Apostila 1 - Ondulatória 2021-Formatada docx

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Prof. Herbert Aquino 
APOSTILA 1 – FÍSICA 
 
 ITA / IME 
Ondulatória I 
1.CONCEITO DE ONDA 
 Para começarmos a entender esse fenômeno, imagine-se segurando a extremidade de uma corda presa a uma parede. Brusca e 
repentinamente, você desloca sua mão para cima e imediatamente para baixo, retornando à posição inicial e, como resultado do movimento de sua 
mão, uma perturbação é produzida na corda. 
 Pelo fato de a corda ser um meio elástico, ela tende a retornar à sua posição inicial de equilíbrio enquanto a perturbação se afasta da sua 
mão e se propaga ao longo da corda, como nos mostra a figura abaixo. 
 
 
 Observe que as partículas que constituem a corda não se deslocam ao longo da corda; qualquer ponto da corda, ao ser atingido pela 
perturbação, irá apenas repetir o movimento de sua mão, subindo e descendo, como indicam as flechas verticais na figura anterior. O que se 
desloca ao longo da corda é uma perturbação, a qual transporta energia e quantidade de movimento. 
 A perturbação que você produziu na corda é chamada pulso e a propagação dessa perturbação ao longo da corda é a onda, 
propriamente dita. De uma maneira geral, definimos: 
 
Onda é uma perturbação de um meio elástico, ou de um campo oscilante, que se propaga transportando energia e quantidade de movimento. 
 
No exemplo dado anteriormente, sua mão constitui a fonte de onda, enquanto a corda é o meio através do qual a onda, no caso um único pulso, 
se propaga. 
 Caso as perturbações fossem produzidas na corda contínua e periodicamente, teríamos um trem de ondas periódicas – que também 
pode ser denominado, simplesmente, onda periódica – e todos os pontos da corda vibrariam com a mesma freqüência e o mesmo período da 
fonte de ondas (sua mão, nesse caso). 
 A figura seguinte mostra como se apresentaria a corda, de uma onda periódica. 
 
 
 Os exemplos dados acima constituem exemplos de ondas unidimensionais, pois a energia é transportada pela onda numa só direção, ao 
longo da corda. 
 
Durante uma propagação de uma onda, através de um meio material, verifica-se que a onda não arrasta as partículas do meio, ou seja, uma onda 
transporta energia e quantidade de movimento, mas não transporta matéria. 
 
 
 
 
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2.CLASSIFICAÇÃO 
A) Número de direções de Propagação: 
 Quanto ao número de direções em que se propagam as ondas são classificadas em: 
• Unidimensionais: quando se propagam numa só direção, como numa corda; 
• Bidimensionais: quando se propagam ao longo de um plano, como na superfície da água; 
• Tridimensionais: quando se propagam em todas as direções, como as ondas sonoras no ar. 
 
B) Quanto à natureza: 
 Uma onda, qualquer que seja ela, pode ser classificada, quanto à sua natureza, basicamente em: onda mecânica, onda 
eletromagnética e onda de matéria. 
 
As ondas de matéria não serão estudadas neste capítulo, visto que tal estudo é feito em um ramo bem avançado da Física, a Mecânica Quântica. 
 
Assim, podemos definir: 
 
• Mecânicas: precisam de um meio (sólido, líquido ou gasoso) para se propagarem. Logo, elas não se propagam no vácuo. Exemplos: 
ondas em cordas e ondas sonoras; 
 
 
• Eletromagnéticas: são ondas criadas a partir de cargas elétricas vibrantes, cujo movimento de vibração origina campos elétricos e 
magnéticos oscilantes. Esse tipo de onda se propaga no vácuo e em certos meios materiais. 
 
 
Exemplos: a luz, as ondas de rádio e televisão, as ondas de radar, as microondas e os raios X. 
 
