Aula 3 - Séries

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos de séries.
PROPÓSITO
Definir séries, utilizar os testes de convergência e apresentar algumas séries importantes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo desse tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a
calculadora de seu smartphone ou computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
MÓDULO 2
Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
MÓDULO 3
Definir as séries de potências e as séries trigonométricas
SÉRIES
MÓDULO 1
 Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
CONCEITOS INICIAIS DE SÉRIES NUMÉRICAS
INTRODUÇÃO
Em diversos momentos de nossa vida, lidamos com uma lista de números que seguem uma determinada ordem. Essa
lista é denominada matematicamente uma sequência numérica.
AGORA, SE ESSA LISTA DE NÚMEROS FOR ORIGINADA DAS
SOMAS PARCIAIS DOS TERMOS DE UMA DETERMINADA
SEQUÊNCIA DADA, SE DÁ O NOME DE SÉRIE NUMÉRICA A
ESSA SEQUÊNCIA.
Neste módulo, definiremos sequências e série numéricas, abordando algumas de suas propriedades.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Antes de definirmos uma série numérica, necessitamos definir a sequência numérica.
Imagine uma lista de números que obedece a uma determinada ordem. Em outras palavras, cada posição é ocupada
por um número obtido por uma função que depende da sua posição.
 EXEMPLO
2, 4, 8, 16, ....: é uma sequência numérica crescente em que o valor do número é calculado como o número dois
elevado à sua posição. Se n é a posição, o valor do número vale 2n.
1,
1
2
 , 
1
3
,
1
4
 , …
: é uma sequência decrescente de números em que o valor do número é o inverso de sua posição. Se n é a
posição do número, então o valor vale
1
n
.
Vamos definir agora com uma linguagem matemática.
foto: shutterstock.com
Uma sequência (sucessão numérica) é uma função cujo domínio é um subconjunto dos números naturais, que seria a
posição do número, e a imagem são números reais, sendo o valor do número na sequência.
Usaremos a notação para sequência como
an
. Assim an : n ∈ N → R.
Em outras palavras, a entrada da função é um número inteiro positivo, a posição na lista, e a saída é um número real
que será obtida por uma função que relaciona o valor com a posição do número.
A notação
an
também é usada para representar o termo geral da equação, que representa o valor do enésimo termo.
Às vezes se tem a sequência de números, a lista numérica, mas não é simples obter a função que relaciona os valores
das posições, isto é, não é simples se definir o termo geral.
 EXEMPLO
Seja a sequência de números que apresenta as médias de chuva dos últimos meses da cidade A, medida em mmhg.
{78, 81, 77, 93, 102, 120, 77, … }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diríamos até que o trabalho dos cientistas é tentar modelar algumas sequências para se obter uma fórmula para seu
termo geral. No nosso exemplo, se obtivermos o termo geral, podemos estimar a média de chuva em um determinado
mês.
Em alguns casos, o termo geral da sequência é obtido por uma fórmula de recorrência que envolve termos
antecessores. Por exemplo:
A1 = 1, A2 = 2 E AN = AN - 1 + AN - 2, PARA N ≥ 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se obter
a3 = a2 + a1 = 1 + 2 = 3
,
a4 = a3 + a3 = 2 + 3 = 5
, e assim sucessivamente.
 ATENÇÃO
Não necessariamente a sequência tem que iniciar com
n = 0
ou
n = 1
. Dessa forma, podemos definir como domínio da sequência um valor de
n ∈ N
tal que
n ≥ p
.
Vamos analisar os exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por
an = 2 + 8n
, para
n ≥ 3
.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos basta substituirmos o valor de
n
que representa a posição. Repare que a primeira posição é obtida para
n = 3
, assim, a segunda e terceira serão dados por
n = 4
e
n = 5
.
n = 3 → a3 = 2 + 8.3 = 26
n = 4 → a4 = 2 + 8.4 = 34
n = 3 → a5 = 2 + 8.5 = 42
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por
an = n − ( − 1)
n
, para
n ≥ 1
.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos, basta substituirmos o valor de n que representa a posição. Repare que a primeira
posição é obtida para
n = 1
. Assim, a segunda e terceira serão dados por
n = 2
e
n = 3
.
n = 1 → a1 = 1 - (-1)
1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
n = 2 → a2 = 2 - (-1)
2 = 2 - (1) = 2 - 1 = 1
n = 3 → a3 = 3 - (-1)
3 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência
1
2
 , 
2
3
 , 
3
4
 , …
.
RESOLUÇÃO
Analisando a lógica da sequência, se verifica que o termo geral pode ser definido como:
an =
n
n + 1 , com n ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma sequência será alternante se, de um termo para outro, o sinal dela mudar, isto é,
an + 1. an = − 1
, por exemplo.
1, - 3, 9, - 27, 81, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SEQUÊNCIAS FINITAS OU INFINITAS
Uma sequência pode ser classificada como finita ou infinita. Uma sequência finita é aquela que apresenta um número
finito de termos. A sequência infinita apresenta um número infinito.
As sequências infinitas podem ser convergentes ou divergentes. Vamos analisar o que acontece com uma sequência
infinita quando seu valor de n tende ao infinito.
CONVERGENTE
DIVERGENTE
CONVERGENTE
Se lim
n → ∞
an = L, se diz que a sequência tem como limite um número real
L
. Em outras palavras, podemos fazer os termos ficarem tão pertos de
L
quanto desejarmos, ao fazermos n suficientemente grande. Nesse caso, se diz que a sequência é CONVERGENTE e
que converge para
L
.
DIVERGENTE
Quando o lim
n → ∞
an não existir ou for
±∞
se diz que a sequência é DIVERGENTE.
Para ajudar no cálculo do limite de uma sequência, podemos usar o seguinte teorema:
Sendo
f(x)
uma função real definida no domínio
[p, ∞)
, considere o termo geral de uma sequência:
an = f n para n ≥ p
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, lim
n → ∞
an = lim
x → ∞
f(x), se existir o limite da função
f(x)
.
EXEMPLO 4
Verifique se a sequência definida pelo termo geral
an =
3n2 + 2n
n2 − 1
, para
n ≥ 1
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
( )
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
3n2 + 2n
n2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relembrando o teorema de Leibniz, o polinômio tende ao termo de maior grau quando sua variável tende ao infinito.
Assim:
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
3n2 + 2n
n2 - 1
= lim
n → ∞
3n2
n2
= lim
n → ∞
3
1 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 5
Verifique se a sequência definida pelo termo geral
an = 10n + 20
para
n ≥ 1
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
10n + 20 = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu diferente de um número real, a série é divergente.
Uma sequência pode ser classificada entre crescente ou decrescente.
CRESCENTE
Uma sequência será crescente se e somente se para qualquer m e n naturais:
m < n ↔ am < an
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DECRESCENTE
Uma sequência será decrescente se e somente se para qualquer
m
e
n
javascript:void(0)
javascript:void(0)
naturais:
m < n ↔ am > an
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dizemos que uma sequência é monótona se for crescente ou decrescente.
TIPOS DE LIMITAÇÕES DA SEQUÊNCIA
Limitadasuperiormente
Uma sequência será limitada superiormente se existir um número real
M
tal que, para todo
n
do domínio da sequência,
an ≤ M
.

Limitada inferiormente
Uma sequência será limitada inferiormente se existir um número real
Q
tal que, para todo
n
do domínio da sequência,
an ≥ Q
.
UMA SEQUÊNCIA SERÁ LIMITADA SE EXISTIREM NÚMEROS REAIS
M
E
Q
TAL QUE, PARA TODO N DO DOMÍNIO DA SEQUÊNCIA,
Q ≤ AN ≤ M
. EM OUTRAS PALAVRAS, SE A SEQUÊNCIA FOR LIMITADA, ELA
SERÁ LIMITADA SUPERIORMENTE E LIMITADA INFERIORMENTE.
EXEMPLO 6
Verifique se a sequência
an =
1
2n + 1
, para
n > 0
, é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Dado o termo
an =
1
2n + 1
teremos o termo
an + 1 =
1
2(n + 1) + 1
=
1
2n + 3
.
Observe que, se
n > 0
,
2n + 3 > 2n + 1
, assim, an + 1 < an para todo
n > 0
.
