08_ParâmetrosLinhas

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Parâmetros de Linhas de Transmissão
1
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Planar
• Primeiramente, analisa-se a equivalência entre as operações de linhas de 
transmissão relacionando-se os campo na linha à tensão e à corrente na mesma. 
• Considere-se uma linha constituída de placas paralelas separadas por uma 
distância d e cuja largura seja b >> d, tal que os campos são uniformes em 
qualquer plano transversal.
• A onda na linha de transmissão é representada pelas distribuições de tensão e 
corrente ao longo do comprimento da linha e está associada aos campos 
elétrico e magnético transversos, formando uma onda TEM, propagando-se sem 
perdas.
2
 
!ax
 
!az
 
!ay
d
b
t
I I
V ! !
+ + + + + +
+ + + + + +! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! !
+++
!!!
! !
+ + + + + +
+ + + + + +! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! !
+++
!!!
I I
V 
!
E
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Planar
• A tensão e a corrente nas formas fasoriais são:
onde 
• O valor do campo elétrico em um plano transversal na posição z corresponde 
àquele do capacitor de placas paralelas:
3
Vs z( ) = V0e! j"z Is z( ) =
V0
Z0
e! j"z
Z0 =
L
C
! !
+ + + + + +
+ + + + + +! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! !
+++
!!!
d
b
t
I I
 
!ax
 
!az
 
!ay
V
Esx z( ) =
Vs
d =
V0
d e
! j"z
 
!
E
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Planar
• enquanto o campo magnético é dado por:
4
Hsy z( ) =
Is
b =
V0
bZ0
e! j"z
! !
+ + + + + +
+ + + + + +! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! !
+++
!!!
d
b
t
I I
V
 
!
H
 
!
E
 
!
H
 
!ax
 
!az
 
!ay
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Planar
• A potência transmitida pela linha pode ser obtida de maneira consistente 
a partir dos campos na linha ou a partir da tensão e da corrente nas 
placas.
• Assim, o fluxo de potência ao longo da linha é obtido a partir do vetor 
de Poynting médio no tempo;
5
 
!
Pzméd =
1
2 Re
!
Esx !
!
H *sy{ }dxdy
0
d
"
0
b
"
=
1
2 Re
Vs
d #
Is*
b
$
%
&
'
(
)
dxdy
0
d
"
0
b
" !ax ! !ay( )
=
1
2 Re
Vs
d #
Is*
b
$
%
&
'
(
)
bd !az =
1
2 Re VsIs
*{ } !az
A potência pode ser obtida 
da tensão e corrente
A potência pode ser 
obtida dos campos elétrico e 
magnético
 