 
 
 
Para uma onda eletromagnética senoidal no vácuo, vale a relação: 
 
 
c) Quanto à direção de vibração: 
 Com relação à direção de vibração, as ondas são classificadas em: 
 
• Transversais: as vibrações são perpendiculares à direção de propagação. 
 
 
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Exemplo: ONDAS EM CORDAS (quando uma onda se propaga ao longo de uma corda horizontal esticada, digamos, da esquerda para a direita, 
as partículas da corda vibram para cima e para baixo na direção transversal, ou seja, perpendicular à direção de propagação da onda). 
 
 
 
 
Longitudinais: as vibrações coincidem com a direção de propagação. 
Exemplo: ONDA SONORA 
 
Mistas: São ondas mecânicas constituídas de vibrações transversais e longitudinais simultâneas. 
Quando uma partícula de um meio material é atingida por uma perturbação mista, ela oscila simultaneamente na direção de propagação e na 
direção perpendicular à de propagação. 
Exemplo: Onda na superfície na da água. 
 
 
 
3.VELOCIDADE DE UM PULSO DE ONDA EM UMA CORDA TENSA 
 Considere uma corda de comprimento , massa e tracionada por uma força , presa por uma das extremidades a uma parede. Uma 
perturbação é introduzida na extremidade livre e um pulso passa a se propagar através da corda com velocidade . 
 
 
 
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 A velocidade de propagação de um pulso em uma corda tensa é dada pela fórmula de Taylor: 
 
Lembre: 
• velocidade de propagação do pulso na através da corda (m/s); 
• intensidade da força tensora ; 
• densidade linear da corda, dada pela razão entre a sua massa e o seu comprimento 
• : densidade volumétrica da corda ; 
 
Para a situação proposta, definimos a densidade linear da corda da seguinte forma: 
 
Considerando-se o formato cilíndrico para a corda podemos escrever: 
 
 
 
Demonstração: 
Em nosso modelo, o segmento é considerado um arco de círculo perfeito. Em nosso sistema de referência em movimento, o segmento da corda 
move-se para a esquerda com velocidade v através do arco. Enquanto se desloca através do arco, podemos modelar o segmento como uma 
partícula em movimento circular e uniforme. Esse segmento, tem uma aceleração centrípeta de , que é fornecida por componentes da força 
 na corda em cada extremidade do segmento. A força age em cada lado do segmento, tangente ao arco, como na figura abaixo. 
 
 
 
As componentes horizontais de se anulam e cada componente vertical atua radialmente para dentro em direção ao centro do arco. 
Assim, a magnitude da força radial total é . Como o segmento é pequeno, é pequeno e assim podemos usar a aproximação 
. Consequentemente, a magnitude da força radial total pode ser expressa como: 
 
 
O segmento tem massa , onde é a massa por unidade de comprimento da corda. Como o segmento faz parte de um círculo e 
subtende um ângulo no centro, , e , assim 
 
 
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A componente radial da segunda lei de Newton aplicada ao segmento fornece: 
 
 
 
 
 
 
4.ONDAS PERIÓDICAS: EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ONDULATÓRIA 
 Seja uma pessoa executando um movimento de sobe-e-desce, em intervalos de tempo iguais, na extremidade livre da corda da figura. 
 
 
 Nesse tipo de onda, os pontos mais altos são comumente chamados cristas; e os pontos mais baixos, vales, depressões ou cavados. 
 Observe que o comprimento de uma onda individual corresponde à distância entre duas cristas consecutivas ou entre dois vales 
consecutivos. Essa distância é denominada comprimento de onda, geralmente representada pela letra grega (lambda). A distância é a 
amplitude da onda. 
O comprimento de onda de uma onda periódica corresponde à distância entre cristas, ou entre vales vizinhos, ou ao comprimento total 
de uma onda individual. 
 