Dessa forma, a sequência é monótona decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
O primeiro termo é obtido para
n = 1
, assim
a1 =
1
2.1 + 1
=
1
3
.
Como a sequência é decrescente, todos os valores serão menores do que
1
3
. Assim, a sequência é limitada superiormente pelo valor
1
3
.
Quando n tende ao infinito:
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
1
2n + 1 =
1
∞ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, essa sequência também é limitada inferiormente pelo valor 0. Temos uma sequência limitada.
EXEMPLO 7
Verifique se a sequência
{1 , − 1 , 1 , − 1 , 1, − 1 , …}
é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Analisando os termos, verificamos que, às vezes,
an > an + 1
e, às vezes, an < an + 1. Dessa forma, essa sequência não será crescente nem decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
Observe que não existe nenhum termo da sequência maior do que 1, e nenhum termo da sequência menor do que – 1.
Assim, essa sequência é limitada inferiormente e superiormente, sendo uma sequência limitada.
TEOREMA DE ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA DE UMA
SEQUÊNCIA
Existe um teorema importante para usarmos na análise da convergência de uma sequência. 
Teorema para sequência crescente
Seja an uma sequência crescente:
Se a sequência for limitada superiormente, an será convergente.
Se an não for limitada superiormente, an será divergente. 
Podemos também relatar o mesmo teorema para uma sequência decrescente. 
Teorema para sequência decrescente
Seja an uma sequência decrescente:
Se a sequência for limitada inferiormente, an será convergente.
Se an não for limitada inferiormente, an será divergente.
 DICA
A demonstração desse teorema é bem intuitiva e pode ser encontrada nas referências do tema.
EXEMPLO 8
Verifique se a sequência
an =
1
2n + 1
, para
n > 0
, é convergente.
RESOLUÇÃO
Como já analisamos no exemplo 7, que é uma sequência decrescente e limitada inferiormente, ela será
obrigatoriamente convergente.
Podemos confirmar isso com o cálculo do limite.
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
1
2n + 1 =
1
∞ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora definir a série numérica.
SÉRIES NUMÉRICAS
Seja uma sequência definida pelo seu termo geral an, com n natural e n ≥ p.
A SÉRIE NUMÉRICA ASSOCIADA À SEQUÊNCIA DADA SERÁ
DEFINIDA COMO A SEQUÊNCIA CUJO TERMO GERAL É OBTIDO
POR:
SN = ∑
N
PAK, N ≥ P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento da série sn será a soma parcial de ordem n dos elementos da sequência, isto é, a soma desde o primeiro
termo até o termo n. A notação sn também será denominada de enésimo termo da série.
Por exemplo, seja a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ..., definimos os seguintes termos da série associada a ela:
S1 = A1 = 2
S2 = A1 + A2 = 2 + 4 = 6
S3 = A1 + A2 + A3 = 2 + 4 + 8 = 14
. . .
SN = A1 + A2 + A3 + … + AN = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2N =
2 2N - 1
2 - 1 = 2 2
N - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A fórmula para o sn foi obtida pela soma de uma progressão geométrica (PG) finita. Nem sempre é possível obter um
termo geral para os elementos da série.
No ensino médio, estudamos duas sequências: progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Essas
sequências apresentavam fórmulas para suas somas parciais e totais. Vale a pena uma pesquisa para relembrar a
definição da PA e PG e de suas fórmulas.
As séries associadas a uma sequência PA ou PG são denominadas, respectivamente, de série aritmética e série
geométrica.
EXEMPLO 9
Determine os três primeiros termos da série associada a uma sequência de termo geral
an =
2n + 1
n2 + 1
.
RESOLUÇÃO
S1 = A1 =
2.1 + 1
12 + 1
=
3
2
S2 = A1 + A2 =
3
2 +
2.2 + 1
22 + 1
=
3
2 +
5
5 =
5
2
( ) ( )
S3 = A1 + A2 + A3 =
3
2 +
5
2 +
2.3 + 1
32 + 1
=
3
2 +
5
2 +
7
10 =
47
10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cuidado: O primeiro termo da série, representado no somatório, pode ser um número diferente de zero ou de 1.
Repare
n
∑
3
2k
, o somatório começa para
k = 3
. Assim, o primeiro termo da série será
23 = 8
e o segundo termo será
8 + 24 = 8 + 16 = 24
.
SÉRIE INFINITA X SÉRIE FINITA
Uma série de infinitos termos é denominada de série infinita. Uma série com um número finito de termos é definida
como série finita.
Se define a soma da série como o limite da série, isto é:
S = LIM
N → ∞
SN = LIM
N → ∞
∑NPAK = ∑
∞
PAK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa soma pode ter valor finito ou infinito.
Se a soma for finita, se diz que a série é convergente. Se o limite não existir ou for
∞
, a série será divergente.
Muitas vezes, usamos a mesma notação
∞
∑
p
an
para representar a própria série infinita.
EXEMPLO 10
Determine a soma da série cujo termo vale
3 − 2 +
4
3
 −
8
9
+ …
. Verifique se essa série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência
3, − 2,
4
3 , −
8
9 , …
.
S = ∑∞pak = lim
n → ∞
∑npak = 3 - 2 +
4
3 -
8
9 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que trata de uma série geométrica, os termos da soma são soma de uma progressão geométrica (PG), pois
cada termo é obtido pela multiplicação do termo anterior por uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 3 e a razão vale
−2
3
=
4/3
−2
=
−8/9
4/3
= −
2
3
.
A soma de uma PG infinita para quando o módulo da razão for menor do que 1 vale:
S =
a1
1 - q =
3
1 - -
2
3
=
3
1 +
2
3
=
9
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor de S foi um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 11
Determine a soma da série cujo termo vale
8 + 12 + 16 + 20 + 24 + . . . .
Verifique se a série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
{ }
( )
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência
{8, 12, 16, 20, 24, …}
.
S = ∑∞pak = lim
n → ∞
∑npak = 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que os termos da soma são soma de uma progressão aritmética (PA), pois cada termo é obtido pela soma do
termo anterior com uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 8 e a razão vale
12 − 8 = 16 − 12 = 20 − 16 = 4
A soma de uma PA vale:
sn =
a1 + an
2 n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo geral da sequência vale
an = a1 + (n − 1)r
Assim:
sn =
2a1 + r n - 1
2 n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo enunciado:
sn =
2.8 + 4 ( n - 1 )
2 n = (6 + 2n). n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o valor de:
S = ∑∞pak = lim
n → ∞
sn = lim
n → ∞
(6 + 2n) . n = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como
S
não é um número finito,então a série é divergente.
PROPRIEDADES DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
Podemos citar algumas propriedades de uma série convergente:
( )
A
Seja k um número real, se
∞
∑
p
an
for uma série convergente, então
∞
∑
p
kan,
com k real, também será convergente e pode ser obtida por
k
∞
∑
p
an.
B
Sejam as séries convergentes
∞
∑
p
an
e
∞
∑
p
bn,
se
∞
∑
p
cn =
∞
∑
p
(an + bn),
então
∞
∑
p
cn
será convergente e pode ser obtida por
∞
∑
p
an +
∞
∑
p
bn.
Por fim, podemos definir um critério necessário para que uma série seja convergente.
Se ∑∞pan for convergente, então os termos
an
têm que tender para zero quando
n
javascript:void(0)
javascript:void(0)
tende ao infinito, isso é lim
n → ∞
an = 0. .
 ATENÇÃO
Cuidado: Esse critério é necessário mas não suficiente; em outras palavras, pode existir uma série que lim
n → ∞
an = 0 e
ela ser divergente.
Podemos escrever o teorema de outra forma:
Se lim
n → ∞
an ≠ 0 ou se lim
n → ∞
an não existir então a série ∑
∞
pan será divergente.
EXEMPLO 12
Verifique se a série
∞
∑
1
2n2
5n2 + 1
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
2n2
5n2 + 1
Determinando o limite desse termo:
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
2n2
5n2 + 1
= lim
n → ∞
2n2
5n2
=
2
5 ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é divergente.
EXEMPLO 13
Verifique se a série
∞
∑
1
3
n(n + 1)
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
3
n(n + 1)
.
