Derivadas - cálculo 1

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Derivadas 
COEFICIENTES DA RETA 
COEFICIENTE ANGULAR: 
sejam 𝐴 (𝑥1,𝑦1) e 𝐵 (𝑥2,𝑦2) dois 
pontos dist intos do plano cartesiano; 
então, o coefic iente angular m do 
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é dado por: 
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
Δ𝑦
Δ𝑥
= tg 𝜃 
 
OBS: quando a reta for crescente, m > 0, 
quando ela for decrescente, m < 0 
EXEMPLO: 
Determine o coeficiente angular da reta que 
passa pelos pontos 𝐴 (−2,1) 𝑒 𝐵 (3,4). 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
1 − 4
−2 − 3
= −
3
−5
=
3
5
 
EQUAÇÃO PONTO/ COEFICIENTE 
ANGULAR: 
a equação da reta que passa pelo 
ponto 𝐴 (𝑥0,𝑦0) e possui coef iciente 
angular m é dada por: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(x − 𝑥0 ) 
EXEMPLO: 
escreva uma equação da reta que passa 
pelo ponto (−2,1) com inclinação 
−3
2
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(X − 𝑥0 ) 
𝑦 − 2 = −
3
2
(X − 3) 
2𝑦 − 4 = 3𝑥 + 9 
equação geral da reta: 
2𝑦 + 3𝑥 − 13 = 0 
equação reduzida: 
𝑦 = −
3𝑥
2
+
13
2
 
 coeficiente linear 
RETA TANGENTE 
a reta tangente a uma curva: 
 
𝑃 (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 
não sabemos o coeficiente angular da 
tangente, então vamos admitir uma outra 
reta (a secante) para nos ajudar: 
 
𝑄 (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) 
como temos 2 pontos dela, podemos obter 
seu coeficinete angular: 
𝑚 =
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 =
𝑓(𝑥1+Δ𝑥) − 𝑓(𝑥1)
Δ𝑥
 
para descobrirmos o m da reta tangente, 
temos que usar a fórmula do m da secante 
e fazer o δ𝑥 se aproximar cada vez mais de 
0, ou seja, com δ𝑥 tendendo a 0. 
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA 
TANGENTE: 
dada uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), seja 
𝑃 (𝑥1,𝑦1) um ponto sobre ela; a 
incl inação da reta tangente (m) à 
curva no ponto p é dada por: 
𝑚 = lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥1 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥1)
Δ𝑥
 
desde que o l imite exista 
EXEMPLO: 
encontre a inclinação da reta tangente à 
curva 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 no ponto (𝑥1,𝑦1) 
𝑓(𝑥1) = 𝑥1
2 − 6𝑥 + 8 
𝑓(𝑥1 + Δ𝑥) = (𝑥1 + Δ𝑥)
2 − 6(𝑥1
+ Δ𝑥) + 8 
= 𝑥1
2 + 2𝑥1Δ𝑥 + (Δ𝑥)
2 − 6(𝑥1 + Δ𝑥)
+ 8 
= 𝑥1
2 + 2𝑥1Δ𝑥 + (Δ𝑥)
2 − 6𝑥1 + 6Δ𝑥
+ 8 
𝑚 = lim
Δ𝑥→0
2𝑥1Δ𝑥 + (Δ𝑥)
2 − 6Δ𝑥
Δ𝑥
 
𝑚 = lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥(2𝑥1 + Δ𝑥 − 6)
Δ𝑥
 
𝑚 = lim
Δ𝑥→0
 2𝑥1 + Δ𝑥 − 6 
𝑚 = 2𝑥1 + 0 − 6 = 2𝑥1 − 6 
agora podemos escolher um valor de 𝑥1, à 
qual a reta será tangente 
RETA NORMAL: 
uma reta normal ao ponto P será uma reta 
que é perpendicular à reta tangente desse 
mesmo ponto P 
 
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA 
NORMAL: 
se duas retas não verticais 𝑠1 𝑒 𝑠2 são 
perpendiculares, seus coeficientess 
angulares satisfazes 𝑚1 . 𝑚2 =
−1; então, cada coefic iente anguçar é 
o “inverso do oposto” do outro. 
OBS: para encontrar o coeficiente angular 
da normal, portanto, devemos calcular o 
coeficiente angular da tangente e depois 
descobrir seu “inverso do oposto”, ou seja, 
se o m da tangente é −
2
3
, o m da normal 
será 
3
2
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
a DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a função denotada por 
𝑓′(𝑥), tal que seu valor em qualquer 
𝑥𝜖 𝐷(𝑓) é dado por 
𝑓′(𝑥) = lim
Δ𝑥→0
f(x + Δ𝑥) − f(x) 
Δ𝑥
= 𝑚t 
se esse l imite existir; dizemos que 
uma função é derivável (ou 
diferenciável) quando existe a 
derivada em todos os pontos de seu 
domínio . 
OBS: outras notações podem ser usadas no 
lugar de 𝑦′ = 𝑓′(𝑥): 
→ 𝐷X𝑓(𝑥); 
→ 𝐷X𝑦; 
→ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
EXEMPLO: 
dada a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 −
1, encontre 𝑓′(3). 
𝑓′(3) = lim
Δ𝑥→0
f(3 + Δ𝑥) − f(3) 
Δ𝑥
 