 A velocidade de propagação da onda em um dado meio é constante e podemos demonstrar facilmente que ela é dada por: 
 
 
A velocidade de propagação de uma onda é uma característica vinculada ao meio no qual a onda se propaga – num dado meio, a velocidade 
de propagação é constante. 
A frequência da onda e, consequentemente, seu período são características da onda vinculadas à fonte que a originou; para que a frequência 
de uma onda seja alterada, deve-se alterar antes a frequência da fonte que vai criá-la. 
 
Dicas do Herbert: 
→A velocidade de propagação de uma onda é determinada pelas propriedadesdo meio (INDEPENDENTE DE SUA FREQUÊNCIA). 
→Frequência de uma onda só depende da fonte que a originou. 
 
 
As duas expressões são válidas qualquer que seja a natureza, tipo ou forma da onda periódica. 
 
Note que com um pouco de álgebra podemos demonstrar facilmente a equação de onda na forma diferencial para uma dimensão: 
 
 
 
 
 
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Onde a função de origem é do tipo , sendo dependente da posição e do tempo e caracterizando uma onda progressiva. 
 
 
5.FUNÇÃO DE ONDA UNIDIMENSIONAL 
 Vamos agora obter uma função que nos permitirá estudar uma onda cossenoidal unidimensional. 
 Consideremos, então, uma corda esticada na direção e no sentido do eixo Ox, uma fonte de ondas de período , frequência e 
amplitude A, localizada na origem do eixo, e a extremidade da corda ligada à fonte. 
 
 
 Com o início da vibração da fonte, todos os pontos da corda vibrarão com a mesma freqüência , o mesmo período e, se desprezarmos os 
atritos, com a mesma amplitude da fonte. 
 
O ponto P, vibrará com atraso em relação à fonte, assim: 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
Fase: 
 
Período Temporal : 
 
Período Espacial ou Comprimento de Onda : 
 
Velocidade de Propagação da Onda: 
 
 
 
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Considerando-se nula a fase inicial, temos: 
 
A velocidade de uma partícula da corda será dada por: 
 
Inclinação da corda (onda): 
 
Relação útil: 
 
 
 
 
Dica ITA: Defasagem entre dois pontos da corda: 
 
 
 
 
 
 
 
Concordância de Fase: Pontos da corda que oscilam com mesma velocidade, aceleração e elongação (direção ). Não esqueça os pontos da 
corda apenas oscilam em torno da posição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
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Finalmente: 
 
 
 
 
 
Oposição de Fase: Velocidade e Aceleração de mesmo módulo, mas sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
 
Finalmente: 
 
 
 
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6. Energia transmitida por uma onda: 
 
Resumo importante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
A energia cinética de uma porção infinitesimal da corda que oscila transversalmente é dada por: 
 
Da função de onda, temos: 
 
Logo: 
 
 
Reescrevendo a energia cinética, temos: 
 
 
 
Vamos fixar um instante de oscilação : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pelo teorema do valor médio, a integral é facilmente calculada: 
 
 
De forma análoga, podemos obter a energia potencial armazenada na onda é dada por: 
 
A energia total transferida pela onda é dada por: 
 
 
 
 
A potência média transferida pela corda: 
 
 
 
 
 
Dica ITA: A potência média em uma corda é dada por: 
 
A intensidade de uma onda em uma corda é dada por: 
 
 
Lembre: 
 
 
 
7.REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE UMA ONDA: 
Algumas características são importantes na reflexão e transmissão de uma onda: 
 
 
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 Velocidade : Do ponto de vista da onda, esse meio é chamado de meio mais denso em que a velocidade da onda é menor. Por exemplo, 
para uma onda sonora (ou onda longitudinal), o ar é um meio mais denso em comparação com a água porque a velocidade do som no ar é menor. 
Por outro lado, o ar é um meio menos denso para um onda eletromagnética como a velocidade da onda eletromagnética no ar é maior. Quando 
uma onda atinge o limite que separa dois meios diferentes, parte dela é refletida e parte é transmitida. Uma vez que a velocidade da onda depende 
do meio, a velocidade da onda de reflexão não muda porque meio não muda. Na transmissão, o meio muda, portanto, a velocidade da onda 
também muda. Em meio mais denso, diminui. 
 