Determinando o limite desse termo:
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
3
n ( n + 1 ) =
3
∞ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência.
sn = ∑
n
1
3
k ( k + 1 ) = 3∑
n
1
1
k -
1
k + 1
sn = 3 1 -
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 + … +
1
n -
1
n + 1
sn = 3 1 -
1
n + 1
S = lim
n → ∞
sn = lim
n → ∞
3 1 -
1
n + 1 = 3 . 1 -
1
∞ = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a série é convergente.
 ATENÇÃO
Essa soma em que os termos se cancelam, que usamos na solução do exemplo, é denominada de soma telescópica.
EXEMPLO 14
Verifique se a série
∞
∑
1
1
n
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
1
n
.
Determinando o limite desse termo:
( )
[( ) ( ) ( ) ( )]
[ ]
[ ] ( )
lim
n → ∞
an = lim
n → ∞
1
n =
1
∞ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência.
sn = ∑
n
1
1
k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
s1 = 1
s2 = 1 +
1
2
s4 = 1 +
1
2 +
1
3 +
1
4 > 1 +
2
2
s8 = 1 +
1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7 +
1
8 > 1 +
3
2
. . .
sn = 1 +
1
2 + … +
1
n - 1 +
1
n > 1 +
n
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
S = lim
n → ∞
sn > lim
n → ∞
1 +
n
2 = 1 + ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, tende ao infinito, sendo uma série divergente, mesmo atendendo à condição inicial.
Por fim, apenas uma definição. Uma série
∑ an
será dita como absolutamente convergente se a série
∑ an 
for convergente.
Uma série é dita como condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Um
ponto é que toda série absolutamente convergente será convergente, mas nem toda série convergente será
absolutamente convergente.
No próximo módulo, analisaremos os testes de convergência para uma série.
MÃO NA MASSA
| |
1. DETERMINE O TERCEIRO TERMO DA SÉRIE NUMÉRICA DEFINIDA POR:
SN = ∑
N
K = 1( - 1)
K 9
K2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) -1
B) 1
C) -
31
4
D) 
31
4
E) -
9
4
2. DETERMINE O QUINTO TERMO DA SÉRIE ASSOCIADA A SEQUÊNCIA {16, 8, 4, 2, …}.
A) 1
B) 15
C) 16
D) 31
E) 32
3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE ∑N1
N3 + 2N + 1
N5 - 2
.
A) Série condicionalmente convergente.
B) Série absolutamente convergente.
C) Série convergente.
D) Série divergente.
E) Série geométrica.
4. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑N1
1
( N + 3 ) ( N + 2 ) .
A) 
1
3
B) 
1
4
C) 
1
5
D) 
1
6
E) 
1
7
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE A APRESENTA A SOMA DA SÉRIE ∑N1
2N
5N - 1
.
A) 
3
10
B) 
10
3
C) 
5
7
D) 
7
15
E) 
13
15
6. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA EM RELAÇÃO À SÉRIE QUE ESTÁ ASSOCIADA
À SEQUÊNCIA COM TERMO GERAL DADO POR AN =
2
N2 + 6N + 8
.
A) A série é divergente.
B) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 
2
5 .
C) A série é absolutamente convergente e a soma vale 
2
5 .
D) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 
7
12 .
E) A série é absolutamente convergente e a soma vale 
7
12 .
GABARITO
1. Determine o terceiro termo da série numérica definida por:
sn = ∑
n
k = 1( - 1)
k 9
k2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
O terceiro termo será calculado como: s3 = a1 + a2 + a3
Mas:
• a1 = ( - 1)
1 9
12
= - 9
• a2 = (-1)
2 9
22
=
9
4
• a3 = ( - 1)
3 9
32
= - 1
Assim: s3 = a1 + a2 + a3 = - 9 +
9
4 - 1 = -
31
4
2. Determine o quinto termo da série associada a sequência {16, 8, 4, 2, …}.
A alternativa "D " está correta.
Ao analisar a sequência, se verifica que se trata de uma progressão geométrica (PG) de razão 0,5, pois an + 1 = an.
1
2 .
A série será definida por sn = ∑
n
1an. Assim, o termo
sn
será a soma parcial da PG do primeiro termo até o enésimo termo.
A fórmula da soma da PG finita é dada por:
sn =
a1 q
n - 1
q - 1 =
16 0,5n - 1
0,5 - 1 = 32 1 - 0,5
n = 32 -
32
2n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exercício pede o quinto termo. Então:
s5 = 32 -
32
25
= 32 - 1 = 31
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Marque a alternativa correta relacionada à série ∑n1
n3 + 2n + 1
n5 - 2
.
A alternativa "D " está correta.
O termo geral associado à série vale an =
n3 + 2n + 1
n5 - 2
.
Repare que, usando Leibniz, lim
n → ∞
n3 + 2n + 1
n5 - 2
= lim
n → ∞
n3
n5
= lim
n → ∞
1
n2
→ ∞
Pelo teorema estudado, se lim
n → ∞
an ≠ 0, então a série ∑
∞
i = pan será divergente.
4. Determine a soma da série ∑n1
1
( n + 3 ) ( n + 2 ) .
A alternativa "A " está correta.
Para calcular a soma, precisamos então calcular:
S = ∑∞1
1
( k + 3 ) ( k + 2 ) = limn → ∞
∑n1
1
( k + 3 ) ( k + 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas,
1
( k + 3 ) ( k + 2 ) =
1
k + 2 -
1
k + 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
sn = ∑
∞
1
1
( k + 3 ) ( k + 2 ) = ∑
∞
1
1
k + 2 -
1
k + 3
( ) ( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em uma soma telescópica:
sn =
1
3 -
1
4 +
1
4 -
1
5 +
1
5 + … +
1
n + 1 -
1
n + 2 +
1
n + 2 -
1
n + 3
sn =
1
3 -
1
n + 3
S = lim
n → ∞
sn = lim
n → ∞
1
3 -
1
n + 3 = limn → ∞
1
3 - limn → ∞
1
n + 3 =
1
3 - 0 =
1
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Marque a alternativa que a apresenta a soma da série ∑n1
2n
5n - 1
.
A alternativa "B " está correta.
Manipulando o termo da sequência associada
2n
5n - 1
=
2 . 2n - 1
5n - 1
= 2
2
5
n - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim teremos os termos
2 , 2.
2
5 , 2.
2
5
2
, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto temos uma série geométrica. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita com primeiro termo 2 e razão 
2
5 . .
S =
a1
1 - q =
2
1 -
2
5
=
2
3
5
=
10
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
6. Marque a alternativa verdadeira em relação à série que está associada à sequência com termo geral dado por
an =
2
n2 + 6n + 8
.
A alternativa "E " está correta.
CONVERGÊNCIA SÉRIE
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma bola que é solta de uma altura 2H do solo. Toda vez que essa bola quica no chão, ela volta a subir 0,5 à
altura anterior que ela havia subido. Seja a série definida pela sequência do espaço percorrido pela bola entre dois
quiques, após o primeiro quique no chão, determine a soma dessa série e verifique se ela é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
SOMA DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑N15
N71 - N:
A) 
1
2
B) 
21
2
C) 
35
2
D) 
23
4
E) 
45
4
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE ∑N4
1
( N - 3 ) ( N - 2 ) .
A) Divergente.
B) Convergente com soma igual a 1.
C) Convergente com soma igual a 3.
D) Convergente com soma igual a 5.
E) Convergente com soma igual a 7.
GABARITO
1. Determine a soma da série ∑n15
n71 - n:
A alternativa "C " está correta.
 
Manipulando o termo da sequência associada 5n71 - n =
5n
7n - 1
=
5 5n - 1
7n - 1
= 5
5
7
n - 1
, temos uma série geométrica. Usando
a fórmula da soma de uma PG infinita com primeiro termo 5 e razão 
5
7 , temos:
S =
a1
1 - q =
5
1 -
5
7
=
5
2
7
=
35
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Marque a alternativa correta relacionada à série ∑n4
1
( n - 3 ) ( n - 2 ) .
A alternativa "B " está correta.
