Produto Escalar e Ortogonalidade de Vetores

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Aula 13 - Produto escalar 
entre vetores/Ortogonalidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Def O produto escolar ou produto
n
enterno entre dois vetores do R
ii eu
é o número
n
V.V Upon Ur Tat Union Ui Oi
produto escapar
in
outra notação Lu v v.v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo
Ele Hit
V.V 1 3 2.5ft f 3 2
3 10 6 p
Teorema Sejam U V e w vetores da lã
e a um número real Então
a V.V V U
b v v W v.v U w
c Ku V KLU.it 4 kv
d u.us 0 e v.v o ao
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
trava d
U UM Us U t 42.4 t Un Un
Usp UIT the 70
U.u 142 444 Unf O
To
União NÃO funfo
Up U2 Um O
U O
F
umfiqd.at
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V.V 2T 2 3 2 6 4 LO
U.U 1 1 2 I 2 1 4 5
Vou 2 1 3 C 2 2 6 4
Exemplo mostre que
Utv UH LUN U UN V
v Vtv V utu
U.U 1 4 v t V U t V.V
U.U 2 v.v v.v
Definição O comprimento ou normal
do vetor v
µ é o número
11H t.ve
comprimento ou norma do vetor V
Hull MNitwit font
Enzo v
NA O l à E É
1 O tt 4 1 9
CÁ
teorema Sejam v um vetor do ir e k
um número real Então
a Hull o v _o VÉI
b 4h41 1141141
Def Normalizar um vetor não nulo v
é multiplicar o vetor pelo inverso do
seu comprimento
Exemple Normalize o vetor
I
Redação
HV It NÉ MI
mi ETEÊ
Hull Ft 14
Hull M 1
Ef Um vetor unitário é todo vetor
com compumento qual a 1
Teorema Desigualdade de
Candy Schwarz
Para quaisquer vetores u e V
do fê
NY eHull IIVII
v.v O 4 3 6 7 6 1
UH VÉI 3N
HUH o y 1 g
v.v L Hull Hull
teorema Desigualdade triangular
Para quaisquer vetores u e V do ir
HutVII e II
ulltllvh.pro
Hum à utu un
U.U t 2 v.v 1 V.v
e U.U 214.01 V.V
E 11412 2 1141.1141 11h12
HUH 11h15
U
U V
H U t vH I 11411 1141
ExempIo p
a µ
un µ
UNA Í A
Hull FÃO p
VII FI
Hut VII e Hull 1 1141
Fã ã
pena VI
6 6 E 8.4
Ref A distância entre os pontos
a E eu i
número
d un 11 u VII
Energy Determine a distância entre
4 4 p
II tt
tdlu
v HU VH f2 1 t 1 2
Vetores ortogonais
DI Dois vetores u e v do nê são
ortogonais se v.v 0
Exemple se Iv _µ
V.V O O O O
go u e V são ortogonais
ie
v.v O 2 6 8 0
Logo a e V são ortogonas
Teorema de Pitágoras III
Para todos os vetores reev de ir
HutVII_HulftHolf v.v O
vetores
ortogonais
Prova
11UNIR Mit 2 v.v 11VIR Ímos
114ft IIVII
u
1141
1141
Conjuntos ortogonais de vetores
Def Um conjunto de vetores
va va vial da Rn é um
conjunto ortogonal se todos os
pares de vetores distintos forem
ortogonais isto é
vi Vj 0 se é z
e 1,2 ik
J 1,2 K
Exempt A base canônica desta en
do ar é um conjunto ortogonal
E cz O
i
Ci ej 0 se é j
FEmpho Mostre que 1 h
K V b é um
subconjunto ortogonal do ir sendo
4 I vel Y_µ
Resolução
4 Vz U2 V O 1 1 0
VI Vs Vsvs 2 1 1 0
z.ws vz.dz O 1 1
O
Teorema se 14 va VII é um
conjuntoortogonal de vetores
não nulos de pê então
vi vz Url é linearmente independent
fro va
C V Cz V z Cicva O
9 Vs t Cruz Clave Vp ONy O
1
vn.vn Cruz V t 1 KVK.tk O
1141170 O
0
Logo q 0
Analogamente c Cz Ck 0
Det Uma Laser de um subespaço vetorial
w do Mn é ortogonal ser por um
conjunto ortogonal
Enremplo Os vetores
A ftp.viff evs ff
formam uma base ortogonal
da ré
Redução já vimos que
µ K Us é um conjunto
ortogonal com vetores não
nulos
Logo 44 vais 1 él r tartufo
base ortogonal do pé
Teorema Seja B Lv vn V e uma
baseortogonal de um subespaço
vetorial Wdf IR Seja w e W
Então as coordenadas
K
de w na base B são dadas por
Ci W Vi i p 2 K
vi vi
m
7 7
www.villvrlf
Justificativa
W 44 lzvz i t
CKVKW.vpfpvr lzvz i I CK.vn V
C Vp Vp T czvz.bg t CKVK.ve
0 O
q w.ve Analogamente
Viva
O
O
Analogamente
Cz W.ve Cr w.LI
vk.ve
Exemplo Determine as coordenadas
do
vetor w É em relação à base
ortogonal B 4 Va Va V Y
onde
viii tititi
Resolução
C With L 12 3 1
Vivi 4 1 1 6
W 0 2 3 E
z.ve 0 1 1 2
W 3 1 2 3 2
3 Vs 1 1 1 3
miff
Hittite
iii Hit
Def Um conjunto de vetores Iva Mcl
da Rn é um conjunto orto normal se
Vai Nr for um conjunto ortogonal
e Live Via são vetores decomprimento1 isto é
vi Vj O
sei j
o
Vi vi L se e p
Def Uma base orto normal de um
subespaço vetorial w é
uma base de
w que é um conjunto
ortonormal
Ii
mind
B 14 V S é uma baseorthonormal
do Mpas
4 vi viva FÉ É FÉ
O
4 V t t t t t t É
tt f 1
4 A Ir É E E É
f t f t f f 1
Logo B é uma
base orto normal
do Ã
Teorema Seja B viva V e uma
base orto normal de um subespaço
vetorial W de IR Seja w e W
Então as coordenadas
K
de w na base B são dadas por
i W Vi i 1 2 K
Projeção ortogonal
7
U 7
A W
ptgwt fv.EE
it
O
SejamW um subespaço vetorial de
Mel vk.ua 1 Uk uma base
ortogonal
de W A projeção ortogonal
de um vetor V sobre W é o
vetor
www fi mtlIItm
ifiFteExempb
W ffIz a y 23 0
III
Encontre prywlv
Resolução
W ftp.a ytsz o
taxi
B III f é base de w
mas w não é base ortogonal
e w
f Y
Us O
Y 2J y
O
2J 22 0
y p
we musé base
ortogonal
III
III
www fi fm lIifu
fzHl fFtfit
l tH
Processo de Ortogonalização
de Gram Schmidt
Seja Ya Mr base de um
subespaço vetorial W.de m
Define
V Xp
E K f ti
s pfvr a
vi link felitti
Então
unir Mas é base ortogonal deW
Exemple
EI
HI
W span Xp Xu XD
B ftp.xnxzt é base de W
vem
nf
i O
l
ZKxa fj.IN
4
tititi
É
z im FÉ
tititi
i
Mínimos Quadrados
F Ã
ir o_projw
v
i
i itW
proju
Projw v projeção ortogonal de
no subespaço W
B turma UK base ortogonal de W
maior total µ mt
Sejayewcomy
fprojwlvlv
y v prgwlvi prg.ws y
r E W
é ortogonal a qualquervetor em W
Pelo Teorema de Rtajoras
Ho zi v prgwhrlftpprgjr.sk
lo yIisl1v prgwlvyf
o
Ho YI Ho preguinha
dlv.gr sd v projwlvD V yew
com
distância yfprgu.lv
Concluindo produlviéovetordew
mais próximo dev
Método dos Mínimos Quadrados
A x D sistema linear
combinação inconsistente
lineardas sobredeterminado
colunas de A tem equações min
demais
i w _cota
É Ar revi
Aê é um subespaço
w vetorial
HAE blfm.nl AxbIlxEtR
Aâ b c Núcleo At tn
kernel
Atlas b ao
ÂAâ Atb 0
ATA â A
sistema
linear quadrado
Teorema Seja A uma matriz mxn
com msn.se as colunas de A
forem l i então eIa é emotiva
Logo â LÁATÉb
Exemple Considere o sistema linear
4 24 20
Encontre a melhor solução 4 do
s ar
sistema
Resolução
E X
À T
atitifol
1
Logo as colunas de A são h
Assim Ata é envertível
Atatê AI
ate
t H
Ii p
Ata AI
p t.is
iii Ii
E D
 6 Ê 25
35 Ê 130 â 2
7
 25 6 f Ef
à E7
 e 2,71
à E 3,71
Exemple Suponha que algum sistema
é modelado pela função quadrática
f n art but C
onde a b e a são constantes
Dados experimentais
K 1 2 3 4
fpe 1 10 9 16
Encontre os valores de a b e C
Resolução
A 12 b 1 c 1
a É b 2 c 10
A 32 b 3 e 9
aí b 4 c 16
X H
16 4 1
F T
al t.lt I p
iii
Ii P
Logo ATA é envertível
p
E
ialê ato
i
cê 0,5 ft 1 0,5
2 6 sn 4,5
Â_E 6,9
10
Ô f 4,5