Observação: A ideia de densidade aqui é ligeiramente diferente do usual, apenas uma analogia para o caso do som. 
 
Frequência : A frequência ( e também) depende da fonte. Na reflexão, bem como na transmissão fonte não muda. Portanto, a 
frequência não muda. 
 
 Comprimento de onda : Comprimento de onda (e, portanto, número de onda também) é autoajustado em um valor, 
. Na reflexão e não mudam, portanto e não mudam. Na transmissão, permanece inalterado, mas muda. Portanto, e mudam. Em 
um meio mais denso, diminui, portanto também diminui, mas aumenta. 
 
 
 
 
 Mudança de fase : Uma mudança de fase de ou ocorre apenas durante a reflexão em um meio mais denso. Em qualquer 
outro caso (na transmissão ou reflexão de um meio menos denso), a mudança de fase é zero. 
 
 Amplitude : Na reflexão, assim como na transmissão, a amplitude muda. 
Se a amplitude da onda incidente no meio-1 for , ela é parcialmente refletida e parcialmente transmitida no limite dos dois meios- e . As 
velocidades das ondas nos dois meios são e . Se as amplitudes das ondas refletidas e transmitidas são e , então, 
 
 
 
A partir das duas expressões acima, podemos tirar as seguintes conclusões: 
 
CONCLUSÃO 1: Se , então, e 
Basicamente, significa que os dois meios são iguais do ponto de vista da onda. Então, neste caso, não há reflexão , apenas a 
transmissão ocorre . 
 
CONCLUSÃO 2: Se , então acaba sendo negativo. Agora, significa o segundo meio é mais denso. , neste caso, significa 
negativo, há uma mudança de fase de . 
 
CONCLUSÃO 3: Se , então . Isso implica que a amplitude sempre aumenta à medida que a onda viaja de um meio mais denso 
para um meio menos denso (como , então o segundo meio é menos denso). 
 
Propriedade da Onda Reflexão Transmissão (Refração) 
 
 
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 Não varia Varia 
 Não varia Não varia 
 Não varia Varia 
 Varia Varia 
 transmissão para um 
meio menos denso. 
transmissão para um 
meio mais denso. 
 
 
EXEMPLO IMPORTANTE: Usando a conservação da energia, prove as relações abaixo: 
 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
 
 
Por conservação da energia podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
Na refração, a frequência permanece constante, assim: 
 
 
Para um pulso em uma corda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto de junção da cordas, podemos escrever: 
 
 
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Substituindo-se a na : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
Lembrando-se que: 
 
 
 
 
 
Podemos fazer ainda: 
 
 
 
Coeficiente de Reflexão : 
 
 
Coeficiente de Transmissão : 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA 1 
 
1.Um cabo de aço flexível de comprimento total e massa por unidade de comprimento pendura verticalmente de um suporte em uma 
extremidade. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal ao longo do cabo é , onde é medido a partir do suporte. 
(b) Quanto tempo vai demorar para uma onda viajar pelo cabo? 
 
Resposta: 
 
2.Um arco circular de uma corda homogênea está girando no sentido anti-horário no ausência de gravidade. A velocidade tangencial é . 
Encontre a velocidade da onda viajando nesta corda. 
 
Resposta: 
 
3. Um fio não uniforme de comprimento e massa tem uma densidade de massa linear variável dada por , onde é a distância de 
uma extremidade do fio e é uma constante. Encontre o tempo gasto por um pulso começando em uma extremidade para chegar à outra 
extremidade quando a tensão no fio é . 
Resposta: 
 
4. Um bloco de massa , apoiado por uma corda, repousa sobre uma rampa sem atrito de ângulo com a horizontal. O comprimento da corda e 
 e sua massa e . Derive uma expressão para o intervalo de tempo necessário para uma onda transversal se mover de uma ponta da 
corda para a outra. 
 