 
Para calcular a soma, precisamos calcular:
S = ∑∞4
1
( n - 3 ) ( n - 2 ) = limn → ∞
∑n4
1
( n - 3 ) ( n - 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas,
1
( n - 3 ) ( n - 2 ) =
1
n - 3 -
1
n - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
sn = ∑
∞
4
1
( n - 3 ) ( n - 2 ) = ∑
∞
4
1
n - 3 -
1
n - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em uma soma telescópica, cuidado que o primeiro termo é para
n = 4
.
sn =
1
1 -
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 + … +
1
n - 4 -
1
n - 3 +
1
n - 3 -
1
n - 2
( )
( )
sn = 1 -
1
n - 2
S = lim
n → ∞
sn = lim
n → ∞
1 -
1
n - 2 = limn → ∞
(1) - lim
n → ∞
1
n - 2 = 1 - 0 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Convergente com soma igual a 1.
MÓDULO 2
 Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
TESTE DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS
( )
( ) ( )
INTRODUÇÃO
Uma série numérica pode ser convergente, quando sua soma tende a um número real, ou divergente, quando a soma
não tende a um número fixo.
É importante verificamos se uma série é ou não convergente. Para isso, existem alguns testes denominados de teste
de convergência.
Nesse módulo, estudaremos quatro testes: teste da comparação, teste da integral, teste da razão e teste da raiz.
No módulo anterior, estudamos a definição de uma série numérica e sua classificação quanto à convergência ou
divergência.
UMA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE SE SUA SOMA TENDER A UM
NÚMERO REAL QUANDO O NÚMERO DE TERMOS TENDER AO
INFINITO. ISSO É:
S = LIM
N → ∞
SN = LIM
N → ∞
∑NPAK = ∑
∞
PAK = L, L REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No módulo anterior, estudamos alguns teoremas e fizemos alguns exemplos para verificar a convergência de algumas
séries numéricas.
Acontece que existem testes, denominados de testes de convergência, que podem ser utilizados para se verificar a
convergência de tipos determinados de séries numéricas.
Esses testes ganham importância quando, por exemplo, conhecemos os termos da série, mas não conseguimos
determinar uma fórmula para sua soma. Assim, não temos como ver diretamente se a série converge ou não.
Aqui os testes serão analisados de forma separada, mas caberá a você, na prática, verificar o melhor teste para aplicar
na análise da convergência de uma determinada série. As vezes mais de um teste é possível de ser aplicado na série
analisada.
TESTE DA COMPARAÇÃO
O primeiro teste que vamos estudar é o teste da comparação.
A IDEIA DO TESTE DA COMPARAÇÃO É COMPARAR A SÉRIE
ANALISADA COM UMA SÉRIE QUE JÁ SABEMOS, PREVIAMENTE,
SER UMA SÉRIE CONVERGENTE OU DIVERGENTE.
Sejam as séries ∑ an e ∑ bn com termos positivos.
Se ∑ bn for convergente e an < bn para todo
n
, então ∑ an também será convergente.
Se ∑ bn for divergente an > bn para todo
n
, então ∑ an também será divergente.
 DICA
A demonstração matemática desse teorema pode ser estudada nas obras que constam na referência do tema.
Repare como é simples demonstrar essa afirmação:

Como as séries do teorema só possuem termos positivos, obrigatoriamente
sn =
n
∑
1
an
e
tn =
n
∑
1
bn
são crescentes. Veja que, quando aumenta o valor de
n
, o somatório aumenta, pois os termos são positivos.

Se
tn =
n
∑
1
bn
for convergente, então T = lim
n → ∞
tn = ∑
∞
1bn = L.
L
real. Como cada termo
an
é menor do que
bn
, a série sn < tn, assim S = lim
n → ∞
sn = ∑
∞
1an < L. Portanto, a série
sn
é crescente e limitada; pelo teorema visto no módulo anterior, ela será, portanto, uma série convergente.

Da mesma forma, se tn = ∑
n
1bn for divergente, então T = lim
n → ∞
tn = ∑
∞
1bn → ∞. Como cada termo
an
é maior do que
bn
, a série
sn > tn
, assim S = lim
n → ∞
sn > T. Mas, se
T
tende ao infinito, então
S
tende ao infinito, e a série
sn
também será divergente.
Para usar o teorema da comparação, precisamos conhecer algumas séries para serem usadas como comparativos. Na
grande parte dos problemas, usamos duas séries:
A
sn =
n
∑
1
1
np
(séries harmônicas)
Essa série será convergente se
p > 1
e divergente se
p ≤ 1
.
B
sn =
n
∑
1
arn − 1
(séries geométricas)
Essa série será convergente se
|r| ≤ 1
e divergente se
|r| > 1
.
Vamos ver agora alguns exemplos.
EXEMPLO 15
Verifique se a série
∞
∑
1
2
k
 sen
1
k
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Repare que
k > 0
, portanto 0 <
1
k ≤ 1.
Para
javascript:void(0)
javascript:void(0)
y
no primeiro quadrante, isso é
[0,
π
2
]
, vale uma desigualdade:
seny ≤ y
.
Como 0 <
1
k ≤ 1 <
π
2 ,
então
1
k
está no primeiro quadrante e 0 < sen
1
k ≤
1
k .
Portanto, 0 <
2
k sen
1
k ≤
2
k . 
1
k → , 0 <
2
k sen
1
k ≤
2
k2
Sabemos que a série harmônica
n
∑
1
2
k2
é convergente.
Usando o teorema da comparação, como
n
∑
1
2
k2
é convergente e
2
n
sen
1
n
≤
2
n2
para todo
n > 1
, a série
∞
∑
1
2
k sen
1
k
também será convergente.
EXEMPLO 16
Verifique se a série
∞
∑
1
3lnk
k
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
∑∞1
3lnk
k =
3ln1
1 +
3ln2
2 + ∑
∞
3
3lnk
k =
3ln2
2 + ∑
∞
3
3lnk
k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como k ≥ e < 3, então
3lnk ≥ 3
. Quer dizer que para
k ≥ 3 → 3lnk ≥ 3
Assim
3lnk
k
≥ 
3
k
Sabemos que a série harmônica
∞
∑
3
3
k
é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação, como
3lnn
n
≥ 
3
n
para todo
n ≥ 3
e
∞
∑
3
3
k
é divergente, então
∞
∑
3
3lnk
k
é divergente.
Se
∞
∑
3
3lnk
k
e divergente então
∞
∑
1
3lnk
k
=
3ln2
2
+
∞
∑
3
3lnk
k
também é divergente.
javascript:void(0)
K ≥ E < 3
Lembrando que: ln k = loge k . Por isso, a comparação é feita com a base do logaritmo.
TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE
Existe um outro tipo de teste da comparação, denominado de teste da comparação do limite.
Ele obedece ao seguinte teorema:
Sejam as séries ∑ an e ∑ bn com termos positivos. Se
LIM
N → ∞
AN
BN
= K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k
real maior do que zero, ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Vamos entender a demonstração desse teorema.
Repare que, se
k
é positivo, ele está limitado entre dois números reais M < k < P.
Para quando
n
tende ao infinito M <
an
bn
< P → Mbn <an < Pbn.
Assim, se
∑ bn
converge,
∑Pbn
também converge. Pelo teorema da comparação anterior, como an < Pbn, ∑ an também convergirá.
( ) ( )
Da mesma forma, e
∑ bn
diverge, então
∑Mbn
também diverge. Pelo teorema da comparação anterior, como
an > Mbn
,
∑ an
também irá divergir.
Vamos trabalhar com alguns exemplos.
EXEMPLO 17
Verifique se a série
∞
∑
1
4
3n − 1
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Nós sabemos que a série geométrica com termo
bn =
4
3n
é convergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
4
3n - 1
4
3n
= lim
n → ∞
3n
3n - 1
= lim
n → ∞
1
1 -
1
3n
= 1 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série
∞
∑
1
4
3n
é convergente e lim
n → ∞
4
3n - 1
4
3n
= 1 então
∞
∑
1
4
3n − 1
também será convergente.
