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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Equações de Linhas de Transmissão
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Linhas de Transmissão
• Na análise de circuitos básicos, as conexões entre os componentes são 
consideradas de comprimento desprezível. Assim, a tensão sobre a carga de um 
lado do circuito está exatamente em fase com a fonte de tensão do outro lado.
• Quando as distâncias entre os componentes são suficientemente grandes, da ordem 
do comprimento de onda da tensão, o efeito de atraso de propagação se torna 
significativo, produzindo diferenças de fase na tensão.
• Ao se conectar uma fonte em uma linha de transmissão, a tensão aplicada não 
aparece instantaneamente em todos os pontos da linha, mas começa a viajar da 
fonte até a carga com velocidade , formando uma frente de onda. 
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V0
S1 S2
RcargaV + = V0
I + +
!
v = 1 / LC
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Linhas de Transmissão
• A frente de onda representa a fronteira entre a seção carregada, na qual 
circula corrente, e a que está por se carregar, onde a corrente ainda não 
circula; a tensão e a corrente são portanto descontínuas na frente de onda.
• Quando a frente de onda atinge a extremidade remota, uma fração ou a 
totalidade das ondas de tensão e de corrente se reflete, dependendo da 
carga a que a linha está conectada.
• No caso de linhas de transmissão, os elementos componentes do circuito 
estão distribuídos, devendo ser avaliados por unidade de distância. 
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V0
S1 S2
Rcarga
I +
V + = V0
+
!
!L L LC C C! ! !
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Equações
• Para se obter as equações de onda de linhas de transmissão, constrói-se um 
modelo de circuito contendo as constantes primárias para um comprimento 
incremental !z da linha.
• Os parâmetros L e C descrevem a operação sem perdas, enquanto os 
parâmetros R e G descrevem as perdas.
• É possível então combinar esses elementos na forma de uma impedância Z em 
série e de uma admitância Y paralela.
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Vs z( )
Is z( ) +
!
L!zR!z
G!z C!z
!
Vs z + !z( )
Is z + !z( )+
!
z z + !z( )
!z
Vs z( )
Is z( ) +
!
Z!z
Vs z + !z( )
Is z + !z( )+
!
z z + !z( )
Y!z
!zZ = R + j!L
Y = G + j!C
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Equações
• Aplicando-se as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes ao circuito tem-se:
 
• Expandindo-se I(z+!z) e V(z+!z) em série de Taylor até a primeira ordem de !z:
• É possível então escrever as seguintes equações no domínio da frequência:
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Vs z( )
Is z( ) +
!
Z!z
Vs z + !z( )
Is z + !z( )+
!
z z + !z( )
Y!z
!z
a
b
Vs z( ) = Z!z( ) Is z( ) +Vab = Z!zIs z( ) +Vs z + !z( )
Is z( ) = Iab + Is z + !z( ) = Y!zVs z + !z( ) + Is z + !z( )
Is z + !z( ) = Is z( ) + "Is z( )!z
Vs z + !z( ) = Vs z( ) + "Vs z( )!z
!Vs z( ) = "Z Is z( ) = " R + j#L( ) Is z( )
!Is z( ) = "YVs z( ) = " G + j#C( )Vs z( )
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Equações
• Essas equações têm suas soluções dadas pela soma de uma onda viajante 
progressiva a uma onda viajante regressiva:
 
• onde k e Z0 são a constante de propagação e a impedância característica da linha:
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Vs z( ) = V0+e! jkz +V0!e+ jkz
Is z( ) =
1
Z0
V0+e! jkz !V0!e+ jkz( )
k = ! j ZY =" LC 1! j R
"L
#
$%
&
'(
1! j G
"C
#
$%
&
'(
Z0 =
Z
Y =
R + j"L
G + j"C
A corrente 
regressiva tem sentido 
contrário
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Equações
• Na prática, assume-se que a linha tem baixas perdas, ou seja, R e G são 
pequenos. Assim, pode-se aproximar as constantes de atenuação e de fase como:
 
• Para o caso de linha sem perdas R e G são nulos, de tal forma que:
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! = 12 R
C
L +G
L
C
"
#$
%
&'
( =) LC 1+ 18
G
)C *
R
)L
"
#$
%
&'
2
! = 0
k = " =# LC =# µ $%
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Equações
• Para o caso de linha sem perdas:
 
• A analogia pode ser feita entre:
• Assim, é possível estabelecer analogia direta entre a propagação de ondas planas uniformes e 
a de ondas em linhas de transmissão.
• Para cada tipo de linha, utilizam-se as respectivas fórmulas de cálculo das constantes 
primárias.
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Vs z( ) = V0+e! j"z +V0!e+ j"z = Vs+ z( ) +Vs! z( )
Is z( ) =
1
Z0
V0+e! j"z !V0!e+ j"z( ) = 1Z0 Vs
+ z( ) !Vs! z( )( )
Vs z( )! Es z( )
Is z( )! Hs z( )
Z0 !"
V +s z( )! E+s z( )
V "s z( )! E"s z( )
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Exercício
• Dimensione uma linha bifilar composta por dois fios 20 AWG (diâmetro 0,812 
mm) de cobre com impedância característica de 300 Ω. Calcule sua 
capacitância por unidade de comprimento.
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!
Obrigado!
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