slides-63-65[1]

Prévia do material em texto

1
6.3 Bases ortonormais
• Conjunto ortogonal: conjunto de vetores 
ortogonais entre si
• Conjunto ortonormal: conjunto ortogonal 
onde todos os vetores tem norma igual a 1
• Exemplos 1 e 2, p. 215
Revisão: independência linear e 
bases
• Independência linear:
k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ ... + k
n
v
n
= 0
somente para k
1
= k
2
= ... = k
n
= 0
• Base: S={v
1
,v
2
,...,v
n
} é uma base de V se:
– S é linearmente independente
– S gera V, i.e., cada vetor u Є V pode ser 
escrito na forma:
u = c
1
v
1
+ c
2
v
2
+ ... + c
n
v
n
Independência linear e 
ortogonalidade
• Todo conjunto ortogonal ou ortonormal é
linearmente independente
– Prova no livro: teorema 6.3.3, p. 217
Base ortogonal ou ortonormal
• Base ortogonal: base composta por 
vetores ortogonais entre si
• Base ortonormal: base ortogonal onde 
todos os vetores tem norma igual a 1
– Exemplo mais comum: base canônica
• u
1
= (1,0,0)
• u
2
= (0,1,0)
• u
3
= (0,0,1)
Coordenadas em relação a uma 
base ortonormal
• S: base ortonormal do espaço V
S = {v
1
,v
2
,...,v
n
}
• u Є V
• Coordenadas de u em relação a S:
u = <u,v
1
>v
1
+ <u,v
2
>v
2
+ … + <u,v
n
>v
n
• (u)
S
= (<u,v
1
>, <u,v
2
>,…, <u,v
n
>)
• Exemplo 3, p. 216
projeção de
u em v
1
projeção de
u em v
2
projeção de
u em v
n
Norma, distância e produto interno 
em bases ortonormais
• Seja:
S: base ortonormal
(u)
S
= (u
1
, u
2
, ... , u
n
) [coordenadas de u em relação a S]
(v)
S
= (v
1
, v
2
, ... , v
n
) [coordenadas de v em relação a S]
• Então:
||u|| = √( u
1
2 
+ u
2
2 
+ ... + u
n
2
)
d(u,v) = √[ (u
1
-v
1
)
2 
+ (u
2
-v
2
)
2 
+ ... + (u
n
-v
n
)
2
]
<u,v> = u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ ... + u
n
v
n
• Independentemente de qual o produto interno!
2
Norma, distância e produto interno 
em bases ortonormais
• Em outras palavras: trabalhando com 
coordenadas em relação a bases 
ortonormais, a norma, distância e produto 
internos podem ser calculados usando o 
produto interno euclidiano
• Exemplo 4, p. 216
Coordenadas em relação a uma 
base ortogonal
• S: base ortogonal do espaço V
S = {v
1
,v
2
,...,v
n
}
• Normalizando S → base ortonormal S’
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧=
n
nS
v
v
v
v
v
v ,...,,'
2
2
1
1
• Coordenadas de u em relação a S’
• Coordenadas de u em relação a S
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧=
n
nS
v
v
v
v
v
v ,...,,'
2
2
1
1
n
n
n
n
v
v
v
vu
v
v
v
vu
v
v
v
vuu ,...,,
2
2
2
2
1
1
1
1 +++=
{ }nS vvv ,...,, 21=
n
n
n v
v
vu
v
v
vu
v
v
vu
u 222
2
2
12
1
1 ,...
,, +++=
Base ortogonal: Base ortonormal:
Projeções ortogonais
• Seja:
W : subespaço de V
u Є V
• Pode-se escrever:
u = w
1
+ w
2
onde: w
1
Є W
w
2
Є W┴
w
1
: projeção ortogonal de u em W
w
1
= proj
W
u
w
2
: componente de u ortogonal a W
w
2
= proj
W┴u
Reescrevendo
u = w
1
+ w
2
w
1
= proj
W
u
w
2
= proj
W┴u
u = proj
W
u + proj
W┴u
proj
W┴u = u − projWu
u = proj
W
u + (u − proj
W
u )
Cálculo da projeção
• u Є V , W é subespaço de V
• Se {v
1
,v
2
,...,v
n
} é base ortogonal de W:
• Se {v
1
,v
2
,...,v
n
} é base ortonormal de W:
n
n
n
W v
v
vu
v
v
vu
v
v
vu
u 222
2
2
12
1
1 ,...