EXEMPLO 18
Verifique se a série
∞
∑
1
n2 + n
√n5 + 1
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo
bn =
n2
√n5
= n2 -
5
2 = n -
1
2 =
1
√n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como lim
n → ∞
bn = lim
n → ∞
1
√n
= ∞. Portanto, como o termo não tende a zero, a série é divergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
n2 + n
√n5 + 1
1
√n
= lim
n → ∞
( n2 + n √n
√n5 + 1
= lim
n → ∞
n2√n
√n5
= lim
n → ∞
1 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série
∞
∑
1
1
√n
é divergente e lim
n → ∞
n2 + n
√n5 + 1
1
√n
= 1 então
∞
∑
1
n2 + n
√n5 + 1
também será divergente.
Temos ainda duas complementações para o teorema da comparação do limite.
Sejam as séries ∑ an e ∑ bn com termos positivos. Se
lim
n → ∞
an
bn
= k
)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
k = 0
e a série ∑ bn for convergente, a série ∑ an também é convergente.
Se
k → ∞
e a série ∑ bn for divergente, a série ∑ an também é divergente.
A demonstração é simples, se
k = 0
então a série ∑ an < ∑ bn. Assim, se ∑ bn é convergente então ∑ an também converge.
Da mesma forma, se k → ∞ então a série ∑ an > ∑ bn. Assim, se ∑ bn é divergente então ∑ an também diverge.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 19
Verifique se a série ∑∞1
10
ln ( k ) é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos pegar a série harmônica com termo
bn =
10
k
. Sabemos que ela é divergente.
Fazendo agora:
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
10
ln ( n )
10
n
= lim
n → ∞
n
ln ( n )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando L´Hopital, derivando numerador e denominador:
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
n
ln ( n ) = limn → ∞
1
1 / n = limn → ∞
n = ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo teorema da comparação, como lim
n → ∞
an
bn
= ∞ e a série
bn
diverge, então ∑∞1
10
ln ( k ) também diverge.
Vamos agora estudar o teste da integral.
TESTE DA INTEGRAL
O teste da integral, como o próprio nome sugere, usa a comparação entre a série analisada e uma integral de uma
função f apropriada para se concluir sobre a convergência ou não da série.
Ele se baseia no seguinte teorema:
SEJA UMA FUNÇÃO F CONTÍNUA, POSITIVA E DECRESCENTE NO
INTERVALO [1, ∞) E SEJA AN = F N .
A SÉRIE ∑ AN SERÁ CONVERGENTE SE E SOMENTE SE A
INTEGRAL ∫∞1F(X)DX FOR CONVERGENTE.
Repare que o teorema usa a expressão se e somente se; assim, ele quer dizer que, quando
∫∞1 f(x)dx
for convergente,
∑ an
também é convergente, e vice-versa.
Da mesma forma que
∑ an
será divergente quando
∫∞1 f(x)dx
for divergente, e vice-versa.
Outro ponto é que
∫∞1 f(x)dx
é uma integral imprópria e será convergente quando seu valor for um número real. Se não for um número real, a
integral
∫∞1 f(x)dx
( )
será divergente.
 DICA
A demonstração do teorema se baseia em uma argumentação geométrica e pode ser estudada, se for o caso, nas
referências desse tema.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 20
Verifique se a série
∞
∑
1
1
(k2 + 4)
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Se
an =
1
(n2 + 4)
então
f(n) =
1
(n2 + 4)
. Essa função
f(x)
é contínua, decrescente e positiva, podendo ser usado o teste da integral.
A integral imprópria analisada será
∫∞1
1
(x2 + 4)
dx
Resolvendo a integral
∫∞1
1
(x2 + 4)
dx
∫∞1
1
x2 + 4
dx = ∫∞1
1
4
1
x
2
2
+ 1
dx =
1
4 arctg
x
2
∞
1( ) ( ( ) )
[ ( )]
∫∞1
1
x2 + 4
dx =
1
4 arctg(∞) -
1
2 arctg
1
2 =
1
4
π
2 -
1
2 arctg
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
∫∞1
1
(x2 + 4)
dx =
π
8
−
1
2
arctg
1
2
, a integral será convergente, então a série
∞
∑
1
1
(k2 + 4)
será convergente.
Agora vamos estudar o teste da razão.
TESTE DA RAZÃO
O teste da razão utilizará a ideia de comparar termos subsequentes da sequência associada à série analisada. Vamos
diretamente para seu enunciado.
Utilizaremos o seguinte critério.
Seja a série ∑ an
01
Se lim
n → ∞
an + 1
an
= L < 1, então ∑ an é absolutamente convergente.
02
Se lim
n → ∞
an + 1
an
= L > 1 ou ∞, então ∑ an é divergente.
03
Se lim
n → ∞
an + 1
an
= L = 1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste
A demonstração desse teorema pode ser encontrada nas referências desse tema.
( ) ( ) ( )
( )
| |
| |
| |
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 ATENÇÃO
Lembre-se de que, no primeiro caso, se a série for absolutamente convergente, ela será convergente também.
EXEMPLO 21
Verifique se a série
∞
∑
1
( − 1)k
k2
2k
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
an + 1
an
=
( - 1 ) n + 1
n + 1 ) 2
2 ( n + 1 )
( - 1 ) n
n2
2n
= (-1)
n + 1
n
2 2n
2n + 1
= -
1
2
n + 1
n
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
lim
n → ∞
an + 1
an
= lim
n → ∞
-
1
2
n + 1
n
2
= lim
n → ∞
1
2
n + 1
n
2
=
1
2 . 1 =
1
2 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
EXEMPLO 22
Verifique se a série
∞
∑
1
kk
k !
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
an + 1
an
=
( n + 1 ) n + 1
( n + 1 ) !
nn
n !
= (n + 1)
n + 1
n
n n !
( n + 1 ) ! = (n + 1)
n + 1
n
n 1
n + 1 =
n + 1
n
n
= 1 +
1
n
n
(
( ) ( )
| | | ( ) | ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
lim
n → ∞
an + 1
an
= lim
n → ∞
1 +
1
n
n
= lim
n → ∞
1 +
1
n
n
= e > 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, como o limite foi maior do que 1, a série é divergente.
Agora vamos analisar o último teste desse módulo: o teste da raiz.
TESTE DA RAIZ
O teste da raiz utiliza um critério que leva em conta a raiz enésima do termo da sequência a que a série é associada.
Esse teste é muito utilizado quando os termos da série são associados a potências de n.
Seja a série ∑ an com termos positivos.
01
Se lim
n → ∞
n
an = L < 1, então ∑ an é absolutamente convergente.
02
Se lim
n → ∞
n
an = L > 1 ou ∞, então ∑ an é divergente.
03
Se lim
n → ∞
n
an = L = 1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste
Vamos exemplificar a utilização desse teste.
EXEMPLO 23
Verifique se a série ∑∞1
3n + 4
4n + 3
n
 é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Como o termo 
3n + 4
4n + 3
n
 é positivo, podemos usar o teste da raiz. O termo:
| | |( ) | ( )
√
√
√
( )
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Se
an =
3n + 4
4n + 3 →
n
an =
3n + 4
4n + 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
lim
n → ∞
n
an = lim
n → ∞
3n + 4
4n + 3 =3
4 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz.
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑∞1
EK
K .
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 
1
3 ,
1
2 .
C) É convergente com soma no intervalo 
1
3 , 1 .
D) É convergente com soma no intervalo 
1
2 , 1 .
E) É convergente com soma no intervalo (1,2).
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES ∑∞1
4N2 + 3
2 + 8N2
2N
.
A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B) É divergente.
C) É condicionalmente convergente.
D) É convergente, porém não é absolutamente convergente.
E) É absolutamente convergente.
( ) √
√
( )
( )
( )
( )
3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES ∑∞1
Π
ARCTG ( K )
K
.
A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B) É divergente.
C) É condicionalmente convergente.
D) É convergente, porém não é absolutamente convergente.
E) É absolutamente convergente.
4. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑∞1
3
3N + 9
.
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 
1
3 ,
1
2 .
C) É convergente com soma no intervalo 
1
4 ,
3
2 .
D) É convergente com soma no intervalo 
1
4 ,
1
3 .
E) É convergente com soma no intervalo (1,2).
5. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN = ∑
∞
1
5
2N - 1
 E 
TN = ∑
∞
1
N + 1
√N3 + N
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
6. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN = ∑
∞
1
8
K2 + 1
 E 
TN = ∑
∞
1
3K
K2 + 1
[ ]
( )
( )
( )
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
GABARITO
1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑∞1
ek
k .
