A Equação de Schrödinger da Mecânica Quântica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
CAMPUS DE RIO CLARO 
IGCE - INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
PAULO VICTOR DA SILVA SOARES 
 
 
 
 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – 
UNESP 
 
 
 
 
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA QUÂNTICA 
 
 
 
 
Rio Claro 
2021 
 
 
1 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 – Introdução ................................................................................................... 2 
 1.1 – Contextualização .................................................................................... 2 
1.2 – Teoria de Schrödinger da Mecânica Quântica ........................................ 3 
 
2 – Fundamentos teóricos ................................................................................ 6 
2.1 – A Equação de Schrödinger dependente do tempo.................................. 6 
2.2 – Operadores ............................................................................................. 7 
2.3 – A Equação de Schrödinger independente do tempo................................ 9 
 
3 – Exemplo ......................................................................................................11 
4 – Conclusão ................................................................................................. 13 
5 – Referências bibliográficas ....................................................................... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1- Introdução 
 
 
1.1 - Contextualização 
 
 
 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 – 1961) foi um físico 
austríaco muito bem reconhecido por todas as suas contribuições no segmento 
da Mecânica Quântica, especialmente pela conhecida Equação de 
Schrödinger, a qual Recebeu um Prêmio Nobel em 1933. 
 Erwin também foi o responsável 
pelo experimento mental popularmente 
conhecido como “O gato de Schrödinger” 
ou “O gato da caixa”; ele também se 
interessava muito pelos aspectos 
filosóficos na ciência, refletia 
profundamente sobre conceitos 
filosóficos, religiões orientais passadas e 
também sobre ética. 
 É muito importante ressaltar que 
inicialmente em sua carreira, Erwin se 
familiarizou com as ideias da teoria 
quântica, desenvolvidas por Max Planck, 
Albert Einstein, Niels Bohr e outros grandes nomes da ciência; envolvidos na 
construção do conhecimento que temos hoje em Eletromagnetismo e Mecânica 
Quântica, e esse verso é indispensável, esclarecendo a importância de todos os 
nomes envolvidos. (Ref. 1) 
 
 
Figura 1 – Fotografia de Erwin Rudolf 
Josef Alexander Schrödinger. Acesso no 
seguinte site: 
<http://www.browsebiography.com/bio
-erwin_schr_dinger.html> (Ref 2) 
http://www.browsebiography.com/bio-erwin_schr_dinger.html
http://www.browsebiography.com/bio-erwin_schr_dinger.html
3 
 
 1.2 - Teoria de Schrödinger da Mecânica Quântica 
 
 Assim que comprovada que as partículas possuem natureza ondulatória, 
e estabelecido que seu comprimento de onda como λ=ԧ/p logo uma pergunta 
rodeou os cientistas, afinal, qual é a grandeza física associada à onda de 
matéria? E das grandezas físicas conhecidas, nenhuma delas é capaz de 
explicar a natureza dessas ondas, e por isso foi utilizada a letra grega Ψ para 
designar uma função de onda-matéria. 
 Foi em 1926 que Erwin Schrödinger encontrou 
uma equação que solucionasse a função de onda 
associada a matéria a partir da Energia Potencial a 
qual está submetida. É importante também lembrar 
que dois anos mais tarde, em 1928, um Físico 
chamado Max Born descobriu a relação entre a função 
de onda e a probabilidade de se encontrar a uma 
partícula em determinada posição; concluiu que |Ψ|² 
pode ser interpretada como uma grandeza estatística 
que nos concebe a densidade de probabilidade de 
encontrarmos a partícula em uma determinada região 
no espaço, sua representação implica que: 
∫ Ψ ∗ Ψ dr = 1 
(Eq. 1 – Probabilidade) 
 Visto que a probabilidade de se encontrar a 
partícula em algum lugar deve ser de 1. Essa ideia não foi muito bem aceita por 
cientistas físicos da época, Einstein chegou a mencionar a famosa frase “Deus 
não joga dados com o universo”. 
 Uma das coisas que Erwin Schrödinger acreditava é que o elétron 
orbitando o núcleo de um átomo tem o comportamento de uma onda estacionária 
possuindo diversas formas de vibração, e foi aprofundando nessa questão que 
Schrödinger conseguiu seu Prêmio Nobel em 1933. (Ref. 1 e 3) 
Figura 2 – Fotografia de Max 
Born, físico influente no 
segmento da Mecânica 
Quântica. Acesso no seguinte 
site: 
<https://www.ifi.unicamp.br/
~fauth/1OrigensMecanicaQua
ntica/3OatomodeSchrodinger
/OatomodeSchrodinger.html> 
(Ref 3) 
https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/1OrigensMecanicaQuantica/3OatomodeSchrodinger/OatomodeSchrodinger.html
https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/1OrigensMecanicaQuantica/3OatomodeSchrodinger/OatomodeSchrodinger.html
https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/1OrigensMecanicaQuantica/3OatomodeSchrodinger/OatomodeSchrodinger.html
https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/1OrigensMecanicaQuantica/3OatomodeSchrodinger/OatomodeSchrodinger.html
4 
 
