trabalho mec quantica _apresentaçãotxt

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após a mudança de base de onda plana pra onda esférica,
apresentada pelo higo, agora a gente vai olhar o efeito 
quando a gente liga um potencial esfericamente simétrico
A primeira coisa que vai ajudar a gente é lembrar do operador
de transição, que leva o estado de partícula livre ao autoestado
da soma do hamiltoniano da partícula livre junto somado ao potencial/
isso vai ajudar a gente de algumas maneiras, a primeira é que a 
amplitude de espalhamento vai poder ser escrita dessa forma. Agora, já
que a base de onda esférica é completa, ela deve obedecer essa relação
de completeza, e a gente usa isso pra colocar um no meio dessa amplitude
de espalhamento aqui. Agora, a gente sabe quem são esses dois termos aqui,
pq o higo mostrou pra gente,/ mas a gente não sabe quem é esse camarada aqui.
Como a gente pode obter ele? Pra isso, a gente vai utilizar um conceito lá do
cap 3/ o teorema de wigner-eckart. Aqui, a gente tem um operador tensor esférico
de rank k e componente q. Esses aqui são autoestados do momento angular (J^2 ou Jz).
Então, o que o teorema diz aqui é que os elementos de matriz desse tensor em relação
à esses autoestados aqui é igual à esses termos. Esse primeiro representa um estado
em que vc tem um momento angular j, com número quântico magnético m, somado a um 
momento angular k, com número quântico q, e esse estado tá sendo projetado no estado
jlinha mlinha. Esse termo é chamado de coeficiente de clebsh-gordon. Já esse último
termo é todo uma constante, um fator de proporcionalidade, essa parte de cima é
chamada de elemento de matriz reduzida, e vcs percebem q independe dos m's e de q.
No caso específico em que esse operador é escalar, ou seja, k=q=0, nesse termo, vc
vai tá somando zero ao momento angular, então o q vc vai ter é simplesmente a projeção
desse estado nesse aqui, ou seja, uma delta, uma delta pra j e uma pra m, com a constante
inalterada. Com sorte, o nosso operador transição é escalar, já que ele é esfericamente
simétrico, de modo aquele termo que eu tinha destacado no slide anterior fica / dessa forma,
só que ao invés de uma delta em j, vai ser em l, e esse termo aqui q é uma função de l e a 
energia.\
Voltando à amplitude de espalhamento, a gente sabe todos esses termos aqui, tão aqui eles.
Aplicando eles, essas deltas aqui vão matar dois somatórios, e cortando alguns termos, a gnt
vai ter isso.\ Agora, a gente pode destacar esses harmônicos esféricos aqui,\ que têm essas 
dependências angulares. No nosso caso, a gente escolhe que o feixe de partículas incidentes tá
na direção z, o que implica que esse ângulo aqui vai ser zero, além disso, m, associado à essa
dependência angular, tbm vai ser zero. Com tudo isso, o harmônico esférico associado à direção
do feixe incidente vai ser esse, enquanto o harmônico esférico associado à direção de espalhamento
vai ser esse, onde esse ângulo aqui é o ângulo entre as duas direções. \
Com isso, a nossa amplitude de espalhamento vai ficar dessa forma, e substituindo os valores dos
harmônicos esféricos, a gente tem essa forma final da amplitude de espalhamento, onde a gente
define essa quantidade, chamada de \ amplitude da onda parcial. Ela é particular pra cada onda 
parcial pq cada uma delas vai possuir um l diferente. Mas além disso, a gente pode dar um inter-
pretação mais física do que essa amplitude significa. Pra isso, / a gente tem que ver o efeito 
que ela tem na função de onda à uma distância muito grande de onde a interação com o potencial 
acontece, já que é essa a situação real, onde o detector taria posicionado, que de maneira geral
tem essa forma. Agora, como a gente viu na última seção, esse termo aqui da onda plana pode ser
escrito dessa forma, em que, pra um r grande, a gente pode fazer essas aproximações aqui. Com elas,
a função de onda de onda assume essa forma. O que a gente tá vendo aqui é que, à uma distância muito
grande, a gente têm duas ondas esféricas, uma emergente, e uma imergente. Essa onda emergente tem esse
coeficiente aqui que surge do espalhamento do potencial, você vê. 
Agora, uma análise que a gente pode fazer desse resultado é em relação \ conservação de probabilidade.