 
Resposta: 
 
 
5. Suponha que um corpo de massa seja suspenso a partir do final da corda de massa e comprimento no a) Mostre que o intervalo de 
tempo para um pulso transversal percorrer o comprimento da corda é: 
 
 
b) E se? Mostre que a expressão na parte (a)reduz o resultado , . 
c) Mostre que para , a expressao na parte (a) reduz para: 
 
 
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6.Um fio de alumínio é mantido entre duas presilhas sob tensão zero em temperatura ambiente. Reduzindo a temperatura, que resulta em uma 
diminuição no comprimento de equilíbrio do fio, aumenta-se a tensão no fio. Tomando a área da seção transversal do fio como sendo 
, a densidade como , e o módulo de Young como , qual deformação resulta 
em uma velocidade de onda transversal de ? 
 
 
7. Uma corda lisa é conectada com dois pendurados blocos de massas e após passar pelas polias P e Q. Se a massa da corda entre P e Q 
é , encontre o tempo que um pulso transversal leva para se mover entre P e Q se o sistema for liberado do repouso no tempo . 
 
 
Resposta: 
 
8. Uma coluna de comprimento , densidade de massa linear gira em torno de uma de suas extremidades O em um plano horizontal liso com 
uma velocidade angular . Determine: 
a) tensão na corda em P; 
b) tempo gasto por um pulso de onda transversal (uma torção) produzida em para alcance o eixo de rotação ; 
 
 
 
 
 
Resposta: a) ; b) 
 
9. Três pedaços de barbante, cada um de comprimento , são unidos de ponta a ponta, para faça uma sequência combinada de comprimento . 
O primeiro pedaço da corda tem massa por unidade de comprimento , a segunda peça tem massa por unidade de comprimento e a 
terceira peça tem massa por unidade comprimento . Se a corda combinada está sob tensão , quanto tempo leva para uma transversal 
onda para percorrer todo o comprimento ? Dê sua resposta em termos de , e . 
Resposta: 
 
 
10. Uma corda de massa é amarrada no ponto Q, em um bonde liso que é acionado por uma horizontal força. Em deixe o carro partir do 
repouso e transversal pulso é gerado no livre, negligenciando o efeito da gravidade em P. 
 
 
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Determine: 
a) aceleração do pulso em relação ao solo; 
b) velocidade do pulso em relação ao bonde e em relação ao gerado, quando o pulso atinge Q. 
 
a) ; b) 
 
11. A borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece à lei de Hooke para uma larga faixa de alongamentos. Uma tira desse 
material tem comprimento no estado relaxado e uma massa . Quando uma força é aplicada, a tira sofre um alongamento . (a) Qual é a 
velocidade (em termos de , e constante elástica das ondas transversais nessa tira de borracha sob tração? b) Mostre que o tempo 
necessário para que um pulso transversal atravesse a tira de borracha é proporcional a se e é constante se . 
 
Resposta:a) ; b) 
 
12. Um fio não-uniforme de comprimento e massa tem uma massa específica dada por , onde x é a distância até uma das 
extremidades do fio e k é uma constante. 
a) Mostre que a massa do fio é dada por: 
 
 
b) Mostre que o tempo necessário para que um pulso gerado em uma extremidade do fio alcance a outra é dado por onde é a 
intensidade da força de tração no fio. 
 
 
13. Dois fios de diferentes densidades linear de massa diferentes são unidos, considere a junção como sendo em . Uma onda incidente 
 está viajando para a direita da região . No limite, a onda é parcialmente refletida e parcialmente transmitida. 
Encontre as amplitudes refletidas e transmitidas em termos da amplitude do incidente. 
Resposta: ; 
 
 
14.A figura a seguir, mostra uma corda esticada construída por uma parte fina de comprimento e outra grossa de comprimento . Ao oscilar o 
extremo da corda com uma frequência de temos a propagação de um pulso. Sabendo que a parte fina possui um comprimento de onda 
e a parte grossa , determine o tempo que demora para um pulso percorrer toda a corda. 
 