 Para qualquer função de onda, é preciso que a mesma satisfaça as 
seguintes propriedades: 
 É uma função contínua 
 Contém tudo mensurável sobre a partícula 
 Permite cálculos de energia através da Equação de Schrodinger 
 ψ*ψ somado sobre todo o espaço = 1, isso significa que a probabilidade 
de encontrar a partícula em algum lugar deve ser um. 
 Estabelece a distribuição de probabilidade no espaço tridimensional 
 Para uma partícula livre ψ é uma onda senoidal, implicando um 
momentum determinado com precisão e uma posição totalmente incerta. 
(princípio da incerteza) 
 Permite o cálculo do valor médio efetivo (valor esperado) de uma 
determinada variável. 
 
 Afim de exemplificar isso, serão dadas 3 funções de onda (que 
consequentemente respeitam todas as propriedades acima): 
 
𝜕²𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥²
=
p
𝑇
𝜕²𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡²
 
(Eq. 2 – Ondas Clássicas, Equação da corda vibrante) 
 
𝜕²𝐸(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥²
=
1
𝑐²
𝜕²𝐸(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡²
 
(Eq. 3 – Onda Eletromagnética Plana) 
 
 
 
5 
 
 E finalmente, a equação de onda de Schrödinger, desenvolvida em 1926, 
é possível notar semelhanças em sua forma unidimensional: 
 
−ħ²
2𝑚
𝜕²𝛹(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥²
+ 𝑈(𝑥)𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝑖ħ
𝜕𝛹(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
 
(Eq. 4 – Equação de onda unidimensional de Schrödinger) 
 
 Lembrando que ħ = h/2m. 
 É de suma importância relembrar também dos postulados da Mecânica 
Quântica, que consistem em: 
 
1. Associada a qualquer partícula que se move em um campo de força 
conservador, está uma função de onda que determina tudo o que pode 
ser conhecido sobre o sistema. 
2. 2. Com todo observável físico q está associado um operador Q, que ao 
operar sobre a função de onda associada a um valor definido daquele 
observável produzirá esse valor vezes a função de onda. 
3. Qualquer operador Q associado a uma propriedade fisicamente 
mensurável q será Hermitiano. 
4. O conjunto de autofunções do operador Q formará um conjunto completo 
de funções linearmente independentes. 
5. Para um sistema descrito por uma dada função de onda, o valor esperado 
de qualquer propriedade q pode ser encontrado realizando a integral do 
valor esperado em relação a essa função de onda. (Ref. 4) 
 
 
 
 
6 
 
 
2 – Fundamentos teóricos 
 
 
2.1 – A Equação de Schrödinger dependente do tempo (Ref. 5) 
 
 
 Também conhecida como A Equação Fundamental da Mecânica 
Quântica, a Equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser expressa 
como: 
−ħ²
2𝑚
𝜕²𝛹(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥²
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝑖ħ
𝜕𝛹(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
 
(Eq. 5 – Equação Fundamental da Mecânica Quântica) 
 