𝑓(3) = 3. 32 + 2.3 − 1 = 32 
𝑓(3 + Δ𝑥) = 3(3 + Δ𝑥)2 + 2(3 + Δ𝑥) − 1 
𝑓(3 + Δ𝑥) = 32 + 20Δ𝑥 + 3(Δ𝑥)2 
logo: 
𝑓′(3) = lim
Δ𝑥→0
32 + 20Δ𝑥 + 3(Δ𝑥)2 − 32 
Δ𝑥
 
𝑓′(3) = lim
Δ𝑥→0
20Δ𝑥 + 3(Δ𝑥)2 
Δ𝑥
 
𝑓′(3) = lim
Δ𝑥→0
 30 + 3 Δ𝑥 
𝑓′(3) = 20. 
EXEMPLO: 
dada h =
1
2
𝑔𝑡2 no qual g é uma constante, 
calcule 
dh
dt
: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= lim
Δ𝑡→0
h(t + Δ𝑡) − f(t) 
Δ𝑡
 
h(t) =
1
2
𝑔𝑡2 
h(t + Δ𝑡) =
1
2
𝑔(𝑡 + Δ𝑡)2 
h(t + Δ𝑡) =
1
2
𝑔𝑡2 + 𝑔𝑡Δ𝑡 +
1
2
𝑔(Δ𝑡)2 
logo: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= lim
Δ𝑡→0
1
2
𝑔𝑡2 + 𝑔𝑡Δ𝑡 +
1
2
𝑔(Δ𝑡)2 −
1
2
𝑔𝑡2
Δ𝑡
 
= lim
Δ𝑡→0
Δ𝑡(𝑔𝑡 +
1
2
𝑔Δ𝑡)
Δ𝑡
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= lim
Δ𝑡→0
 𝑔𝑡 +
1
2
𝑔Δ𝑡 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝑔𝑡 
PROBLEMA: 
mostre que 𝑓(𝑥) = |𝑥| não é diferenciàvel 
em 𝑥 = 0 
 
como os limites laterais são diferentes, não 
podemos determinar a derivada dessa 
função. 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| é: 
 
Já o gráfico de sua derivada 𝑓′(𝑥) é: 
 
OBS: nesse caso, era impossível ter 
derivada, já que o gráfico faz um “bico”, ao 
invés de uma curva suave, a qual nos 
permitiria traçar uma reta tangente. 
EXEMPLO: 
mostre que a função 𝑓(𝑥) = √|𝑥| não é 
derivável quando Δ𝑥 tende a 0, mesmo 
sendo contínua 
 
 
 
 
 
 
Onde 𝑠𝑔𝑛 (𝑥) significa que x pode ser 
positivo ou negativo dependendo da 
situação. 
para provar que em x=0 a função não é 
derivável: 
 
 
 
gráfico de 𝑓(𝑥) = √|𝑥| 
 
gráfico de 𝑓′(𝑥) = √|𝑥| 
 
DERIVADAS LATERAIS 
DERIVADA À DIREITA 
se a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) está definida 
em 𝑥1, então, a der ivada à direita de f 
em 𝑥1, denotada por 𝑓+
′ é def inida 
por: 
𝑓+
′(𝑥1) = lim
Δ𝑥→0+
𝑓(𝑥1 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥1)
Δ𝑥
 
caso este l imite exista . 
 
DERIVADA À ESQUERDA 
se a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) está definida 
em 𝑥1, então, a der ivada à esquerda 
de f em 𝑥1, denotada por 𝑓−
′ é 
definida por: 
𝑓−
′(𝑥1) = lim
Δ𝑥→0−
𝑓(𝑥1 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥1)
Δ𝑥
 
caso este l imite exista . 
 