,,
proj +++=
nnW vvuvvuvvuu ,...,,proj 2211 +++=
Exemplo 6, p. 218
3
Encontrando bases ortogonais
Processo de Gram-Schmidt
{u
1
,u
2
,...,u
n
} é base de V
Obter base ortogonal de V: {v
1
,v
2
,...,v
n
} 
( )
( )
( )
( ) 12
1
1
22
2
2
12
1
1
22
2
23
12
1
13
33
12
1
12
22
11
,,,
,,
3
,
2
1
−
−
−−−−−=
−−=
−=
=
n
n
nnnn
nnn v
v
vu
v
v
vu
v
v
vu
uv
v
v
vu
v
v
vu
uv
v
v
vu
uv
uv
L
M
Exemplo 7, p. 219
Encontrando bases ortonormais
• Use o processo de Gram-Schmidt para 
encontrar uma base ortogonal
• A seguir, normalize cada vetor para obter 
uma base ortogonal
• Exemplo 7, p. 219 (continuação)
Não será cobrado
• Decomposição QR
– pp. 220-221
• Seção 6.4: solução de mínimos quadrados
– pp. 223-227
Exercícios
• Seção 6.3, p. 221-223:
7c, 8, 11b, 14a, 17b, 22
Seção 6.5
Matrizes ortogonais; Mudança de base
Matrizes ortogonais
• A : matriz n×n
• Afirmações equivalentes:
– Os vetores-linha de A formam um conjunto 
ortonormal em relação ao p.i. euclidiano
– Os vetores-coluna de A formam um conjunto 
ortonormal em relação ao p.i. euclidiano
– A
-1 
= A
T
– A A
T 
= A
T 
A = I
– A é uma matriz ortogonal
• Prova: Teorema 6.5.1, p. 229
4
Exemplo 2, p. 229:
matriz de rotação
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= θθ
θθ
cossen
sencos
A
Teorema
• Se A é ortogonal, A
-1
é ortogonal
• Se A e B são ortogonais, A×B é ortogonal
• Se A é ortogonal, det(A) = ±1
• Exemplo 3, p. 230
Matrizes ortogonais como 
operadores lineares
• A : matriz n×n
• Afirmações equivalentes:
– A é ortogonal
– ||Ax|| = ||x|| p/ qq x Є IRn
– (Ax)•(Ay) = x•y p/ qq x e y em IR
n
• Prova: Teorema 6.5.3, p. 230
Operador ortogonal
• A : matriz ortogonal n×n
• Ax : multiplicação por A é um operador 
ortogonal de IR
n
– T : IR
n → IRn
– Mantém norma de x inalterada: IIAxII = IIxII
Matrizes de coordenadas
• S = { v
1
, v
2
, ..., v
n
} : base de V
• v Є V
• v = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ … + k
n
v
n
• Coordenadas de v em relação a S:
(v)
S
= (k
1
,k
2
,…,k
n
)
• Matriz de coordenadas de v em relação a S:
k
1
[v]
S
= k
2 (matriz n×1)
· · ·
k
n
Mudança de base
• Base antiga: B’ = {u
1
’, u
2
’, ... , u
n
’}
• Base nova: B = {u
1
, u
2
, ... , u
n
}
• Se mudarmos da base B’ para a base B, 
qual a relação entre [v]
B’
e [v]
B
?
• Exemplo para o IR
2
(pag. 230)
5
Mudança de base:
matriz de transição
• De: B’ = {u
1
’, u
2
’, ... , u
n
’}
• Para: B = {u
1
, u
2
, ... , u
n
}
• P : matriz de transição (de B’ p/ B)
P = [ [u
1
’]
B
| [u
2
’]
B
| ... | [u
n
’]
B
]
• [v]
B
= P [v]
B’
• Exemplo 4, p. 231
Transição B para B’
• Seja: [v]
B
= P [v]
B’
• P é invertível (vetores-colunas são L.I.)
• Então:
P
-1
[v]
B
= P
-1
P [v]
B’
[v]
B’
= P
-1
[v]
B
Mudança entre bases ortonormais
• Vetores-coluna de P são ortonormais
• P é uma matriz ortogonal
• P
-1
= P
T
• [v]
B’
= P
T
[v]
B
Exercícios
• Seção 6.5, pag. 234–235
– 1
– 5b
– 6a
– 10
– 12