejam n ∈ Z e z = |z|eiθ 6= 0. Temos
n log z = {n ln |z|+ in(θ + 2kπ); k ∈ Z}
e usando o Teorema 4.1(ii) obtemos
zn = exp [n log z] = exp [n ln |z|+ in(θ + 2kπ)]
= exp (ln |z|n) exp (inθ) exp (2nkπi)
= |z|n(cosnθ + i sennθ)
30 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ELEMENTARES
que é a Equação (1.3). Suponhamos, agora, que c = 1/n, com n ∈ Z∗, então
1
n
log z =
{
1
n
ln |z|+ i(θ + 2kπ)
n
; k ∈ Z
}
e a Equação (4.1) se torna
z1/n = exp
[
1
n
log z
]
= exp
[
1
n
ln |z|+ iθ + 2kπ
n
]
= n
√
|z| exp
(
i
θ + 2kπ
n
)
= n
√
|z|
[
cos
(
θ + 2kπ
n
)
+ i sen
(
θ + 2kπ
n
)]
,
ou seja, a Equação (1.4). Tomando c = m/n, com m e n inteiros primos
entre si, a Equação (4.1) se torna
z1/n = n
√
|z|m
[
cos
(
m(θ + 2kπ)
n
)
+ i sen
(
m(θ + 2kπ)
n
)]
.
Para estes três casos que vimos acima, a potência zc tem valor único. En-
tretanto para c ∈ C, a zc assume infinitos valores, como veremos no próximo
exemplo.
Exemplo 4.9. Calcular 2
1
5
+ i
3 .
Teorema 4.10. Sejam m,n, z ∈ C e k ∈ Z, com z 6= 0. São validas as
seguintes propriedades.
i) z−n =
1
zn
.
ii) zmzn = zm+n.
iii)
zm
zn
= zm−n.
iv) (zn)k = zkn.
O último item do teorema precedente não é necessariamente válido se k
fosse um número complexo. Outras propriedades de potências de números
reais que não valem para números complexos estão nos Exercícios.
Podemos calcular a derivada da função potência usando a regra da cadeia
f(z) = zc = ec log z ⇒ f ′(z) = c
z
ec log z.
4.4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 31
Usando o ramo principal e lembrando que z = exp(log z), obtemos
f ′(z) = c
exp(c log z)
exp(log z)
= c exp [(c− 1) log z]
e, portanto,
f ′(z) = czc−1.
A Equação (4.1) pode ser usada para definir a função exponencial de
base b 6= 0 pela lei
f(z) = bz = ez log b.
Especificando um ramo de logaritmo a potência bz tem valor único e assim
podemos usar as regras de derivação para mostrar que essa função é analítica,
sua derivada é
(bz)′ = bz log b (4.2)
4.4 Funções trigonométricas.
Seja y ∈ R. A partir da fórmula de Euler, podemos obter as expressões
eyi = cos y + i sen y e e−yi = cos y − i sen y.
Somando-as e subtraindo-as obtemos, respectivamente,
cos y =
eyi + e−yi
2
e sen y =
eyi − e−yi
2
.
Por isso, é natural definirmos as funções cosseno e seno pelas leis
cos z =
ezi + e−zi
2
e sen z =
ezi − e−zi
2
.
As funções tangente e secante são definidas da mesma forma que para
números reais, isto é,
tg z =
senz
cos z
e sec z =
1
cos z
,
onde cos z 6= 0. Da mesma forma, as funções cotangente e cossecante,
dadas por
cotg z =
cos z
senz
e cossec z =
1
sen z
,
onde sen z 6= 0. Além disso não é difícil verificar que a relação fundamental
da trigonometria, as fórmulas de adição e de subtração e do arco duplo são
todas válidas para números complexos.
32 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ELEMENTARES
Exemplo 4.11. Calcular cos(1 + i).
Exemplo 4.12. Mostre que as funções complexas cosseno e seno são, res-
pectivamente, par e ímpar, isto é
cos(−z) = cos z e sen (−z) = − senz.
No próximo teorema veremos quais são os zeros das funções seno e cos-
seno.
Teorema 4.13. Os zeros das funções seno e cosseno para números complexos
são os mesmos do caso real. Isto é
sen z = 0⇐⇒ z = kπ
cos z = 0⇐⇒ z = π
2
+ kπ,
com k ∈ Z.
Finalmente, observamos que as derivadas das funções trigonométricas
complexas são as mesmas das funções reais.
