Diagonalização de Matrizes Simétricas e Matrizes Ortogonais

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Diagonalização de Matrizes Simétricas e Matrizes Ortogonais
	Se uma matriz real é simétrica, então é diagonalizável, tem apenas autovalores reais e sempre existe um conjunto de autovetores ortogonais associado à matriz . Assim sendo, ao construir a matriz que diagonaliza , podemos construí-la a partir de autovetores ortogonais entre si e com módulo igual a . Com isso teremos que .
· Definição – Matrizes Ortogonais: uma matriz quadrada é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa.
· Teorema: 
1- é uma matriz ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
2- A é uma matriz ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal. 
	Um conjunto de vetores é ortonormal se seus elementos são ortogonais entre si e têm módulo igual a 1 (com relação ao produto interno euclidiano).
PROVA
1- Se e são vetores pertencentes a , expressos como vetores coluna, então o produto interno euclidiano (produto escalar) entre e é igual ao produto matricial , que é igual a . Isto é:
Assim, seja é uma matriz ortogonal () e sejam os vetores COLUNA de , logo:
Então e sempre que , com e .
Portanto, as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores.
Se as colunas de () formam um conjunto ortonormal, então e e sempre que , com e .
Portanto: 
Dado que é invertível, isso implica e, portanto, . Assim, temos que é uma matriz ortogonal.
2- seja é uma matriz ortogonal () e sejam os vetores LINHA de , logo:
Então e sempre que , com e .
Portanto, as linhas de formam um conjunto ortonormal de vetores.
Se as linhas de () formam um conjunto ortonormal, então e e sempre que , com e .
Portanto: 
Dado que é invertível, isso implica e, portanto, . Assim, temos que é uma matriz ortogonal.
· Propriedades de Matrizes Ortogonais:
· Se for ortogonal, então ou .
· A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal.
· Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal.
· é ortogonal se, e somente se, , para qualquer .
· é ortogonal se, e somente se, , para quaisquer.
· Definição – Diagonalização Ortogonal: Sejam e matrizes quadradas. Dizemos que e são ortogonalmente semelhantes se existir alguma matriz ortogonal tal que . 
		Se for ortogonalmente semelhante a uma matriz diagonal dizemos que é ortogonalmente diagonalizável.
· Matrizes Simétricas e Diagonalização Ortogonal:
· é simétrica se, e somente se, é ortogonalmente diagonalizável.
Se é ortogonalmente diagonalizável, então existe uma matriz ortogonal tal que , onde é uma matriz diagonal. Então
 e 
Portanto é uma matriz simétrica.
· é simétrica se, e somente se, tem um conjunto ortonormal de autovetores.
· Teorema: seja uma matriz quadrada e sejam e vetores pertencentes a , então
 é simétrica 
PROVA
 é simétrica 
Com isso poderemos mostrar que se é simétrica, então autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
PROVA
Seja uma matriz simétrica e sejam e autovetores associados a autovalores distintos de , e , . 
De e temos que . Uma vez que , temos que e e são ortogonais.
· Processo de Gram-Schimdt: Para converter uma base de um espaço vetorial de dimensão em uma base ortogonal , efetue os seguintes passos:
1- 
2- 
3- , sendo o subespaço gerado por e .
4- Continuar até passos.
Para converter a base ortogonal em uma base ortonormal, basta multiplicar cada vetor da base ortogonal pelo inverso de seu módulo.