A alternativa "A " está correta.
Como k ≥ 1 então ek ≥ 1.
Assim 
ek
k ≥ 
1
k
Sabemos que a série harmônica ∑∞1
1
k é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação, como 
en
n ≥ 
1
n para todo n ≥ 1 e ∑
∞
1
1
k é divergente, então ∑
∞
1
ek
k é divergente.
2. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑∞1
4n2 + 3
2 + 8n2
2n
.
A alternativa "E " está correta.
Como 
4n2 + 3
2 + 8n2
2n
 é positivo, podemos usar teste da raiz.
Se
an =
4n2 + 3
2 + 8n2
2n
→
n
an =
n
4n2 + 3
2 + 8n2
2n
=
4n2 + 3
2 + 8n2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
lim
n → ∞
n
an = lim
n → ∞
4n2 + 3
2 + 8n2
2
= lim
n → ∞
4n2
8n2
2
=
1
4 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz.
3. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑∞1
π
arctg ( k )
k
.
A alternativa "B " está correta.
Como 
π
arctg ( n )
n
 é positivo, podemos usar o teste da raiz.
( )
( )
( ) √ √( ) ( )
√ ( ) ( )
[ ]
( )
Se
an =
π
arctg ( n )
n
→
n
an =
π
arctg ( n )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
n → ∞
n
an = lim
n → ∞
π
arctg ( n ) =
π
π
2
= 2 > 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série será divergente de acordo com o teste da raiz.
4. Marque a alternativa correta em relação à série ∑∞1
3
3n + 9
.
A alternativa "C " está correta.
Usando o teorema da comparação do limite, sabemos que a série geométrica com termo bn =
3
3n
 é convergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
3
3n + 9
3
3n
= lim
n → ∞
3n
3n + 9
= lim
n → ∞
1
1 +
9
3n
= 1 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑∞1
3
3n
 é convergente e lim
n → ∞
an
bn
= 1, , então ∑∞1
3
3n + 9
também será convergente.
Para estimar a soma:
As parcelas são positivas, sendo uma série crescente.
Para n = 1 →
3
3n + 9
=
3
3 + 9 =
1
4 , podemos concluir que S >
1
4 .
Como 
3n
3n + 9
<
3
3n
, então:
S = lim
n → ∞
∑∞1
3n
3n + 9
< lim
n → ∞
∑∞13
1
3
n
= T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 1 e razão 
1
3 .
Assim,
T =
b1
1 - q =
1
1 -
1
3
=
1
2
3
=
3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, 
1
4 < S <
3
2 
5. Marque a alternativa correta em relação às séries sn = ∑
∞
1
5
2n - 1
 e tn = ∑
∞
1
n + 1
√n3 + n
A alternativa "D " está correta.
Vamos analisar a primeira série sn
( ) √
√
( )
Usando o teorema da comparação do limite.
Nós sabemos que a série geométrica com termo bn =
5
2n
 é convergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
5
2n - 1
5
2n
= lim
n → ∞
2n
2n - 1
= lim
n → ∞
1
1 -
1
2n
= 1 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑∞1
5
2n
 é convergente e lim
n → ∞
5
2n - 1
5
2n
= 1 então ∑∞1
5
2n - 1
 também
será convergente.
Analisando agora a segunda série tn.
Usando o teorema da comparação do limite.
Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo
bn =
n
√n3
= n1 -
3
2 = n -
1
2 =
1
√n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
lim
n → ∞
bn = lim
n → ∞
1
√n
= ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como o termo não tende a zero a série é divergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
n + 1
√n3 + n
1
√n
= lim
n → ∞
n + 1 √n
√n3 + 1
= lim
n → ∞
n√n
√n3
= lim
n → ∞
1 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑ ∞1
1
√n
 é divergente e lim
n → ∞
n + 1
√n3 + n
1
√n
= 1 então ∑ ∞1
n + 1
√n3 + n
também será divergente.
Portanto a resposta é alternativa d.
6. Marque a alternativa correta em relação às séries sn = ∑
∞
1
8
k2 + 1
 e tn = ∑
∞
1
3k
k2 + 1
A alternativa "D " está correta.
TESTE DA INTEGRAL
( )
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O depósito de rejeitos em um reservatório a cada dia segue uma série numérica dada pela fórmula
dn =
∞
∑
1
1000
n
 3 − n
, em que n representa o tempo em dias e dn indica a quantidade de depósito de material em toneladas. Você está
interessado em estimar se a quantidade do depósito estará limitada a um determinado valor. Verifique o depósito do
material para quando o número de dias crescer infinitamente.
RESOLUÇÃO
TESTE DA COMPARAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑∞1
1
2 + 4N
.
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 
1
6 ,
1
3 .
C) É convergente com soma no intervalo 
1
4 ,
3
2 .
D) É convergente com soma no intervalo 
1
4 ,
1
3 .
E) É convergente com soma no intervalo (1,2).
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN = ∑
∞
1
4K + 1
K ! E 
TN = ∑
∞
1(-1)
K - 1 ( K + 1 )
4
4K + 1
.
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
GABARITO
1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑∞1
1
2 + 4n .
A alternativa "B " está correta.
 
Sabemos que a série geométrica com termo bn =
1
4n
 é convergente.
lim
n → ∞
an
bn
= lim
n → ∞
1
2 + 4n
1
4n
= lim
n → ∞
4n
4n + 2
= lim
n → ∞
1
1 +
2
4n
= 1 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑∞1
1
4n
 é convergente e lim
n → ∞
an
bn
= 1, então ∑∞1
1
2n + 2
também será convergente.
Para estimara soma:
As parcelas são positivas, sendo uma série crescente.
Para n = 1 →
1
2 + 4n
=
1
6 =
1
6 , podemos concluir que S >
1
6 .
Como 
1
2 + 4n
<
1
4n
, então:
( )
( )
( )
S = lim
n → ∞
∑∞1
1n
2 + 4n
< lim
n → ∞
∑∞1
1
4
n
= T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 
1
4 e razão 
1
4 .
Assim,
T =
b1
1 - q =
1
4
1 -
1
4
=
1
4
3
4
=
1
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, 
1
6 < S <
1
3 
2. Marque a alternativa correta em relação às séries sn = ∑
∞
1
4k + 1
k ! e tn = ∑
∞
1 (-1)
k - 1 ( k + 1 )
4
4k + 1
.
A alternativa "B " está correta.
 
Vamos analisar a primeira série sn:
an + 1
an
=
4k + 2
( k + 1 ) !
4k + 1
( k ) !
=
4k + 2
4k + 1
.
k !
( k + 1 ) ! =
4
k + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite abaixo:
lim
n → ∞
an + 1
an
= lim
n → ∞
4
k + 1 = limn → ∞
4
k + 1 = 0 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
Analisando a segunda série:
bn + 1
bn
=
( - 1 ) n
( n + 2 ) 4
4n + 2
( - 1 ) n - 1
( n + 1 ) 4
4n + 1
= (-1)
n + 2
n + 1
4 4n + 1
4n + 2
= -
1
4
n + 2
n + 1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
lim
n → ∞
an + 1
an
= lim
n → ∞
-
1
4
n + 2
n + 1
4
= lim
n → ∞
1
4
n + 2
n + 1
4
=
1
4 . 1 =
1
4 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
( )
| | | |
( ) ( )
| | | ( ) | ( )
MÓDULO 3
 Definir as séries de potências e as séries trigonométricas
SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO
Nesse módulo, introduziremos o conceito da série de funções.
Dentre as séries de funções existem alguns tipos de grande aplicação, principalmente na aproximação de funções
matemáticas.
Nesse módulo, estudaremos as séries de potência e as séries trigonométricas.
SÉRIES DE FUNÇÕES
Nos módulos anteriores estudamos as séries numéricas, em que se obtinha uma série associada a uma sequência de
números. Vamos agora ampliar este conceito.
Vamos criar uma série que dependa do valor de uma variável independente x, ou seja, uma série que, variando o valor
de x, origina em séries numéricas diferentes. 