 Lembrando que𝑖 = √−1. 
 Para se chegar na solução da Eq. 5 será preciso o conhecimento e a 
manipulação no plano dos números complexo; para V(x,t) = 0 temos que a 
solução geral da equação de onda possa ser descoberta da seguinte forma 
(neste método, por tentativa): 
 
𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) = 𝐴[𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)] 
𝜕𝛹
𝜕𝑥
= −𝑤𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) = −𝑖𝑤Ψ → 𝑖ħ
𝜕𝛹
𝜕𝑡
= (𝑖ħ)(−𝑖𝑤)𝛹 = ħ𝑤Ψ 
𝜕𝛹
𝜕𝑡
= 𝑘𝑖𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) = 𝑖𝑘Ψ → 
𝜕²𝛹
𝜕𝑡²
= (𝑘𝑖)(𝑘𝑖)𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) = −𝑘²Ψ 
(Eq.6 – Solução da EDO por tentativa) 
 
7 
 
 Substituindo e analisando é possível notar algumas coisas: 
 
−ħ2
2𝑚
𝜕2𝛹
𝜕𝑥2
=
ħ2𝑘2
2𝑚
Ψ 
 
 Essa solução funciona se: 
ħ𝑤 =
ħ²𝑘²
2𝑚
 
(Eq. 7 – Expressão inicial substituída e condição de solução) 
 
 E nos mostra que neste caso, a energia total do sistema é a energia 
cinética: 
ħ2𝑘2
2𝑚
=
(
ℎ
2𝜋)
2
(
2𝜋
𝜆
)
2
2𝑚
=
(
ℎ
𝜆
)
2
2𝑚
=
𝑝²
2𝑚
 
 
 
 
 
2.2 – Operadores 
 
 Afinal o que são esses operadores? 
 Interpretamos como uma função F que age sobre Ψ(x,t) (o que também 
vale para Ψ(x), de tal forma que o resultado FΨ(x,t) se torna uma nova função 
de x e t, de preferência uma função com utilidade (Ref. 5) 
8 
 
 Nesse segmento da física, os operadores são utilizados da forma de 
produto de alguma grandeza física f(x,t) e a função de onda: 
𝐹Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) 
(Eq. 8 – Para o melhor entendimento do que é um Operador) 
 
 Reescrevendo a Equação de Schrödinger dependente do tempo da forma 
conveniente para explicitar os operadores: 
[
−ħ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)] 𝛹(𝑥, 𝑡) = [𝑖ħ
𝜕
𝜕𝑡
] Ψ(𝑥, 𝑡) 
(Eq. 9 – Reorganização dos operadores) 
 
 A Equação deve ser válida para qualquer solução de Ψ(x,t), e ela tem 
equivalência na relação entre os operadores diferenciais: 
[
−ħ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)] = [𝑖ħ
𝜕
𝜕𝑡
] 
(Eq. 10 – Operadores diferenciais de Ψ(x,t) explicitados) 
 
 Ao comparar com o caso clássico, temos: 
𝑝²
2𝑚
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝐸 
(Eq. 11 – Representação de energia na Mecânica Clássica) 
 
 E finalmente podemos associar as quantidades clássicas de energia E e 
momentum p com os operadores diferenciais da Eq. 10: 
 
9 
 
𝑝 → 𝑖ħ
𝜕
𝜕𝑥
 ; 𝐸 → 𝑖ħ
𝜕
𝜕𝑡
 
(Eq. 12 – Associação entre as quantidades Clássicas e Quânticas) 
 
 
 
 2.3 – A Equação de Schrödinger independente do tempo (Ref. 5) 
 
 É de suma importância iniciar este capítulo explicitando que assim como 
a Equação de Schrödinger dependente do tempo, esta Equação independente é 
tão fundamental para a Mecânica Quântica quanto a anterior. Os Físicos 
geralmente escrevem ela da seguinte forma: 
ĤΨ = 𝐸Ψ 
(Eq. 13 – Equação de Schrödinger independente do tempo simplificada) 
 
