Formas Bilineares

Prévia do material em texto

FormasBilineares Prof. Msc. Marcos Paulo Cin-tra da Silva
1 Definição
Sejam U e V dois espaços vetoriais. Uma forma bili-
near é uma aplicação f : U × V → R tal que
a) f(au1 + bu2,v) = af(u1,v) + bf(u2,v).
b) f(u, av1 + bv2) = af(u,v1) + bf(u,v2).
para quaisquer u,u1,u2,v,v1,v2 ∈ V e a, b ∈ R.
A condição a) diz que f é linear em relação à pri-
meira variável e a condição b) diz que f é linear em
relação à segunda variável.
Exemplo 1.1 Mostre que o produto interno usual em
Rn é uma forma bilinear. Em outras palavras,
f(u,v) = 〈u,v〉
é uma forma bilinear.
Exemplo 1.2 Um funcional linear é uma aplicação
linear de um espaço vetorial V em R. Definamos, en-
tão, a função f : V × V → R pela lei
f(u,v) = φ(u)σ(v),
onde φ e σ são dois funcionais lineares de V em R.
Mostre que f é uma forma bilinear.
Exemplo 1.3 Seja Am×n uma matriz fixa. A função
f :Mm×1(R)×Mn×1(R)→ R definida pela lei
f(X,Y) = XTAY.
Mostre que f é uma forma bilinear.
É possível provar que o conjunto das formas biline-
ares de U × V em R, denotado por B(U, V ), munido
da adição definida por
(f + g)(u,v) = f(u,v) + g(u,v)
e da multiplicação por um escalar λ ∈ R dada por
(λf)(u,v) = λf(u,v),
com f, g ∈ B(U, V ) é um espaço vetorial. Em particu-
lar, se U = V , o denotaremos apenas por B(U).
2 Matriz de uma Forma Bilinear
Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre R com
dimensões respectivamente iguais a m e n. Sejam
S1 = {u1, . . . ,um} uma base de U e S2 = {v1, . . . ,vn}
uma base de V . Dados u ∈ U e u ∈ V , podemos es-
crever
u = a1u1 + · · ·+ amum,
v = b1v1 + · · ·+ bnvn.
Seja f : U × V → R uma forma bilinear, então
f(u,v) =
m∑
i=1
n∑
j=1
aibjf(ui,vj),
que pode ser reorganizada da seguinte forma
f(u,v) = [u]TS1A[v]S2 ,
onde a Am×n é a matriz de f em relação às bases
S1 e S2 e definida pela lei
aij = f(ui,vj)
Exemplo 2.1 Sejam u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) e
a forma bilinear
f(u,v) = 3x1y1 − 2x1y2 + 5x2y1 + 7x2y2 − 8x2y3 +
+4x3y2 − x3y3.
Represente f na forma matricial.
Exemplo 2.2 Sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2) e a
forma bilinear em R2 dada por
f(u,v) = 2x1y1 − 3x1y2 + x2y2
Determine
a) A matriz A de f em relação à base
S1 = {u1 = (1, 0),u2 = (1, 1)}.
© 2020 Prof. Msc. Marcos Paulo Cintra da Silva
b) A matriz B de f em relação à base
S2 = {v1 = (2, 1),v2 = (1,−1)}.
O próximo teorema mostra como as matrizes obti-
das no exemplo precedente estão relacionadas.
Teorema 2.3 Seja P a matriz de mudança de uma
base S1 para a base S2. Se A é a matriz de f em re-
lação à base S1, então a matriz B = P TAP é a matriz
de f na base S2.
Exemplo 2.4 Determinar a matriz P de mudança da
base S1 para a base S2 do Exemplo 2.2 e verifique a
relação B = P TAP .
Diz-se que uma matriz B é congruente a matriz A
se existir uma matriz inversível P tal que B = P TAP .
3 Formas Simétricas e Antissimé-
trica
A forma bilinear f : V × V → R é denominada simé-
trica se
f(u,v) = f(v,u),
para quaisquer u,v ∈ V . Em termos matriciais, uma
forma bilinear é simétrica se a sua matriz é simétrica.
Exemplo 3.1 Sejam
A =
[
a c
c b
]
e v = (x, y) ∈ R2. Determinar a expressão de f(v,v).
A forma bilinear f : V × V → R é denominada
antissimétrica se
f(u,v) = −f(v,u),
para quaisquer u,v ∈ V . Em termos matriciais, uma
forma bilinear é simétrica se a sua matriz é antissimé-
trica.
4 Formas Quadráticas
Seja f : V × V → R uma forma bilinear simétrica. A
função qf : V → R definida pela lei
qf (v) = f(v,v)
é denominada forma bilinear quadrática sobre V as-
sociada à forma bilinear f . Se não houver risco de
confusão quanto à forma f , podemos indicar a forma
quadrática simplesmente por q.
Exemplo 4.1 A forma quadrática associada ao pro-
duto interno em Rn é
q(x1, . . . , xn) = x
2
1 + · · ·+ x2n
Exemplo 4.2 Considerando a base canônica canô-
nica do R2, determinar a expressão da forma quadrá-
tica f , cuja matriz é
A =
[
a c
c b
]
© 2020 Prof. Msc. Marcos Paulo Cintra da Silva