Aula 6 - CalcNum - Métodos para determinação de raízes de equações

Prévia do material em texto

1
CÁLCULO 
NUMÉRICO
Prof. Me. Elenilson Tavares Cabral
170101295@prof.uninassau.edu.br
RAÍZES DE EQUAÇÕES
2
Introdução
Para resolver:
Pode-se utilizar a seguinte fórmula quadrática (ou de Bhaskara):
Os valores calculados com a fórmula de Bhaskara são chamados de “raízes” da
equação dada em f(x). Eles representam os valores de x que fazem a equação
igual a zero.
Logo, pode-se definir uma raiz de uma equação como um valor de x que torna f
(x) = 0. Por essa razão, as raízes são às vezes chamadas de zeros da equação.
𝑓 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐
2 ⋅ 𝑎
RAÍZES DE EQUAÇÕES
3
Introdução
Embora a fórmula quadrática seja muito cômoda para resolver a equação do
segundo grau, existem muitas outras funções para as quais as raízes não podem
ser determinadas tão facilmente.
Para esses casos, os seguintes métodos numéricos poderão ser utilizados:
1. Método Gráfico;
2. Método da Bissecção;
2. Método de Newton-Raphson;
3. Método da Secante;
4. Método das Aproximações Sucessivas.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
4
Introdução
Vários métodos de determinação de raízes exploram o fato de que uma função
tipicamente muda de sinal na vizinhança de uma raiz. Essas técnicas
(bracketing methods), que isolam a raiz em um intervalo, exigem duas
estimativas iniciais para a raiz. Tais estimativas devem “delimitar” a raiz.
Os métodos intervalares usam estratégias diferentes para sistematicamente
diminuir a largura do intervalo e, portanto, aproximar-se da resposta correta.
As aplicações repetidas desses métodos sempre resultam em estimativas mais
próximas do valor verdadeiro da raiz. Tais métodos são ditos convergentes
porque se aproximam da verdade à medida que os cálculos prosseguem.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
5
Introdução
Como uma introdução a essas técnicas, serão discutidos brevemente métodos
gráficos para descrever as funções e suas raízes. Além de sua utilidade para
fornecer estimativas grosseiras, as técnicas gráficas também são úteis na
visualização das propriedades das funções e do comportamento de diversos
métodos numéricos.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
6
Métodos Gráficos
As técnicas gráficas têm valor prático limitado
porque não são precisas. Entretanto, os
métodos gráficos podem ser usados para
obter estimativas grosseiras das raízes.
Essas estimativas são usadas como
aproximações iniciais para os métodos
numéricos discutidos posteriormente.
Ilustração de diversas formas gerais nas quais uma raiz pode ocorrer em um intervalo
determinado por uma extremidade inferior xl e uma extremidade superior xu. As partes (a) e
(c) indicam que, se f(xl) e f(xu) tiverem o mesmo sinal, ou não existirão raízes ou existirá
um número par de raízes no intervalo. As partes (b) e (d) indicam que, se a função tiver
sinais diferentes nas extremidades, existirá um número ímpar de raízes no intervalo
RAÍZES DE EQUAÇÕES
7
Exemplo
Use a abordagem gráfica para determinar a raiz (zero) da seguinte função:
Considere:
a = 9,8
b = 68,1
𝑓 𝑥 =
𝑎 ⋅ 𝑏
𝑥
1 − 𝑒−10 Τ𝑥 𝑏 − 40
RAÍZES DE EQUAÇÕES
8
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Quando se aplica a técnica gráfica, observa-se que f(x) muda de sinal em lados
opostos da raiz. Em geral, se f(x) for real e contínua no intervalo de xl a xu e f(xl) e
f(xu) tiverem sinais opostos, isto é:
Então existe pelo menos uma raiz real entre xl e xu.
Os métodos de busca incrementais tiram vantagem dessa observação localizando
um intervalo no qual a função muda de sinal. Então, a posição da mudança de
sinal (e, consequentemente, da raiz) é identificada mais precisamente dividindo-se
o intervalo em diversos subintervalos. Procura-se em cada um desses
subintervalos para localizar a mudança de sinal. O processo é repetido e a
estimativa da raiz é refinada dividindo-se os subintervalos em incrementos
menores.
𝑓 𝑥𝑙 ⋅ 𝑓 𝑥𝑢 < 0
RAÍZES DE EQUAÇÕES
9
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
O método da bissecção (também chamado de truncamento
binário, método dos meio intervalos ou método de Bolzano) é
um tipo de método de busca incremental no qual o intervalo é
sempre dividido na metade.
Se uma função muda de sinal em um intervalo, calcula-se o
valor da função em seu ponto médio. A posição da raiz é
então determinada como sendo o ponto médio do
subintervalo no qual a mudança de sinal ocorre. Esse
processo é repetido para obter estimativas refinadas.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
10
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Algoritmo para os cálculos da bissecção.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
11
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Neste método pode-se notar que o erro
verdadeiro não decresce com cada iteração.
Entretanto, o intervalo no qual a raiz está
localizada é dividido na metade em cada passo
do processo. A largura do intervalo fornece uma
estimativa exata do limitante superior do erro
para o método da bissecção.
Descrição gráfica do método da bissecção.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
12
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Critério de Parada e Estimativa do Erro
É preciso desenvolver um critério objetivo para decidir quando parar o método.