 Onde o Ĥ representa o Operador Hamiltoniano 
Ĥ = [
−ħ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)] 
 Para compreender melhor, em muitos casos o potencial não depende 
explicitamente do tempo, mas a dependência com o tempo e com a posição 
podem ser separados na equação de onda do Schrödinger. Podemos idealizar 
que: 
𝛹(𝑥, 𝑡) = Ψ(𝑥)𝑓(𝑡) 
 Levando a expressão acima até a Equação 5 e substituindo, teremos: 
−ħ²𝑓(𝑡)
2𝑚
𝜕²𝛹(𝑥)
𝜕𝑥²
+ 𝑉(𝑥)𝛹(𝑥)𝑓(𝑡) = 𝑖ħ
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑡
Ψ(𝑥) 
10 
 
 E dividindo pela função de onda Ψ(x) f(t): 
 
−ħ2
2𝑚𝛹(𝑥)
𝜕2𝛹(𝑥)
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥) =
𝑖ħ
𝑓(𝑡)
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑡
 
(Eq. 14 – Equação de onda com dependências separadas). 
 
 É possível notar que a expressão antes da igualdade depende somente 
de x e após a igualdade depende somente de t. Dessa forma cada lado deve ser 
igual a uma constante, imaginemos o lado dependente do tempo como: 
𝑖ħ
𝑓(𝑡)
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐵 
 Ficando a expressão resultante dessa forma: 
−ħ2
2𝑚𝛹(𝑥)
𝜕2𝛹(𝑥)
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥) = 𝐵 
(Eq. 15 – Eq. De onda igualada à constante do tempo) 
 
 Agora será feita a investigação da solução para a EDO da Equação 13 
com a substituição do termo dependente do tempo por B. Integrando ambos os 
lados, temos: 
𝑖ħ ln(𝑓) = 𝐵𝑡 + 𝐶 
 Lembrando que C é a constante da integração (a qual pode ser 
considerada 0). 
 Para a partícula livre (V=0) temos que: 
𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)𝑒−𝑖𝑤𝑡 
11 
 
 Observando bem, temos 𝑓(𝑡)= 𝑒−𝑖𝑤𝑡 e assim, 𝑤 =
𝐵
ħ
 ; o que significa 
que B = E. Se a Equação 15 for multiplicada por Ψ(x,t) e B substituído por E, 
conseguimos substituindo pelo Operador Hamiltoniano, resgatar a expressão 
da Equação 13: 
−ħ2
2𝑚
𝜕2𝛹(𝑥)
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥)𝛹(𝑥) = 𝐸Ψ(𝑥) → 𝐄𝚿(𝐱) = Ĥ𝚿(𝐱) 
(Eq. 16 – Expressão final da Eq. De Schrödinger Independente do Tempo) 
 
 
 
3 - Exemplo 
 
 O Poço de Potencial Quadrado Infinito. 
 O potencial é descrito como sendo: 
𝑉(𝑥) = 𝑉0 𝑒𝑚 𝑥 ≤
−𝐿𝑥
2
 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 
 𝑉(𝑥) = 0 𝑒𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤
𝐿𝑥
2
 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼 
𝑉(𝑥) = 𝑉0 𝑒𝑚 𝑥 ≥
𝐿𝑥
2
 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼𝐼 
 A Equação de Schrödinger do Poço Infinito nas regiões I e III é denotada 
por: 
−ħ2
2𝑚
1
𝛹
𝜕2𝛹(𝑥)
𝜕𝑥2
= 𝐸 − 𝑉0 
 
 Fazendo: 𝑎2 =
2𝑚(𝑉0−𝐸)
ℎ2
 é possível a representação: 
𝜕2𝛹(𝑥)
𝜕𝑥2
= 𝑎²Ψ 
12 
 
 Considerando que no infinito, as equações de onda assumem o valor de 
0, as soluções para essa equação são as seguintes: 
𝛹1 = 𝐴𝑒
𝑎𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 
𝛹3 = 𝐵𝑒
−𝑎𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼𝐼 
 
