Questão resolvida - Uma das aplicações para as integrais duplas são de encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções contínuas f(x) e g(x) (f(x)g(x)), bastando limitar a região cuja área s

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma das aplicações para as integrais duplas é de encontrar áreas de regiões entre 
gráficos de duas funções contínuas f(x) e g(x) (f(x)≥g(x)), bastando limitar a região 
cuja área se quer determinar, descrevendo uma integral dupla com os intervalos de 
integração em x e em y.
Calculando a área da região A indicada no gráfico abaixo, obtemos:
a) 5/2 u.a.
b) 9/2 u.a.
c) 9 u.a.
d) 3 u.a.
e) 6 u.a.
 
Resolução:
 
Para encontrar a área acima com intgerais duplas é preciso considerar que será feita a 
integral em relação aos 2 eixos, ou seja, x e y. Dessa forma, a primeira integral será em 
relação ao eixo y, perceba que nesse eixo o limite de integração varia entre a curva de baixo 
até a curva de cima. A área por integrais duplas é dada por;
 
 
 
A = dA∫
R
∫
Temos que: e os limites de integração vão, em y, da curva de baixo até a curva dA = dxdy
de cima e, em x, de -4 a 2, pois nesses 2 pontos ocorrem a intercessão entre as curvas; 
dessa forma, a integral fica:
 
A = dydx
2
∫
-4
∫
4-
x
4
2
+2
x
2
 
Resolvendo a integral temos que;
 
A = dydx A = y dx A = 4- - + 2 dx
2
∫
-4
∫
4-
x
4
2
+2
x
2
→
2
∫
-4
4-
+2
x
4
2
x
2
→
2
∫
-4
x
4
2 x
2
= 4- - - 2 dx = - - + 2 dx = - - + 2x
2
∫
-4
x
4
2 x
2
2
∫
-4
x
4
2 x
2
x
12
3 x
4
2 2
-4
 
= - - + 2 2 - - - + 2 -4
2
12
( )3 2
4
( )2
( )
-4
12
( )3 -4
4
( )2
( )
 
= - - + 4 - - - - 8 = - - 1 + 4- - 4- 8 = - + 3- + 12
8
12
4
4
-64
12
16
4
2
3
16
3
2
3
16
3
 
A = - + 15 = = = 9 u. a.
18
3
-18 + 45
3
27
3
 
 
 
(Resposta )