Seja uma sequência dada por funções fn(x), podemos definir uma série:
SN(X) = ∑
N
1FK X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sua soma dada por:
S(X) = ∑∞1FK X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
REPARE QUE TANTO OS TERMOS DA SÉRIE (SN) COMO A SOMA (S)
TERÃO VALORES QUE VARIAM COM X. EM OUTRAS PALAVRAS,
TEREMOS UMA SÉRIE NUMÉRICA DIFERENTE PARA CADA VALOR
DE X. ESSE TIPO DE SÉRIE É DENOMINADO SÉRIE DE FUNÇÕES.
Um ponto importante é que a série pode convergir para certos valores de x e divergir para outros.
Por exemplo:
SN(X) = ∑
N
1
1
K X
K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que para cada valor de x as séries obtidas serão diferentes.
 EXEMPLO
Vamos exemplificar para dois valores de x:
x = 1 → sn(1) = ∑
n
1
1
k 1
k = 1 +
1
2 +
1
3 + … +
1
n
x = 2 → sn(2) = ∑
n
1
1
k 2
k = 2 + 2 +
8
3 + … +
2n
n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dentre essas séries de funções, algumas têm grande importância, pois são utilizadas para aproximação de funções
matemáticas. Estudaremos nesse módulo as séries de potências e as séries trigonométricas.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Um tipo de série de grande aplicação são as séries de potências.
Diversas funções na matemática podem ser expressas, ou aproximadas, como uma série de potência; por isso, sua
importância.
Seja an uma sequência e x0 um número real. A série de potências será uma série de funções do tipo:
∑∞0AN X - X0
N( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de potências com coeficientes an, ao redor ou centrada em x0.
 ATENÇÃO
Repare que a série de potência é uma generalização de um polinômio.
A série de potência centrada no zero, isso é, x0 = 0, será dada por:
∑∞0ANX
N = A0 + A1X + A2X2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os coeficientes podem ser números ou funções da posição, isso é, funções da variável n.
Por exemplo, seja a série de potências cujo coeficientes são dados por
an =
1
n !
, centrada no zero; assim, a série será:
∑ ∞N = 0
XN
N ! = 1 + X +
X2
2 +
X3
6 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as séries de potência são generalizações de um polinômio, elas podem ser adicionadas, subtraídas,
multiplicadas e divididas entre si. Basta realizar as operações como se estivessem realizando a operação com
polinômios.
A série de potência pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros.
 ATENÇÃO
O intervalo que contém os valores de x nos quais a série é convergente é denominado de intervalo de convergência.
Vamos agora estudar uma importante propriedade da série de potências que será útil na demonstração do teorema
relacionado ao raio de convergência da série.
TEOREMA AUXILIAR
SE A SÉRIE ∑ ∞N = 0ANX
N FOR CONVERGENTE PARA X = XC, COM 
XC ≠ 0, A SÉRIE CONVERGIRÁ ABSOLUTAMENTE PARA TODOS OS
VALORES DE
X
NO INTERVALO ABERTO - XC , XC
Vamos ver um exemplo da aplicação desse teorema auxiliar.
Seja a série de potências:
∑ ∞N = 1
XN
N !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
x = – 1
essa série será transformada em
∞
∑
n = 1
( − 1)n
1
n !
Vamos provar que essa série converge. Para isso, vamos usar o teorema da convergência para uma série alternada.
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
SEJA A SÉRIE ALTERNADA ∑∞1( - 1)
N - 1AN = A1 - A2 + A3 - A4 + …,
COM
AN
( | | | |)
POSITIVO. SEAN + 1 ≤ AN E LIM
N → ∞
AN = 0, ESTA SÉRIE SERÁ
CONVERGENTE.
O entendimento desse teorema é simples. Se o termo posterior é sempre menor do que o anterior, cada vez mais, com
o crescimento de n, diminui a contribuição ao somatório. Como os termos tendem a zero, a partir de um certo
momento, as contribuições das novas parcelas tendem a zero, fazendo com que a série seja convergente a um valor
real.
Se usarmos o teste de convergência para uma série alternada, podemos verificar que a série
∞
∑
n = 1
( − 1)n
1
n !
será convergente, pois é uma série alternada com:
1
N + 1 ! <
1
N ! → AN + 1 < AN E LIMN → ∞
AN = LIM
N → ∞
1
N ! = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, podemos dizer que a série
∞
∑
n = 1
xn
n !
é convergente para
x = – 1
. Assim, pelo teorema auxiliar, podemos concluir que se
∞
∑
n = 1
xn
n !
é convergente para
x = – 1
. Então, será absolutamente convergente para
(– 1, 1)
.
Assim, obtendo um ponto de convergência da série, podemos definir um intervalo em que a série é absolutamente
convergente.
Agora, podemos enunciar um teorema importante relacionado ao intervalo de convergência da série de potência.
TEOREMA
Para uma dada série de potência centrada em x0:
∑ ∞N = 0AN X - X0
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Existem apenas três possibilidades:
01
Ou a série converge apenas para
x = x0
;
02
Ou a série converge absolutamente para todo
x
real;
03
Ou existe um número real
R > 0
tal que a série converge absolutamente para todo
x
no intervalo x - x0 < R e diverge para todo
x
no intervalo x - x0 > R.
Nos pontos
x = x0– R
e
x = x0 + R
( )
| |
| |
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
a série poderá convergir oudivergir. Assim, o caso (3) pode ser representado pela figura a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 DICA
Caso você se interesse pela demonstração desse teorema, pode estudar as obras de referência desse tema.
O número
R
é denominado de raio de convergência da série de potências. Assim, no caso (1), o valor de
R = 0
e, no caso (2), o valor de
R = ∞
.
O intervalo de convergência para o caso (1) será apenas o ponto
x = x0
, no caso (2) será -∞ < x < ∞ e no caso (3) será x0 - R < x < x0 + R.
Os testes de convergência estudados no módulo anterior devem ser usados para se verificar o valor do raio de
convergência e para se checar a convergência ou não para
x = x0– R
e
x = x0 + R
.
EXEMPLO 24
Verifique a convergência da série de potência
∞
∑
1
k ! xk
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
AN + 1
AN
=
( N + 1 ) ! XN + 1
( N ) ! XN
= X N + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar lim
n → ∞
|x (n + 1)|.
Para x = 0 → lim
n → ∞
|x (n + 1)| = 0, a série será absolutamente convergente;
Para x ≠ 0 → lim
n → ∞
|x (n + 1)| → ∞ > 1, a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será
x = 0
.
EXEMPLO 25
Verifique a convergência da série de potência
∞
∑
1
( − 1)k
x2k
22k(k !)2
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
an + 1
an
=
( - 1 ) n + 1
x2 ( n + 1 )
22 ( n + 1 ) ( n + 1 ! ) 2
( - 1 ) n
x2n
22n ( n ! ) 2
= (-1)
22n
22n + 1
x2n + 2
x2n
n !
n + 1 !
2
= (-1)
x
2
1
( n + 1 ) 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar
( )
( )
lim
n → ∞
- 1
x
2
1
( n + 1 ) 2
= lim
n → ∞
x
2
1
( n + 1 ) 2
= 0 < 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que para todos os valores de
x
o limite será menor do que
1
e, pelo teste da razão, será absolutamente convergente.
Assim, o raio de convergência será
∞
e o intervalo de convergência será
( − ∞, ∞)
.
EXEMPLO 26
Verifique a convergência da série de potência
∞
∑
1
1
k
(x + 1)k
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
an + 1
an
=
1
( n + 1 ) ( x + 1 )
n + 1
1
n ( x + 1 )
n
=
n
n + 1 (x + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar lim
n → ∞
n
n + 1 x + 1 = |x + 1|
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
|x + 1| < 1 →
x + 1 < 1 → x < 0
x + 1 > - 1 → x > - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
|( ) |
| ( ) |
{
Para
x
no intervalo
(– 2, 0)
, a série será convergente.
|x + 1| > 1 →
x + 1 > 1 → x > 0
x + 1 < - 1 → x < - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
x
no intervalo
( − ∞, – 2)
e
(0, ∞)
, a série será divergente.
Necessitamos analisar para
x = 0
e
x = – 2
, pois para estes valores o teste da razão é não conclusivo pois o limite dará 1.
Fazendo
x = 0 →
∞
∑
1
1
k
(x + 1)k =
∞
∑
1
1
k
, que é uma série harmônica que já sabemos que é divergente.