 
Resposta: 
 
15.Existem dois fios e (unidos no ponto B e fixados nos pontos A e C) de densidade linear e , respectivamente. Quando o ponto A origina 
um pulso, ele atinge o ponto B em . Quanto levará para o pulso ir de A para C? 
 
 
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Resposta: 
 
16.Uma corda fina foi substituída por outra de mesmo material, mas que tem um diâmetro duas vezes maior. Em quantas vezes deverá ser 
aumentada a tensão na corda, a fim de que a frequência das oscilações da mesma não varie? 
Resposta: 
 
17. Um fio de cobre é mantido nas duas extremidades por suportes rígidos. A temperatura , o fio é apenas tenso com tensão insignificante. 
Encontre a velocidade das ondas transversais no fio quanto a temperatura for . Considere o coeficiente de dilatação linear do fio, a densidade 
volumétrica do fio e o módulo de Young. 
Resposta: 
 
 
18. Uma corda uniforme de comprimento e massa trava verticalmente de um suporte rígido. Um bloco de massa de está preso à 
extremidade livre da corda. Um pulso transversal de comprimento de onda de é produzido na extremidade inferior da corda, qual é o 
comprimento de onda do pulso quando atinge o topo da corda? 
 
Resposta: 
 
19. Qual é a diferença de fase entre as partículas 1 e 2 localizadas como mostrado na figura abaixo ? 
 
Resposta: 
 
20. Mostre que a função representa uma função de onda. 
 
21. Mostre que (i) , (ii) , (iii) e (iv) são cada uma, uma solução de 
equação de onda unidimensional, mas não (v) e (vi) . 
 
22. A forma de um pulso de onda no tempo t é dada pela função , onde . A onda está viajando ao longo do 
eixo x positivo com velocidade de . Mostre em gráfico a função de onda às vezes, . 
 
23.A equação de uma onda que viaja em uma corda esticada ao longo do eixo é dada por 
 
, onde é o máximo de pulso localizado em ? 
 
 
 
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24. A figura mostra um instantâneo de uma corda vibratória em . A partícula P é observada movendo-se com velocidade . 
A tangente em P faz um ângulo de com o eixo . 
 
Encontre: 
a) a direção em que a onda está se movendo, 
b) equação de onda. 
 
SUGESTÃO: 
 
Resposta:a) ;b) ; 
 
25. Para uma onda harmônica de equação , onde e estão em cm e em . Qual é a diferença de 
fase entre o movimento oscilatório em dois pontos separados por uma distância de (i) , (ii) , (iii) , (iv) ? 
Resposta: (i) (ii) (iii) (iv) 
26. Uma onda harmônica transversal em uma corda é descrita por , onde , estão em e em 
. A direção positiva de é da esquerda para a direita. 
a) Esta é uma onda em viagem ou uma onda estacionária? Se estiver viajando, qual é a velocidade e direção de sua propagação. 
b) Qual é a sua amplitude e frequência? 
c) Qual é a fase inicial na origem? 
d) Qual é a menor distância entre duas cristais sucessivas na onda? 
 
 
Resposta: a) A equação padrão de uma onda harmônica que viaja ao longo do eixo negativo com 20 m/s; b) ; c) ; d) 
 
27. A figura mostra dois disparos instantâneos, cada uma das ondas que se deslocam ao longo de uma cadeia particular. 
 
A fase das ondas é dada por 
a) 
b) . Qual fase corresponde a qual onda na figura? 
 
Resposta: 
 
28. Na figura “ ”, a corda tem uma massa específica linear e a corda 2 tem massa específica . As cordas estão submetidas à tração 
produzida por um bloco suspenso, de massa . Calcule a velocidade da onda (a) na corda e “ ” na corda . Em seguida o bloco é dividido em 
dois blocos (com ) e o sistema é montado como na figura . Determine (c) e (d) para que as velocidades das ondas nas 
duas cordas sejam iguais. 
 