 Agora nos resta a solução para o próprio poço, onde o potencial é zero e 
a equação fica representada como: 
𝜕2𝛹
𝜕𝑥2
= −𝑘²Ψ 
 Onde 𝑘 = √
2𝑚𝐸
ℎ²
 
 Como solução obtemos: 
𝛹2 = 𝐶𝑒
𝑖𝑘𝑥 + 𝐷𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼𝐼 
 
 Levando em consideração as condições de contorno, requerem que: 
𝛹1 = 𝛹2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 =
−𝐿𝑥
2
 𝑒 𝛹2 = 𝛹3 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 =
+𝐿𝑥
2
 
(Ref. 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
4 – Conclusão 
 
 
 Foi discutida brevemente o processo da descoberta de Schrödinger e a 
nova visão dada a Mecânica Quântica por Max Born que, mesmo sendo bem 
criticada por físicos renomados como Einstein (que disse que o universo não é 
um jogo de probabilidade, insinuando que Deus não joga dados com o universo), 
é um método que mostrou ser o eficiente por ora para previsão de fenômenos 
quânticos, portanto, utilizado hodiernamente. 
 A introdução à Mecânica Quântica é inerente à Equação de Schrödinger, 
e por isso ambas foram discutidas juntamente, sendo relembrado as 
propriedades de uma Equação de Onda e a Equação de Schrödinger 
Dependente do Tempo (ou Equação Fundamental da Mecânica Quântica) 
deduzida coloquialmente neste trabalho. 
 Foi visto também os Operadores, que são como chaves que acompanha 
a diferenciação comum nos dois lados da E.D.O, ela é essencial para 
resgatarmos a famosa expressão ĤΨ = 𝐸Ψ ou outras expressões explicitando 
operadores de momentum linear, momentum angular, etc. 
 Enfim, na Equação de Schrödinger Independente do Tempo foi mostrado 
passo a passo a forma como foi separado as dependências tempo e espaço e a 
partir de uma simples substituição, conseguimos a expressão final da Equação 
de Schrödinger Independente do Tempo (Eq. 16) tanto como a recuperação da 
expressão ĤΨ = 𝐸Ψ . 
 
 
 
 
 
 
14 
 
5 - Referências 
 
 
- Erwin Schrödinger. Wikipedia, 2021. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger>. Acesso em: 05 de 
Janeiro de 2021. (1) 
 - Erwin Schrödinger biography. Browse Biography, 2011. Disponível em: 
<http://www.browsebiography.com/bio-erwin_schr_dinger.html>. Acesso em: 06 
de Janeiro de 2021. (2) 
- Função de Onda. IFI UNICAMP. Disponível em:<https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/1OrigensMecanicaQuantica/3OatomodeSchr
odinger/OatomodeSchrodinger.html>. Acesso em: 06 de Janeiro de 2021. (3) 
- Variedades de função de onda / Os postulados da Mecânica Quântica. 
Hyperphysics. Disponível em: <http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html#c4>. Acesso em: 06 de Janeiro de 2021. 
(4) 
- GALLAS, Marcia R. IF UFRGS. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/~marcia/MQ_aula4.pdf>. Acesso em: 06 de Janeiro de 
2021. (5) 
- WESTERA, Pieter. Aula 6 – Operadores, Equação de Schrödinger UFABC. 
Disponível em: 
<http://professor.ufabc.edu.br/~pieter.westera/QuanticaAula06.pdf>. Acesso 
em: 07 de Janeiro de 2021. (6) 
 
 Além das referências citadas acima, houve muitas que eu não citei pois 
fazem parte de conteúdo de vídeo aulas e também conteúdo do material que o 
professor passou no Google Classroom, a qual foi utilizado durante o trabalho 
todo e por isso não houve a especificação nas partes. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger
http://www.browsebiography.com/bio-erwin_schr_dinger.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html#c4
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html#c4
http://www.if.ufrgs.br/~marcia/MQ_aula4.pdf
http://professor.ufabc.edu.br/~pieter.westera/QuanticaAula06.pdf