(cos z)′ = − sen z, ( sen z)′ = cos z,
( tg z)′ = sec2 z, ( cotg z)′ = − cossec2 z,
(sec z)′ = sec z tg z, ( cossec z)′ = − cossec z cotg z,
4.5 Funções hiperbólicas
A funções seno e cosseno hiperbólicos de variável complexa são definidas
pelas seguintes leis
cosh z =
ez + e−z
2
e senh z =
ez − e−z
2
.
Pelo Teorema 4.1(iii), as exponencias que aparecem nas definições acima são
inteiras. Segue que as funções seno e cosseno hiperbólicos são inteiras e
(cosh z)′ = senh z e ( senh z)′ = cosh z.
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos de z
são definidas como no caso real e também são. Além disso,
( tgh z)′ = sech2 z, ( cotgh z)′ = − cossech2z,
(sech z)′ = − sech z tgh z, ( cossech z)′ = − cossech z cotgh z,
4.5. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 33
Teorema 4.14. As funções trigonométricas se relacionam com as funções
trigonométricas hiperbólicas pelas seguintes equações:
−i senh(iz) = sen z, cosh(iz) = cos z,
−i sen (iz) = senh z, cos(iz) = cosh z,
O Teorema precedente torna mais fácil a dedução das seguintes identida-
des
senh(−z) = − senh z, cosh(−z) = cosh z (4.3)
senh(z + 2πi) = senh z, cosh(z + 2πi) = cosh z (4.4)
senh(z + w) = senh z coshw + cosh z senhw (4.5)
cosh(z + w) = cosh z coshw + senh z senhw (4.6)
As Equações (4.3) nos contam que o seno hiperbólico é ímpar e o cosseno
hiperbólico é par, enquanto que as Equações (4.4) significam que o período
dessas funções é 2πi.
Exemplo 4.15. Mostre que cosh2 z − senh2 z = 1, para todo z ∈ C.
Exemplo 4.16. Mostre que | cosh z|2 = senh2 z + cos2 z, para todo z ∈ C.
O teorema a seguir, que encerra o capítulo, nos conta que os zeros do
seno e do cosseno hiperbólicos são números imaginários puros.
Teorema 4.17. Sejam z ∈ C e k ∈ Z. Tem-se que
i) senh z = 0 se, e somente se, z = kπi.
ii) cosh z = 0 se, e somente se, z =
(π
2
+ kπ
)
i.
Índice Remissivo
contração, 14
corpo, 8
derivada, 22
desigualdade triangular, 8
dilatação, 14
disco
aberto, 19
fechado, 19
perfurado, 19
eixo
imaginário, 5
real, 5
equações de Cauchy-Riemann, 24, 25
exponencial, 10
fórmula de Euler, 10
fórmulas de Moivre, 9
forma
algébrica, 6
exponencial, 10
polar, 9
função
analítica, 22
complexa, 11
contínua, 21
cossecante, 31
cosseno, 31
cosseno hiperbólico, 32
cotangente, 31
de Van Der Waerden, 22
diferenciável, 22
exponencial de base, 31
homotetia, 14
identidade, 13
inteira, 22
inversão, 17
inversa, 16
logarítmica, 28
potência, 15
recíproca, 17
rotação, 13
secante, 31
seno, 31
seno hiperbólico, 32
tangente, 31
translação, 12
limite, 19
logaritmo, 28
principal, 28
números complexos, 5
argumento, 9
conjugado, 6
conjunto dos, 6
divisão, 6
igualdade de, 6
imaginário puro, 5
inverso, 7
módulo, 7
produto, 6
soma, 6
ponto
de descontinuidade, 21
fixo, 11
34
ÍNDICE REMISSIVO 35
potência, 29
raiz
n-ésima, 9
regra da cadeia, 23
Regra de L’Hospital, 23
transformação linear, 15
vizinhança, 19
	Conjunto dos números complexos.
	Definições e terminologias.
	Propriedades algébricas.
	Forma polar.
	Fórmulas de Moivre
	Forma exponencial.
	Funções Complexas.
	Função de uma variável complexa.
	Translações
	Rotações
	Homotetias
	Transformações lineares
	Função potência
	Função inversa
	Função recíproca.
	Funções Analíticas
	Limite
	Continuidade
	Derivação complexa
	Equações de Cauchy-Riemann
	Funções Elementares
	Função exponencial
	Função logarítmica
	Potenciação complexa
	Funções trigonométricas.
	Funções hiperbólicas