 
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Resposta: ; com 
 
 
 
8. Princípio da independência / Princípio da superposição: 
 
Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda esticada. Sejam e os deslocamentos que a corda 
sofreria se cada onda se propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesmo tempo é então a soma 
algébrica 
 
 
Esta soma de deslocamentos significa que: 
 
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total. 
Ondas superpostasnão se afetam mutuamente. 
 
Exemplo: A figura mostra um pulso retangular e um pulso triangular se aproximando um para o outro. A velocidade do pulso é de . 
Esboce o pulso resultante em . 
 
 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
Em , cada pulso percorrerá uma distância de . Os dois pulsos se sobrepõem entre e , conforme mostrado na figura. Portanto, e 
 podem ser adicionados como mostrado na figura abaixo. 
 
 
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9.Onda estacionária: 
 
O fenômeno ondulatório denominado onda estacionária é a configuração resultante da superposição de duas ondas idênticas (ou seja, de 
mesma freqüência e mesmo comprimento de onda) que se propagam na mesma direção e em sentidos opostos. Esse fenômeno é mais 
facilmente observado com ondas em cordas, apesar de poder ocorrer também com outros tipos de ondas. 
 
 
Demonstração ITA: 
Onda Incidente: 
 
Onda Refletida: 
 
 
Onda Resultante: 
 
 
 
 
 
 
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(Equação de uma onda estacionária) 
 
A amplitude em cada ponto é dada por: 
 
Para os ventres: 
 
 
 
 
Para os nós: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, os pontos que permanecem em repouso – têm amplitude nula – devido a uma interferência destrutiva total, e são chamados 
nós (ou nodos) da onda estacionária. Por outro lado, os pontos que vibram com amplitude máxima possível, como resultado de uma 
interferência construtiva, e são denominados ventres (ou antinós) da onda estacionária. 
 Observe que a distância entre ventres consecutivos, ou entre nós consecutivos, é igual a . A distância entre um ventre e um nó 
consecutivo é igual a . 
 
 Ondas estacionárias recebem esse nome pelo fato de que o fluxo de energia é nulo entre os nodos. É um estado estacionário. Tais 
ondas são geradas pela superposição de uma onda progressiva e uma onda regressiva de mesmas amplitude e frequência. 
c)Ondas estacionárias em cordas 
Discutimos as ondas estacionárias formadas por ondas idênticas que se movem em sentidos opostos no mesmo meio. Como você recordará, uma 
maneira de fazer isso em uma corda é combinar ondas chegando e sendo refletidas de uma extremidade rígida. Se uma corda for esticada entre 
dois suportes rígidos e as ondas forem formadas na corda, ondas estacionárias serão estabelecidas na corda pela superposição contínua das 
ondas incidentes e refletidas nas duas extremidades. Este sistema físico é um modelo para a fonte sonora de qualquer instrumento de corda, 
como violão, o violino e o piano. A corda tem vários padrões naturais de vibração, chamadosde modos normais. 
 
 
 
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Cada um desses modos tem uma frequência característica. No padrão de onda estacionária em uma corda esticada, as extremidades da corda 
devem ser nodos, pois estes pontos são fixos. Essa é a condição de contorno para as ondas. O resto do padrão pode ser construído a partir dessa 
condição de contorno junto com a exigência de que os nós e ventres sejam igualmente espaçados e separados por um quarto de comprimento de 
onda. O padrão mais simples que satisfaz tais condições tem os nodos necessários nas extremidades da corda e um antinodo no ponto central. 
Para esse modo normal, o comprimento da corda igual a ( a distância entre nodos adjacentes): 
 
• Primeiro Harmônico (Fundamental): 
 
 
 
• Segundo Harmônico: 
 
 
 
 
 
• Terceiro Harmônico: 
 
 
 
 
 
No geral, os comprimentos de onda de vários modos normais podem ser expressos convenientemente como: 
 