TEOREMA: 
uma função será derivável em um 
ponto se exis it irem derivadas laterais 
nesse ponto e se essas derivadas 
forem iguais . 
EXEMPLO: 
seja f a função definida por: 
𝑓(𝑥) = {
5 − 2x, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
4𝑥 − 13, 𝑠𝑒 x ≥ 3
 
A) encontre 𝑓−
′(3) 𝑒 𝑓+
′(3) 
pelo lado direito: 
𝑓+
′ (3) = lim
Δ𝑥→0+
f (3 + Δ𝑥) − f(3)
Δ𝑥
 
𝑓(3) = 4.3 − 13 = −1 
 f(3 + Δ𝑥) = 4(3 + Δ𝑥) − 13 
= 4Δ𝑥 − 1 
logo: 
𝑓+
′ (3) = lim
Δ𝑥→0+
4Δ𝑥 − 1 + 1
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0+
4 
𝑓+
′(3) = 4 
pelo lado esquerdo: 
𝑓−
′(3) = lim
Δ𝑥→0−
f (3 + Δ𝑥) − f(3)
Δ𝑥
 
𝑓(3) = 4.3 − 13 = −1 
Como estamos considerando pelo lado 
esquerdo, f(3 + Δ𝑥) será menor que 3, 
portanto, será calculado da seguinte 
forma: 
f(3 + Δ𝑥) = 5 − 2 (3 + Δ𝑥) = −1 − 2Δ𝑥 
logo: 
𝑓−
′(3) = lim
Δ𝑥→0−
−1 − 2Δ𝑥 + 1
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0−
− 2 
𝑓−
′(3) = −2 
então, as duas derivadas existem, porém, 
não são iguais, então a derivada não 
existe em x=3. 
B) faça o esboço do gráfico da função: 
 
CONTINUIDADE 
TEOREMA: 
se uma função f é derivável em um 
número x, então ela é contínua em x. 
OBS: esse teorema apresenta uma razão 
pela qual uma função descontíinua em um 
ponto, por exemplo um salto, não pode ser 
derivável nesse ponto. 
OBS 2: no entanto, existem funções 
contínuas que não são deriváveis, temos, 
por exemplo, a função 𝑓(𝑥) = |𝑥|, seu 
gráfico é dado por: 
 
mostrando sua continuidade. 
mas, quando analisamos suas derivadas 
laterais: 
𝑓+
′(0) = lim
Δ𝑥→0+
0 + Δ𝑥 − 0
Δ𝑥
=
Δ𝑥
Δ𝑥
= 1 
𝑓−
′(0) = lim
Δ𝑥→0−
0 − Δ𝑥 − 0
Δ𝑥
=
−Δ𝑥
Δ𝑥
= −1 
percebemos que elas são diferentes uma 
da outra, ou seja, a função não é 
derivável no ponto 0, apesar de ser 
contínua 
PROBLEMA: 
seja: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2, se 𝑥 ≤ 1
1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 
a) f é contínua em 1? 
b) f é diferenciável em 1? 
 
 
como os limites laterais existem, são 
iguais e são iguais a f(1), ela é contínua 
 
 
Primeiro calculamos a derivada à esquerda, 
agora calcularemos à direita: 
 
 
como as derivadas laterais são diferentes, a 
função não é d1ferenciárel em 1. 
FUNÇÃO DE WEIERSTRASS 
ela é contínua, mas não é derivável 
em nenhum de seus pontos: 
𝑊(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑏𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=0
 
para 0 < 𝑎 < 1, 𝑎𝑏 ≥ 1 𝑒 𝑏 > 1, é 
contínua e não diferenciável em 
todos os pontos de ℝ 
 
 
REGRAS E TEOREMAS: 
seja 𝑓: 𝐷 → ℝ; a função 𝑓′: 𝐷 → ℝ 
dada por 𝑥 → 𝑓′(𝑥) é denominada 
função der ivada (ou simplesmente 
derivada) de 𝑓, ou ainda derivada de 
primeira ordem de 𝑓. 
a derivada de 𝑓′ denomina-se deriada 
de segundaordem de 𝑓, denotada 
por 𝑓′′(𝑥). 
a derivada de ordem n-ésima é 
denotada por 𝑓(𝑛)(𝑥) 
 
TEOREMA: 
se 𝑓(𝑥) = 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, então 
𝑓′(𝑥) = 0 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
TEOREMA: 
se 𝑓(𝑥) = 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 1 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
TEOREMA: 
se 𝑓(𝑥) = 𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
 
TEOREMA: 
se 𝑓(𝑥) = 𝑥3, então 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 
 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
TEOREMA: 
se 𝑓 e 𝑔 são diferenciáveis em um 
ponto x, então 𝑓 + 𝑔 também é 
diferenciável em x, e: 
(𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
TEOREMA: REGRA DO PRODUTO 
(REGRA DE LEIBNIZ) 
se 𝑓 e 𝑔 são diferenciáveis em um 
ponto x, então 𝑓. 𝑔 também é 
diferenciável em x, e: 
(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 
para (𝑓. 𝑔. ℎ)′(𝑥): 
(𝑓. 𝑔. ℎ)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) 
+𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
TEOREMA: 
se 𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥), então 
𝑔′(𝑥) = 𝑐. 𝑓′(𝑥) 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
TEOREMA: 
se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , então 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
e se 𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑛 , então 
𝑓′(𝑥) = −𝑛. 𝑥−𝑛−1 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
EXEMPLO: 
seja 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 mostre que 𝑓(𝑘)(𝑥) = 0 
para 𝑘 > 𝑛 
 