Então a gente tem aqui a equação de continuidade pra essa corrente e densidade de probabilidade. Se eu
to numa representação independente do tempo, essa derivada vai ser zero, ou seja, a probabilidad de eu 
achar uma partícula num volume unitário não se altera, e o divergente dessa corrente de probabilidade vai
ser zero. Passando uma integral volumétrica e aplicando o teorema de gauss, essa integral superficial dessa
corrente vai ser nula. Esses duas equações querem dizer pra gente que não existem nem fontes nem sorvedouro
de partículas. Na nossa função de onda aqui em baixo, isso significa que o fluxo de ondas emergentes tem que
ser igual ao de ondas imergentes. Mais precisamente, a magnitude desse coeficiente na frente aqui deve ser igual
à magnitude desse aqui. Ou seja, definindo um / sl de k, o quadrado dele deve ser igual a um, a chamada relação de
unitariedade. Então agora a gente tem a interpretação total da influência do potencial no espalhamento:/
primeiramente a gente fez essa mudança de base, de um estado de espalhamento, um estado sem simetria esférica e sem
momento angular bem definido, pra esse estado aqui, com momento angular bem definido l, e simetria rotacional. Vc
vê que esse estado aqui, que é onde a gente tá trabalhando, é formado pela soma de várias ondas parciais, cada uma
com o seu l, daí vem o nome método. Mas enfim, o efeito que o potencial vai ter aqui é que, na onda emergente, uma 
/ fase vai ser adicionada, e a gente pode escrever o nosso s l com essa fase, em que esse 2 aqui é um fator pra 
deixar as contaas bonitas. Então é isso que tá acontecendo a gente muda de base e introduz o potencial esfericamente
simétrico.
Com esse s l definido, a gente pode também escrever a / amplitude da onda parcial em função dele, e, consequentemente,
a amplitude de espalhamento. E como a gente viu na seção 7.1, / a seção de choque diferencial se relacional com o quadrado
da amplitude de espalhamento, dessa forma aqui. E a partir daqui, a gente consegue facilmente obter a seção de choque 
total, observando essa diferencial do ângulo sólido e a relação de ortogonalidade dos polinômios de legendre, a gente tem
essa seção de choque total. Já a partir dessa seção de choque total, a gente pode verificar o teorema óptico, que relaciona
a seção de choque com a parte imaginária da amplitude espalhamento com espalhamento pra frente (por isso theta igual a zero).
Com a amplitude de espalhamento em função da fase, e fazendo esse theta igual a zero, a gente consegue de fato obter o teorema
óptico, o que é excelente pra checar a validade da nossa mudança de base.
E como a gente tá fazendo cálculos que envolvm a amplitude de espalhamento, é interessante ver como a \ amplitude da onda 
parcial muda em função da fase. Pra isso, lembrando que a amplitude da onda parcial pod ser escrita dessa forma, rescrevendo
ela, a gente tem essa equação aqui. PLotando isso no plano complexo, a gente tem um círculo, de raio 1/2, em que os valores de
kf tão. Esse círculo é centrado em 0.5 no eixo imaginário, como tá nessa figura aqui, e a gente pode dizer que a fase é esse
ângulo entre o eixo imaginário e o vetor que liga o centro do círculo à um ponto sobre ele, e daqui a gente vê diretamente que,
com uma fase muito pequena, kf vai se encontrar perto da parte de baixo do círculo, ou seja, quase real, enquanto pro caso em que
a fase é igual a pi sobre 2, kf é quase puramente imaginário, que é uma situação em que a onda parcial pode tá em ressonância, que
é um conceito que vai ser apresentado mais pra frente.
/ a última coisa que eu queria falar é sobre outra conexão com um efeito que a gente já viu em seções anteriores, que é a 
aproximação eikonal. Só pra lembrar rapidamente, a aproximação eikonal é um tratamento semiclássico válido pra altas energias
e
potenciais que têm uma pequena área de atuação. Então aqui a gente tem as partículas vão descrever a trajetória clássica de 
uma linha reta em direção ao potencial, que a gente pode definir esse parâmetro de impacto aqui. Como é um tratamento semiclássico,
a gente se dá a liberdade de fazer algumas aproximações aqui. Agora, como o momento angular é r vetor p, o módulo dele vai ser 
justamente bp. Agora, nessa expansão em ondas parciais, cada uma das ondas vai possuir um valor de momento angular l diferente, de
modo que esse momento angular aqui vai ser proporcional à agá cortado l, em que esse l é o número quântico associado à respectiva 
onda parcial, enquanto o momento linear, como a gente sabe, vai ser proporcional à agá cortado k. Assim, l vai ser igual a bk. Ainda,
existe um valor de l máximo, que é o produto do parâmetro de impacto com o máximo que o potencial alcança. Acima disso, não tem interação
com o potencial. Com isso, a gente pode fazer as seguintes/ aproximações. O somatório de l vira uma integral em b, os polinômios de legendre
viram funções de bessel de primeira espécie com n=0, e a fase adquirida pela onda esférica emergente vira esse delta b, que é uma integral do
potencial em função de z e do parâmetro de impacto. Nesse caso, a fase pode ser obtida diretamente pelo potencial.
Agora, vou passar a palvra pro joão, que vai falar justamente sobre a determinação desses desvios de fase, com alguns exemplos. 
\forma