 
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As frequências naturais associadas com estes modos são obtidas da relação , é onde a velocidade da onda v é determinada pela tensão 
T e densidade linear de massa da corda e, consequentemente, é a mesma para todas as frequências. Logo, as frequências dos modos normais 
são dados por: 
 
Lembre , podemos expressar as frequências naturais de uma corda esticada como: 
 
A quantização das frequências é uma característica do modelo de onda sob condições de contorno. A frequência mais baixa correspondente a n=1 
é chamada de frequência fundamental : 
 
Assim, os harmônicos são dados por: 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido: Um fio esticado está oscilando no seu quarto harmônico. A equação de onda estacionária transversal produzida neste fio é 
dada por: 
 
Em que, está em metros. Encontre o comprimento do fio. 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
Da equação acima, concluímos: 
 
 
Para o quarto harmônico, temos: 
 
 
 
Exemplo Resolvido: O comprimento de um fio esticado é de . Está oscilando em seu quinto harmônico. A amplitude máxima das oscilações é 
de . Encontre a amplitude de oscilação a uma distância de de uma extremidade fixa. 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
 
 
Para o quinto harmônico, temos: 
 
 
 
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Se P é um nó localizado em , a uma distância x do ponto P, podemos escrever: 
 
 
 
Logo, temos um ponto correspondente a um ventre. 
 
 
Exemplo Resolvido: Uma corda fixada em ambas as extremidades têm seus harmônicos consecutivos cujas distâncias entre nós adjacentes são 
de e , respectivamente. 
a) Qual é o mínimo comprimento da corda? 
(b) Se a tração é e a densidade linear de massa é , qual é a frequência fundamental? 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
a) 
 
Seja o comprimento da corda, logo para harmônicos consecutivos podemos escrever: 
 
 
Logo: 
 
b) Para o harmônico fundamental, temos: 
 
 
 
A velocidade de propagação na corda será dada por: 
 
A frequência do harmônico fundamental será dada por: 
 
 
 
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Exemplo Resolvido: Dois fios são fixados em um sonômetro. Suas tensões estão na proporção , seus comprimentos estão na proporção 
, os diâmetros estão na proporção e as densidades estão na proporção de . Encontre o valor da frequência mais baixa se a 
frequência for mais alta é . 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
Dados: 
; ; ; 
 
A relação entre densidade e densidade linear de massa será dada por: 
 
 
Para o som fundamental: 
 
Logo: 
 
Exemplo Resolvido: Uma corda de densidade de massa linear é esticada sob um tensão de entre dois suportes rígidos 
separados por . Se a corda estiver vibrando em seu terceiro harmônico, de modo que a amplitude em um de seus ventres é , quais 
são a velocidade transversal máxima e aceleração da corda em seus ventres? 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
 
 
 
Para o Terceiro Harmônico podemos escrever: 
 
 
 
 
Amplitude do ventre é dada por: 
 
 
 
Aceleração máxima de um ponto da corda: 
 
 
 
 
 
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Exemplo Resolvido: Um fio de alumínio com área de seção transversal de é unido a um fio de aço da mesma área transversal. Este fio 
composto é esticado em um sonômetro puxado por um peso de . O comprimento total do fio composto entre as pontas é de , dos 
quais o fio de alumínio tem e o resto é cabo de aço. As vibrações transversais são configuradas no fio usando uma fonte externa de frequência 
variável. Encontre a frequência mais baixa de excitação para a qual a posição as ondas são formadas de modo que a junta do fio seja um nó. Qual 
é o número total de nós nesta frequência? A densidade do alumínio é e que de aço é . 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
Seja o número de ventres formados na corda de aço e o número de ventres formados na corda de aço, podemos escrever: 
 
 
 
 
Lembrando-se que: 
 
Logo: 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
ou seja, na frequência mais baixa, um ventre é formado em fio de alumínio e três ventres são formados no fio de aço conforme mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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