Uma sugestão inicial poderia ser parar os cálculos quando o erro verdadeiro cair
abaixo de algum nível pré-especificado. Para uma estimativa de erro que não
dependa do conhecimento prévio dessa raiz verdadeira pode ser utilizado o erro
relativo porcentual aproximado εa, calculado por:
Em que xr
novo é a raiz da iteração atual e xr
velho é a raiz da iteração prévia.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
13
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Critério de Parada e Estimativa do Erro
O valor absoluto é usado porque, em geral, estamos interessados no módulo de εa
ao invés do seu sinal. Quando εa se torna menor do que um critério de parada pré-
especificado εs, param-se os cálculos.
Embora o erro aproximado não forneça uma estimativa exata do erro verdadeiro,
pode-se perceber que εa captura a tendência geral para baixo de εt. Além disso, o
gráfico mostra a característica extremamente atrativa de que εa é sempre maior do
que εt. Logo, quando εa cai abaixo de εs, podemos parar os cálculos com a confiança
de que a raiz é conhecida pelo menos tão acuradamente quanto o nível aceitável
pré-especificado.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
14
Método da Bissecção ou Método dos Meio Intervalos
Critério de Parada e Estimativa do Erro
Um outro benefício do método da bissecção é que o
número de iterações necessárias para se chegar a um
erro absoluto pode ser calculado a priori - isto é, antes
de começar as iterações, através da fórmula:
Em que: n é o número de iterações; Ea,d é o erro
desejado ou pré-especificado e Δx0 é o intervalo inicial
de busca da raiz.
Erros para o método da bissecção. Os erros verdadeiro e 
estimado estão mostrados em função do número de iterações.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
15
Exemplo
Use o método da bisseção para encontrar uma estimativa para
a raiz positiva da função:
com tolerância tol(d) = 10-1 para o módulo da função.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
16
Método de Newton-Rapshon
O Método de Newton (também chamado
de método de Newton-Raphson) é um
esquema usado para se obter a solução
numérica de uma equação na forma f(x) =
0, onde f(x) é contínua e diferenciável e
sua equação possui uma solução próxima
a um ponto dado.
O método é ilustrado na figura ao lado.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
17
Método de Newton-Raphson
Em contraste aos métodos intervalares, os métodos abertos, ao qual o
Método de Newton-Raphson, são baseados em fórmulas que exigem
apenas um único valor inicial de x ou dois valores iniciais que não
delimitam necessariamente a raiz.
Como tal, eles algumas vezes divergem ou se afastam da raiz verdadeira à
medida que os cálculos prosseguem. Entretanto, quando os métodos
abertos convergem, eles em geral o fazem muito mais rapidamente do que
os métodos intervalares.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
18
Método de Newton-Raphson
O processo de solução começa com a escolha do ponto x1 como a primeira
estimativada solução. A segunda estimativa, x2, é obtida a partir do
cruzamento com o eixo x da reta tangente a f(x) no ponto (x1, f(x1)). A
estimativa seguinte, x3, é a interseção com o eixo x da reta tangente a f(x)
no ponto (x2, f(x2)), e assim por diante.
Matematicamente, na primeira iteração, a inclinação f′(x1) da tangente no
ponto (x1, f(x1)) é dada por:
RAÍZES DE EQUAÇÕES
19
Método de Newton-Raphson
Resolvendo a equação anterior para x2, obtém-se:
Esta equação pode ser generalizada para que a “próxima” solução xi+1
seja obtida a partir da solução atual
RAÍZES DE EQUAÇÕES
20
Método de Newton-Raphson
A equação anterior é a fórmula iterativa geral do método de Newton. Ela é
chamada de fórmula iterativa porque a solução é obtida com a aplicação
repetida da mesma em cada valor sucessivo de i.
O método de Newton também pode ser deduzido a partir da série de Taylor.
A expansão em série de Taylor de f(x) em torno de x1 é dada por:
RAÍZES DE EQUAÇÕES
21
Método de Newton-Raphson
Se x2 é uma solução da equação f(x) = 0 e x1 é um ponto próximo a x2,
então:
Considerando apenas os dois primeiros termos da série, uma solução
aproximada pode ser determinada resolvendo esta equação para x2:
RAÍZES DE EQUAÇÕES
22
Método de Newton-Raphson
O resultado é o mesmo dado anteriormente. Na iteração seguinte, a
expansão em série de Taylor é escrita em torno do ponto x2, e uma solução
aproximada x3 é calculada.
Algoritmo para o método de Newton
1. Escolha um ponto x1 como tentativa inicial da solução.
2. Para i = 1,2,..., até que o erro seja menor que um valor especificado,
calcule xi+1 usando a equação:
RAÍZES DE EQUAÇÕES
23
Método de Newton-Raphson
Quando as iterações devem ser interrompidas?
Idealmente, as iterações devem ser interrompidas quando uma solução
exata é obtida. Isso significa que o valor de x deve ser tal que f(x) = 0.
Geralmente, a solução exata não pode ser obtida computacionalmente.
Na prática, portanto, as iterações são interrompidas quando o erro estimado
for menor que algum valor predeterminado. Uma tolerância não pode ser
calculada como se faz no método da bisseção, já que os limites não são
conhecidos. Duas estimativas de erro tipicamente utilizadas pelo método de
Newton são: Erro relativo estimado (ε); tolerância (d).
RAÍZES DE EQUAÇÕES
24
Método de Newton-Raphson
Quando as iterações devem ser interrompidas?
Erro relativo estimado: As iterações são interrompidas quando o erro
relativo estimado é menor que um valor especificado (ε):
Tolerância em f(x): As iterações são interrompidas quando o valor absoluto
de f(x1) é menor que algum número δ.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
25
Exemplo
Use o método de Newton para encontrar uma estimativa para a raiz positiva
da função:
com aproximação inicial x(0) = 1 e tolerâncias tol = 0,1 e e = 0,1. Interprete
geometricamente o método de Newton.