Exercícios Calculo 2Unidade I

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA
Campus: Cajazeiras
Curso: Bacharelado em Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professor: José Doval Nunes Martins
Período letivo: 2021.1
Lista de Exercícios da Unidade I
1. Calcule as integrais a seguir.
(a) I =
∫
8x4 − 9x3 + 6x2 − 2x+ 1
x2
dx
(b) I =
∫ (
ex
2
+
√
x+
1
x
)
dx
(c) I =
∫ (
x+
√
x+ 3
√
x+ 4
√
x+ 5
√
x
)
dx
(d) I =
∫
tan2 (x) csc2 (x) dx
(e) I =
∫
x2
x2 + 1
dx
2. Encontrar uma primitiva F , da função f (x) = x
2
3 + x, que satisfaz F (1) = 1.
3. Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por substituição.
(a) I =
∫
x2√
x3 + 1
dx
(b) I =
∫
ln (x+ 1)
x+ 1
dx
(c) I =
∫
arctan (x)
1 + x2
dx
(d) I =
∫
cos (lnx)
x
dx
(e) I =
∫ (
e−5x + 25x
)
dx
(f) I =
∫
sin
(
x
3
)
2 + cos
(
x
3
)dx
(g) I =
∫ (
e
√
x
√
x
+
1
√
xe
√
x
)
dx
4. Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(a) I =
∫
x sin (2x− 1) dx
(b) I =
∫
e3x sin (2x) dx
(c) I =
∫
cos (lnx) dx
(d) I =
∫
arcsin (2x) dx
(e) I =
∫
arctan (3x) dx
(f) I =
∫
x csc2 (x) dx
(g) I =
∫
ln3 (2x) dx
(h) I =
∫
x2 cos (x) dx
(i) I =
∫
x2e−2xdx
5. Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
(a)
0∫
−2
x2
(x3 − 2)2
dx (b)
4∫
1
1
√
x (
√
x+ 1)
3 dx (c)
2∫
1
x lnxdx
6. Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes.
(a) f(x) =
 −x
2, se − 2 ≤ x ≤ −1
−x, se − 1 < x ≤ 1
x2, se 1 < x ≤ 2.
(b) f(x) =
{
sin 2x, se 0 ≤ x ≤ π2
1 + cosx, se π2 < x ≤ π
7. Investigar a integral imprópria
+∞∫
7
1
(x− 5)2
dx.
8. Mostrar que
+∞∫
1
1√
x
dx é divergente.
9. Encontrar a área sob o gráfico da curva y = 1
(x+1)2
para x ≥ 1.
10. Investigar as integrais impróprias seguintes.
(a)
0∫
−∞
exdx
(b)
0∫
−∞
xe−x
2
dx
(c)
+∞∫
1
lnx dx
(d)
+∞∫
−∞
1
9 + x2
dx
(e)
+∞∫
e
1
x(lnx)2
dx
(f)
+∞∫
0
4
x+ 1
dx
(g)
+∞∫
0
r · e−rxdx, r > 0
(h)
+∞∫
−∞
4x3
(x4 + 3)
2 dx
11. Determinar a área sob a curva y = 1√
4−x , no intervalo [0, 4).
12. Investigar as integrais impróprias.
(a)
1∫
0
1√
1− x
dx
(b)
1∫
−1
1
x2
dx
(c)
3∫
0
1√
9− x2
dx
(d)
5∫
0
x√
25− x2
dx
(e)
2∫
−2
x
1− x
dx
13. Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função f por
L (f (x)) =
+∞∫
0
e−sxf (x) dx
para todo s ∈ R para o qual a integral imprópria seja convergente. Encontre a Transformada de Laplace de:
(a) f (x) = eax (b) f (x) = cosx
14. A função gama é definida para todo x > 0 por Γ (x) =
+∞∫
0
tx−1e−tdt. Determine Γ (1) e Γ (2).
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Referências Bibliográficas
[1] Fleming, d.m; Gonçalves, m.b. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração, São Paulo: Pearson Prentice Hall,
6a ed. rev. e ampl., 2006.
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