 
TEOREMA: REGRA DO QUOCIENTE 
se 𝑓 e 𝑔 são diferenciáveis em um 
ponto 𝑥 e 𝑔 ≠ 0, então 𝑓/𝑔 também 
é diferenciável em 𝑥, e: 
(
𝑓
𝑔
)
′
(𝑥) =
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2 
 
EXEMPLO: 
 
 
CONJECTURA: 
[(𝑥 + 1)−𝑛]′ = −𝑛(𝑥 + 1)−𝑛−1 
 
DERIVADA DE FUNÇÃO SENO: 
𝑠𝑒𝑛′𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO: 
𝑐𝑜𝑠′𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
EXEMPLO: 
Calcule 𝑓′′(𝑥) + 𝑓(𝑥) para 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO TANGENTE: 
𝑡𝑎𝑛′𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2X 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
REGRA DA CADEIA: 
se 𝑔 é diferenciável no ponto 𝑥 e 𝑓 é 
diferenciável no ponto 𝑔(𝑥), então 
𝑓 ∘ 𝑔 é diferenciável no ponto x, e 
(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) 
notação alternativa: 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) = cos 3𝑥 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) =
1
(𝑥 + 1)𝑛
 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) = (3𝑥2 + 1)3 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(cos 𝑥) 
 
EXEMPLO: 
calcule a derivada da seguinte função: 
𝐹(𝑥) = (
𝑥 + 1
𝑥2 + 1
)
4
 
 
PROBLEMA: 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função diferenciável 
até a segunda ordem e seja 𝑔 dada por 
𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥2); calcule 𝑔′′(2) supondo 
𝑓′(4) = 2 e 𝑓′′(4) = 3 
primeiro, iremos enxergar a função 𝑔(𝑥) =
𝑥𝑓(𝑥2) como um produto de funções, 
aplicando a regra do produto: 
 
depois disso, iremos enxergar a função 
𝑓(𝑥2) como uma composição de funções: 
 
como o exercício pediu 𝑔′′(2): 
 
PROBLEMA: 
Uma função diferenciável 𝑓(𝑥) é tal que 
𝑥𝑓(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝑓(𝑋) = 𝑓2(𝑥); encontre 
𝑓′(𝑥) 
primeiro, iremos derivar cada um dos 
termos: 
 
depois, iremos substituir na equação: 
 
DERIVADA DE FUNÇÕES INVERSAS 
TEOREMA: 
se 𝑓 é contínua em um intervalo, 
então 𝑓 é crescente ou descrescente 
neste intervalo . 
 
TEOREMA: 
se 𝑓 é contínua e uní ivoca em um 
intervalo, então 𝑓−1 também é 
contínua . 
 
TEOREMA: 
se f é contínua e unívoca em um 
intervao, e 𝑓′(𝑓−1(𝑎)) = 0, então 𝑓−1 
não é diferenciável em 𝑎 . 
TEOREMA: 
seja 𝑓 contínua e unívoca em um 
intervalo, e suponha que 𝑓 seja 
diferenciável em 𝑓−1(𝑏), com 
derivada 𝑓′(𝑓−1(𝑏)) ≠ 0; então 𝑓−1 
é diferenciável em 𝑏, e: 
(𝑓−1)′(𝑏) =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑏))
 
 
EXEMPLO: 
Calcule a derivada de 
𝑔𝑛(𝑥) = √𝑥
𝑛
= 𝑥
1
𝑛 
 
 
PROBLEMA: 
calcule a derivada de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
PROBLEMA: 
calcule a derivada de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
 
PROBLEMA: 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥3, (i) mostre que 𝑓(𝑥) 
admite função inversa 𝑔; (ii) expresse 
𝑔′(𝑥) em termos de 𝑔(𝑥); (iii) calcule 
𝑔′(0). 
 
é provado que: 
 
logo, chegamos a uma contradição, 
portanto, 𝑓 é unívoca, então, existe 
𝑔 = 𝑓−1 
 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 
DEFINIÇÃO: 
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dada na 
forma implíc ita quando ela é dada em 
termos de uma equação da forma 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0; em outras palavras, 
𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 é uma identidade; para 
adquir ir sua der ivada, é só derivá-la 
uti l izando a regra da cadeia . 
EXEMPLO: