PROCESSO-GRAM-SCHMIDT (1)

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Bases ortogonais são importantes porque existe um procedimento padrão para 
encontrar as coordenadas de um vetor qualquer em relação a elas. 
 
Exemplo 
O conjunto 𝛽 = {(1,3), (3, 𝛼)} é uma base ortogonal do 𝑅2em relação ao produto 
interno usual. 
a) Determine o valor de 𝛼. 
b) A partir de 𝛽, construa uma base 𝛽′, ortonormal. 
c) 
Solução 
a) Sendo 𝑢 = (1,3) e 𝑣 = (3, 𝛼) 
〈𝑢, 𝑣〉 = 〈(1,3), (3, 𝛼〉 = 1 ∙ 3 + 3 ∙ 𝛼 = 0 
⇒ 3 + 3𝛼 = 0 ⇒ 𝛼 = −1. 
b) 𝛽 = {(1,3), (3, −1)} 
𝑢
‖𝑢‖
= 
1
√11 + 32
 (1,3) = (
1
√10
,
3
√10
) 
𝑣
‖𝑣‖
= 
1
√32 + (−1)2
 (3, −1) = (
3
√10
,
−1
√10
) 
Portanto 
𝛽′ = {(
1
√10
,
3
√10
) , (
3
√10
,
−1
√10
) }. 
 
Definição (Coeficientes de Fourier) 
Seja 𝑉 espaço vetorial com produto interno, 𝛽 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} uma base 
ortogonal de 𝑉 e 𝑤 um vetor qualquer de 𝑉. Vamos calcular as coordenadas de 
𝑤 em relação a 𝛽. Sabemos que 
𝑤 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 
〈𝑤, 𝑣𝑖〉 = 〈𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛, 𝑣𝑖〉 
〈𝑤, 𝑣𝑖〉 = 𝛼1〈𝑣1, 𝑣𝑖〉 + 𝛼2〈𝑣2, 𝑣𝑖〉 + ⋯ + 𝛼𝑖〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑖〉 + ⋯ + 𝛼𝑛〈〈𝑣𝑛, 𝑣𝑖〉〉 
〈𝑤, 𝑣𝑖〉 = 0 + 0 + ⋯ + 𝛼𝑖〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑖〉 + ⋯ + 0. 
2 
 
e queremos determinar a i-ésima coordenada 𝛼𝑖. Para isto, façamos o produto 
interno da combinação linear acima por 𝑣𝑖 . Então 〈𝑤, 𝑣𝑖〉 = 𝛼𝑖〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑖〉 donde 
𝛼𝑖 =
〈𝑤, 𝑣𝑖〉
〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑖〉
. 
Esta coordenada é chamada coeficiente de Fourier de 𝑤 em relação a 𝑣𝑖 . 
 
 
Exemplo 
Seja 𝑉 = 𝑅2 com produto interno usual e 𝛽 = {(1,1), (−1,1)}. Observe que 𝛽 é 
uma base ortogonal pois 〈(1,1), (−1,1)〉 = 1 ∙ (−1) + 1 ∙ 1 = 0. Calcule [(2,3)]𝛽 . 
Solução 
Note que 
(2,3) = 𝛼1(1,1) + 𝛼2(−1,1) 
em que 𝛼1 e 𝛼2 são as coordenadas do vetor (2,3) em relação à base 𝛽. 
〈(2,3), (1,1)〉 = 〈𝛼1(1,1) + 𝛼2(−1,1), (1,1)〉
= 〈𝛼1(1,1), (1,1)〉 + 〈𝛼2(−1,1), (1,1)〉
= 𝛼1〈(1,1), (1,1)〉 + 𝛼2〈(−1,1), (1,1)〉
 
O termo 𝛼2〈(−1,1), (1,1)〉 = 0, e assim, 
𝛼1 = 
〈(2,3), (1,1)〉
〈(1,1), (1,1)〉
=
5
2
. 
Analogamente, 
〈(2,3), (−1,1)〉 = 〈𝛼1(1,1) + 𝛼2(−1,1), (−1,1)〉
= 〈𝛼1(1,1), (−1,1)〉 + 〈𝛼2(−1,1), (−1,1)〉
= 𝛼1〈(1,1), (−1,1)〉 + 𝛼2〈(−1,1), (−1,1)〉
 
O termo 𝛼1〈(1,1), (−1,1)〉 = 0, e assim, 
𝛼2 = 
〈(2,3), (−1,1)〉
〈(−1,1), (−1,1)〉
=
1
2
. 
Portanto, 
3 
 
[(2,3)]𝛽 = [
5
2
1
2
]. 
 
Exemplo 
Seja 𝑉 = 𝑀2(𝑅) e considerando a base 
𝛽 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} = {[
1 1
1 1
] , [
1 1
−1 −1
] , [
1 −1
1 −1
] , [
−1 1
1 −1
]}, 
Verifique que 𝛽 é uma base ortogonal e encontre os coeficientes de Fourier do 
vetor 𝑢 = [
1 2
3 4
] com relação à base 𝛽. 
Solução 
Note que 
𝑣1 = 1 ∙ 𝑒1 + 1 ∙ 𝑒2 + 1 ∙ 𝑒3 + 1 ∙ 𝑒4
𝑢 = 1 ∙ 𝑒1 + 2 ∙ 𝑒2 + 3 ∙ 𝑒3 + 4 ∙ 𝑒4
 
Sendo 
𝑒1 = [
1 0
0 0
] , 𝑒2 = [
0 1
0 0
] , 𝑒3 = [
0 0
1 0
] , 𝑒4 = [
0 0
0 1
]. 
Logo, 
〈𝑢, 𝑣1〉 = 10
〈𝑣1, 𝑣1〉 = 4
 
Assim, o primeiro coeficiente de Fourier é: 
𝛼1 =
〈𝑢, 𝑣1〉
〈𝑣1, 𝑣1〉
=
5
2
. 
Analogamente, 
𝑣2 = 1 ∙ 𝑒1 + 1 ∙ 𝑒2 − 1 ∙ 𝑒3 − 1 ∙ 𝑒4
𝑢 = 1 ∙ 𝑒1 + 2 ∙ 𝑒2 + 3 ∙ 𝑒3 + 4 ∙ 𝑒4
 
〈𝑢, 𝑣2〉 = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 3 + (−1) ∙ 4 = 1 + 2 − 3 − 4 = −4 
〈𝑣2, 𝑣2〉 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 
4 
 
𝛼2 =
〈𝑢, 𝑣2〉
〈𝑣2, 𝑣2〉
= −1, 
Analogamente, 
𝑣3 = 1 ∙ 𝑒1 − 1 ∙ 𝑒2 + 1 ∙ 𝑒3 − 1 ∙ 𝑒4
𝑢 = 1 ∙ 𝑒1 + 2 ∙ 𝑒2 + 3 ∙ 𝑒3 + 4 ∙ 𝑒4
 
〈𝑢, 𝑣3〉 = 1 ∙ 1 + (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 3 + (−1) ∙ 4 = 1 − 2 + 3 − 4 = −2 
〈𝑣3, 𝑣3〉 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 
 
𝛼3 =
〈𝑢, 𝑣3〉
〈𝑣3, 𝑣3〉
=
−1
2
, 
 
𝛼4 =
〈𝑢, 𝑣4〉
〈𝑣4, 𝑣4〉
= 0. 
 
Coordenadas em relação a bases ortogonais 
Se 𝛽 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} é uma base ortogonal de um espaço com produto interno 
então 
𝛽′ = {
𝑣1
‖𝑣1‖
,
𝑣2
‖𝑣2‖
, ⋯ ,
𝑣𝑛
‖𝑣𝑛‖
} 
é uma base ortonormal de 𝑉. Então qualquer vetor 𝑢 ∈ 𝑉 pode ser escrito como 
𝑢 = 〈𝑢,
𝑣1
‖𝑣1‖
 〉 
𝑣1
‖𝑣1‖
+ ⋯ + 〈𝑢,
𝑣𝑛
‖𝑣𝑛‖
 〉 
𝑣𝑛
‖𝑣𝑛‖
 
Podemos expressar 𝑢 como uma combinação linear dos vetores da base 
ortogonal 𝛽′ como 
𝑢 = 
〈𝑢, 𝑣1〉
‖𝑣1‖2
 𝑣1 + ⋯ +
〈𝑢, 𝑣𝑛〉
‖𝑣𝑛‖2
 𝑣𝑛 
 
 
5 
 
Projeção Ortogonal 
Seja 𝑤 um vetor não nulo. Então a projeção ortogonal de um vetor 𝑣 ao longo 
de 𝑤 é definida por 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑊𝑣 =
〈𝑣, 𝑤〉
‖𝑤‖2
 𝑤. 
 O escalar 
〈𝑣,𝑤〉
‖𝑤‖2
 é também chamado de coeficiente de Fourier de 𝑣 em relação 
ao vetor 𝑤. 
 
 
Teorema 
Suponhamos que {𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑟} seja um conjunto ortogonal de vetores não 
nulos de 𝑉. Se 𝑣 ∈ 𝑉 então 
𝛼𝑖 = 
〈𝑣, 𝑤𝑖〉
‖𝑤𝑖‖2
, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 
São os únicos números reais tais que o vetor 
𝑣′ = 𝑣 − 𝛼1𝑤1 − 𝛼2𝑤2 − ⋯ − 𝛼𝑟𝑤𝑟 
é ortogonal aos vetores 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑟 . 
 
 
Processo de Gram-Schmidt 
O Processo de Gram–Schmidt é um algoritmo para obter uma base ortogonal 
(ou ortonormal) a partir de uma base qualquer. De maneira mais geral, o método 
permite transformar um conjunto de vetores linearmente independentes em um 
conjunto ortogonal que gera o mesmo espaço vetorial. 
6 
 
Teorema 
Todo espaço vetorial 𝑉 possui uma base ortogonal. 
Prova 
Seja {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} uma base de 𝑉. Tomemos 
𝑤1 = 𝑣1
𝑤2 = 𝑣2 − 
〈𝑣2, 𝑤1〉
‖𝑤1‖2
 𝑤1
𝑤3 = 𝑣3 − 
〈𝑣3, 𝑤1〉
‖𝑤1‖2
 𝑤1 −
〈𝑣3, 𝑤2〉
‖𝑤2‖2
 𝑤2
⋮ ⋱ ⋮
𝑤𝑛 = 𝑣𝑛 − 
〈𝑣𝑛, 𝑤1〉
‖𝑤1‖2
 𝑤1 −
〈𝑣𝑛, 𝑤2〉
‖𝑤2‖2
 𝑤2 − 
〈𝑣𝑛, 𝑤𝑛−1〉
‖𝑤𝑛−1‖2
 𝑤𝑛−1
 
Pelo teorema anterior, o conjunto {𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛} é um conjunto ortogonal. Além 
disso, o conjunto {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛} é LI, cada vetor 𝑤𝑖 é não nulo. Assim, o conjunto 
{𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛} é um conjunto ortogonal de vetores não nulos de V. como, por 
definição, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑛, segue que {𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑟} é uma base ortogonal de 𝑉. 
Observação 
Decorre do processo de Gram-Schmidt que 𝑠𝑒 𝑉 tem uma base ortogonal, ele 
tem uma base ortonormal, pois os vetores de uma base ortogonal possam ser 
normalizados para produzir uma base ortonormal de V. 
 
Exemplo 
Considere 𝑅3 com o produto interno usual. Aplique o processo de Gram-Schmidt 
ao conjunto {(1,0,0), (1,1,1), (0,0,1)} para obter uma base ortogonal {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3} 
de 𝑅3. 
Solução 
𝑤1 = (1,0,0)
𝑤2 = (1,1,1) − 
〈(1,1,1), (1,0,0)〉
‖(1,0,0)‖2
 (1,0,0) = (0,1,1)
𝑤3 = (0,0,1) − 
〈(0,0,1), (1,0,0)〉
‖(0,1,1)‖2
 (1,0,0) −
〈(0,0,1), (0,1,1)〉
‖(0,1,1)‖2
 (0,1,1) = (0, −
1
2
,
1
2
)
 
7 
 
Assim, 
{(1,0,0), (0,1,1), (0, −
1
2
,
1
2
) } 
É uma base ortogonal de 𝑅3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Exemplo 
Considere 𝑅2 com o produto interno usual. Aplique o processo de Gram-Schmidt 
ao conjunto {(3,2), (1,1)} para obter uma base ortogonal {𝑤1, 𝑤2, } de 𝑅
2. 
Solução 
Solução 
𝑤1 = (3,2)
𝑤2 = (1,1) − 
〈(1,1), (3,2)〉
‖((3,2)‖2
 (3,2) = (−
2
13
,
3
13
)
 
 
(1,1) − 
5
13
 (3,2) = (1,1) − (
15
13
,
10
13
)