!
Pzméd =
1
2 Re
!
Esx !
!
H *sy{ }dxdy
0
d
"
0
b
" =
1
2
V0 e# j$z
d
V0* e+ j$z
bZ0*
bd( ) !az =
1
2
V0
2
Z0*
!az
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Planar
• As constantes primárias, como capacitância, indutância e resistência podem também 
ser obtidas a partir dessas relações.
• Considere-se a linha preenchida por um dielétrico de permissividade , 
condutividade ! e permeabilidade ". 
• Cada placa tem condutividade !c e espessura t, mas em altas frequências, devido ao 
efeito pelicular, a profundidade de penetração # << t. 
• Considerando-se os campos estáticos, a capacitância para placas de comprimento l 
é dada por:
logo a capacitância por metro de linha de placas paralelas é obtida para l = 1 m:
6
!"
C = QV0
=
!" Aplaca
d =
!" bl
d F
C = !" bd F/m
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Planar
• Já a condutância do dielétrico por unidade de comprimento da linha de placas 
paralelas provém da relação entre ela e a capacitância:
• Devido ao efeito pelicular, o fluxo magnético dentro das placas condutoras é 
desprezível, tal que a indutância total por metro de linha é basicamente a indutância 
externa: 
• Também, graças ao efeito pelicular, a resistência por unidade de comprimento das 
placas condutoras é dada pela combinação em série das resistências por metro de 
cada placa:
7
RC = !"
#
$ G = 1R =
#
!"
C = #
!"
!" b
d =
#b
d S /m
L = Lext =
µ !"
C =
µ !"
!" b
d
=
µd
b H/m
R = Rplaca1 + Rplaca1 =
1
! c"b
+
1
! c"b
=
2
! c"b
 #/m
• No caso de frequências baixas, basta utilizar # = t, a espessura das placas.
• 
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Planar
• A impedância característica por unidade de comprimento, para baixas 
perdas, é dada por:
8
Z0 =
Lext
C
=
µd
b
!" bd
=
µ
!"
d
b
= # db $
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Coaxial
• A análise anterior pode ser estendida para condutores coaxiais, 
também para altas frequências.
• Seja o cabo coaxial com condutor central de raio externo a, e 
condutor externo de raio interno b e raio externo c. 
9
a
bc
! ,µ, "#
! c
! c
l
!"#$%&'""#&()*#+%,""&--./0 ,123456278/9:/#7;<324=>?:8/*
!"#$%&'()$%(&*+&+)
!"#$%&$'#()&
"*#+,-.#
/,+0,$%&$'#()&
"*#+,-.#$&12&)3,
!
"!"#$%&"'()*&+'#"
!"#$%&"'(,#&+'#"
-.&+'/.0(,1"0.#&+
$+(!"#1&.#&+(2/+03&'/4.( H
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Coaxial Frequências 
Altas
• Neste caso, a capacitância pode ser encontrada dividindo-se a carga pela 
diferença de potencial entre os condutores:
Similarmente, a condutância do dielétrico por unidade de comprimento é:
10
Vab =
energia
carga =
W
Q =
q
2! "# ln
b
a
$
%&
'
()
Ql = q ! l
! C = QlVab
=
q " l
q
2# $% ln
b
a
&
'(
)
*+
=
2# $% l
ln ba
&
'(
)
*+
C = 2! "#
ln ba
$
%&
'
()
 F/m
G = !
"#
C = !
"#
2$ "#
ln ba
%
&'
(
)*
=
2$!
ln ba
%
&'
(
)*
 S/m
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Coaxial Frequências 
Altas
• A indutância por unidade de comprimento, devido ao efeito pelicular, é 
apenas a externa:
também devido à pequena profundidade de penetração, a resistência do 
condutor interno é:
enquanto a resistência do condutor externo é:
Logo:
11
L = Lext =
µ !"
C =
µ !"
2# !"
ln ba
$
%&
'
()
=
µ
2# ln
b
a
$
%&
'
()
 H/m
Rint =
1
! c 2"a( )#
 $/m
Rext =
1
! c 2"b( )#
 $/m
R = Rint + Rext =
1
2!" c#
1
a +
1
b
$
%&
'
()
 */m
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Coaxial Frequências 
Altas
• A impedância característica para baixas perdas é dada por:
12
Z0 =
Lext
C
=
1
2!
µ
"#
ln ba
$
%&
'
()
=
*
2! ln
b
a
$
%&
'
()
 +
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Coaxial Frequências 
Baixas
• Para baixas frequências, a corrente é considerada uniformemente distribuída 
pelas seções retas dos condutores. 
• Logo, isto afeta apenas o cálculo da resistência e da indutância. 
• A resistência fica:
• No caso em questão, deve-se considerar a indutância interna do condutor 
central: 
• e também a indutância interna do condutor externo:
13
La _ int =
µ
8! H/m
R = Rint + Rext =
1
! c"a2
+
1
! c "c2 # "b2( )
=
1
! c"
1
a2 +
1
c2 # b2
$
%&
'
()
 */m
Lbc _ int =
µ
8! c2 " b2( ) b
2 " 3c2 + 4c
2
c2 " b2 ln
c
b
#
$%
&
'(
)
*
+
,
-
. H/m
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Coaxial Frequências 
Baixas
• Para baixas frequências, a indutância total fica dada por: 
• Assim, a impedância característica da linha resulta em:
14
L = Lext + La _ int + Lbc _ int
=
µ
2! ln
b
a
"
#$
%
&'
+
1
4 +
1
4 c2 ( b2( ) b
2 ( 3c2 + 4c
2
c2 ( b2 ln
c
b
"
#$
%
&'
)
*
+
,
-
. 
/
0
1
21
3
4
1
51
 H/m
Z0 =
L
C
=
µ
2! ln
b
a
"
#$
%
&' +
1
4 +
1
4 c2 ( b2( ) b
2 ( 3c2 + 4c
2
c2 ( b2 ln
c
b
"
#$
%
&'
)
*
+
,
-
. 
/
0
1
21
3
4
1
51
2! 67 ln
b
a
"
#$
%
&'
=
1
2!
µ
67
ln2 ba
"
#$
%
&'
(
c2
2 c2 ( b2( ) ln
b
a
"
#$
%
&'
+
c2
c2 ( b2( )2
ln ac + b
2
ab
"
#$
%
&'
 8
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• Considere-se agora uma linha bifilar de comprimento l composta por 
dois condutores de raio a e condutividade !c, afastados da distância 
d de centro a centro, imersa em um meio dielétrico com 
permeabilidade ", permissividade $! e condutividade !. 
Bifilar
15
a
 
