lista-cap8-gabarito[1]

Prévia do material em texto

IAL – Módulo 3 – Lista 1 – Capítulo 8 – Prof. João Luiz – 02/2009 
 
GABARITO 
 
 
1) Seja u = 2v
1
 − 3v
2
 + 4v
3
, onde u, v
1
, v
2
 e v
3
 são vetores num espaço 
vetorial V, e seja T : V → R3 uma transformação linear para a qual 
T(v
1
) = 



3
0
1
, T(v
2
) = 



1
1
2
, T(v
3
) = 



5
2
4
. 
Encontre T(u). 
 
 
 
 
2) Considere a base S = {1, x, x
2
} de P
2
, e seja T : P
2
 → P
2
 o operador 
linear tal que T(1) = 1, T(x) = x+1 e T(x
2
) = x
2
+2x+1. Encontre 
T(2x
2
+3x+5). 
 
 
 
 
3) Considere a base S = {v
1
,v
2
} de R
2
, onde v
1
 = (1,1) e v
2
 = (1,−1), e seja 
T : R
2
 → R2 o operador linear tal que T(v
1
) = (5,−1) e T(v
2
) = (−1,5). 
Encontre T(u), onde u = (2,4). 
 
 
 
 
4) Seja T : R
2
 → R2 o operador linear dado pela fórmula: 
 
T( x, y ) = ( 3x − y, 6x − 2y ). 
 
a) Encontre uma base do núcleo de T. 
b) Encontre uma base da imagem de T. 
c) Encontre o posto e a nulidade de T. 
 
 
 
 
5) Seja T : R
2
 → R2 o operador linear dado pela fórmula: 
 
T( x, y ) = ( x + 2y, 3x + 7y ). 
 
Encontre T
 −1
(x,y). 
 
 
 
 
6) Seja T : P
2
 → P
2
 o operador linear definido por T( p(x) ) = p(x−1), 
isto é: 
T(a
0
 + a
1
x + a
2
x
2
) = a
0
 + a
1
(x−1) + a
2
(x−1)2 
 
a) Encontre a matriz de T em relação à base canônica B = {1, x, x
2
} de P
2
, 
isto é, encontre [T]
B
. 
 
b) Usando a matriz [T]
B
, encontre [ T( p(x) ) ]
B
 para p(x) = 1 + 4x + 3x
2
.