Dielétrico
! ,µ, "#
! c ! ca
d
l
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• A capacitância da linha pode ser calculada como a razão entre a carga 
distribuída ao longo da linha e a diferença de potencial:
Bifilar
16
a
 
Dielétrico
! ,µ, "#
! c ! ca
d
l
C = QlV0
=
ql ! l
V0
=
" #$ l
ln d + d
2 % 4a2
2a
&
'
(
)
*
+
=
" #$ l
cosh%1 d2a
&
'(
)
*+
C = ! "#
cosh$1 d2a
%
&'
(
)*
 F/m
+
! "#
ln da
%
&'
(
)*
 F/m (a << d)
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• A condutância do meio dielétrico por unidade de comprimento da linha é dada 
por:
• Para altas frequências, a indutância é a externa e pode ser encontrada fazendo-se:
Bifilar Frequências 
Altas
17
Lext =
µ !"
C =
µ
#
cosh$1 d2a
%
&'
(
)*
 H/m
+
µ
#
ln da
%
&'
(
)*
 H/m (a << d)
G = !"
cosh#1 d2a
$
%&
'
()
 S/m
*
!"
ln da
$
%&
'
()
 S/m(a << d)
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• Devido ao efeito pelicular, a resistência dos condutores por 
unidade de comprimento da linha é dada por:
• Assim, a impedância característica resulta em:
Bifilar Frequências 
Altas
18
R = 22!a "#( )$ c
= 1
!a#$ c
 %/m
Z0 =
Lext
C =
1
!
µ
"#
cosh$1 d2a
%
&'
(
)*
 +
,
1
!
µ
"#
ln da
%
&'
(
)*
 + (a << d)
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• Para baixas frequências não se observa o efeito pelicular, tal que 
são afetados a resistência e a indutância por unidade de 
comprimento da linha:
• e
• Assim, a impedância característica resulta em:
Bifilar Frequências 
Baixas
19
R = 2
!a2( )" c
 #/m
L = Lint + Lext =
µ
!
1
4 + cosh
"1 d
2a
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
 H/m
/
µ
!
1
4 + ln
d
a
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
 H/m (a << d)
Z0 =
L
C =
1
!
µ
"#
1
4 + cosh
$1 d
2a
%
&'
(
)*
 +,
-
.
/
0
cosh$1 d2a
%
&'
(
)*
 1
2
1
!
µ
"#
1
4 + ln
d
a
%
&'
(
)*
+
,
-
.
/
0
ln da
%
&'
(
)*
 1 (a << d)
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Exercício
• Cada condutor de uma linha de transmissão bifilar tem raio de 0,8 mm e 
condutividade de 3 ! 107 S/m. Seus centros estão separados de 0,8 cm em um meio 
dielétrico com "r = 1, $! = 2,5 e ! = 4 x10!9 S/m. Para a frequência de 3 kHz, calcule:
a) a profundidade #;
b) a capacitância C;
c) a condutância G;
d) a indutância L;
e) a resistência R.
20
!
Obrigado!
21