Fazendo
x = – 2 →
∞
∑
1
1
k
(x + 1)k =
∞
∑
1
( − 1)k
1
k
, que é uma série alternada
Pelo critério da série alternada, será uma série convergente.
Assim o intervalo de convergência será – 2 ≤ x < 0.
O raio de convergência
R
{
será
1
, pois a série será convergente para |x + 1| < 1.
PODEMOS REPRESENTAR ALGUMAS FUNÇÕES F(X) ATRAVÉS DE
UMA SÉRIE DE POTÊNCIAS, ISSO É:
F(X) = ∑ ∞N = 0AN X - X0
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função expressa por uma série de potência centrada em x0 é dita função analítica em x0.
Nesse caso, o domínio da função f(x) será o intervalo de x, ao redor de x0, em que a série converge.
 SAIBA MAIS
Uma função analítica será contínua no seu domínio e poderá ser derivável e integrável.
Vamos agora estudar dois casos particulares de séries de potência utilizados para aproximar funções, que são as
séries de Taylor e de Maclaurin.
SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
Vimos que algumas funções podem ser representadas por uma série de potências.
F(X) = ∑ ∞N = 0AN X - X0
N
F(X) = A0 + A1 X - X0 + A2 X - X0 2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( ) ( )
Vamos obter os valores dos coeficientes em função do valor de
f
.
F X0 = A0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se:
F(X) = A0 + A1 X - X0 + A2 X - X0 2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
F'(X) = A1 + 2A2 X - X0 + 3A3 X - X0 2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
F' X0 = A1 = 1! A1 → A1 =
F' X0
1 !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo os passos:
F''(X) = 2A2 + 6A3 X - X0 + 12A3 X - X0 2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E:
F'' X0 = 1. 2 A2 = 2!A2 → A2 =
F'' X0
2 !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo mais uma vez:
F'''(X) = 6 A3 + 24 A3 X - X0 + 60 A3 X - X0 2 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
F''' X0 = 2.3 A3 = 3!A3 → A3 =
F''' X0
3 !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma análoga, seguindo os mesmos passos podemos obter que:
AN =
F ( N ) X0
N !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos colocar agora essa descoberta na forma de um teorema.
Se a função f(x) tiver uma representação através de uma série de potências em x0, isso é:
F(X) = ∑ ∞N = 0AN X - X0
N, COM X - X0 < R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes an serão dadas pela fórmula:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) | |
AN =
F ( N ) X0
N !
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo esses coeficientes na série, podemos representar a função f(x) por:
F(X) = ∑ ∞N = 0
F ( N ) X0
N ! X - X0
N
F(X) = F X0 +
F' X0
1 ! X - X0 +
F'' X0
2 ! X - X0
2 +
F''' X0
3 ! X - X0
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de Taylor da função f(x) centrada em x0.
Utilizamos a mesma para aproximar uma função ao redor de x0.
Para o caso de x0 = 0, a série de Taylor se torna:
F(X) = ∑ ∞N = 0
F ( N ) ( 0 )
N ! X
N = F(0) +
F' ( 0 )
1 ! X +
F'' ( 0 )
2 ! X
2 +
F''' ( 0 )
3 ! X
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Esse caso particular aparece com frequência e recebe um nome especial: série de Maclaurin.
EXEMPLO 27
Represente a função
f(x) = cosx
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
através de uma série de Taylor centrada em
x =
π
4
.
RESOLUÇÃO
Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, necessitamos das derivadas da função
f(x) = cos(x)
e o valor de
f
π
4 =
√2
2
.
f’ x = – sen x → f '
π
4 = -
√2
2
f’’ x = – cos x → f ' '
π
4 = -
√2
2
f’’’ x = sen x → f ' ''
π
4 =
√2
2
f ( 4 ) x = cos x → f ( 4 )
π
4 =
√2
2
E assim sucessivamente.
A série de Taylor será:
f(x) = f x0 +
f ' x0
1 ! x - x0 +
f '' x0
2 ! x - x0
2 +
f ''' x0
3 ! x - x0
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
f(x) =
√2
2 -
√2
2 x -
π
4 +
√2
4 x -
π
4
2
+
√2
12 x -
π
4
3
+ …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função pode ter uma boa aproximação através da série de Taylor
(Tn(x))ou não. Isso é medido por uma função denominada de resto
(Rn(x))
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
F(X) = TN(X) + RN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Esse assunto não será abordado, mas pode ser estudado, se for o caso, nas referências que se encontram no fim
desse tema.
Mas podemos adiantar que funções que são infinitamente deriváveis possuem uma aproximação através de séries de
Taylor.
Agora, vamos estudar um outro tipo de séries de funções denominado séries trigonométricas.
SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS
Outro tipo de série de grande aplicação são as séries trigonométricas. Elas serão a base das Séries de Fourier, de
grande aplicação na matemática para aproximação de funções.
Seja an uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo:
SN(X) = ∑
N
0ANCOS(NX) + BNSEN NX
e
S(X) = ∑∞0ANCOS(NX) + BNSEN NX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
( )
( )
( )
O nome “trigonométrica” vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções
trigonométricas em seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno como a cosseno são periódicas,
com um período de
2π
.
Em outras palavras, a série se repete a cada período de
x = 2π
. Assim,
sn(x) = sn(x + 2kπ)
e
S(x) = S(x + 2kπ)
, com
k
inteiro.
Agora, vamos recordar os conceitos de função par e função ímpar:
A função
g(x)
será uma função par se e somente se
g(x) = g(– x)
para todo
x
do seu domínio;
A função
g(x)
será uma função ímpar se e somente se
g(x) = – g(– x)
para todo
x
do seu domínio.
Assim, vemos que
cos(x)
é uma função par e
sen(x)
é uma função ímpar. Dessa forma, representaremos:
Séries trigonométricas pares (bn = 0 para todo n): S(x) = ∑
∞
0ancos(nx).
Séries trigonométricas ímpares (an = 0 para todo n): S(x) = ∑
∞
0bnsen (nx).
 EXEMPLO
Como exemplo de série trigonométrica, podemos citar a série de Fourier. A série de Fourier pode ser usada para
aproximar funções, principalmente as funções que apresentam uma certa periodicidade.
Para a série de Fourier, sendo:
F(X) = ∑∞0ANCOS(NX) + BNSEN NX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos os seguintes coeficientes:
A0 =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)DX
AN =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)COS(NX)DX , N ≥ 1
BN =
1
Π ∫
Π
- ΠF(X)SEN(NX)DX , N ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
( )
1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA
SÉRIE DE POTÊNCIA ∑∞1
( X + 1 ) K
K ! :
A) 
1
2 e -
1
2 ,
1
2
B) 1 e -
1
2 ,
1
2
C) 0 e 
1
2
D) 
1
2 e -1,
1
2
E) ∞ e (-∞, ∞)
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA ÍMPAR.
A) ∑∞0
1
n cos(nx) -
1
n sen nx
B) ∑∞0 [(n + 1)cos(nx) - nsen(nx)]
C) ∑∞0 [ln(nx)]
D) ∑∞0
1
n x + 1
E) ∑∞0 [(n + 1)sen(nx)]
3. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA
SÉRIE DE POTÊNCIA ∑∞1 (X - 2)
K(K + 1): :
A) 2 e(-2, 1]
B) 1 e(-2, 1]
C) 0 e [2]
D) 
1
2 e -1,
1
2
E) ∞ e (-∞, ∞)
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN PARA A FUNÇÃO 
F X = 1 – X ) – 1
( ]
( ]
[ ]
( ]
[ ( )]
[ ( )]
( ]
( ) (
A) f(x) = 1 - x + x2 - x3 + …
B) f(x) = 1 + 2x + 6x2 + 24x3 + …
C) f(x) = 1 + x + x2 + x3 + …
D) f(x) = 1 - 2x + 6x2 - 24x3 + …
E) f(x) = x + x2 + x3 + x4 + …
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE TAYLOR PARA A
FUNÇÃOF(X) = SENX
CENTRADA NO PONTO X =
Π
6 .
A) f(x) =
1
2 -
√3
2 x -
π
6 -
1
4 x -
π
6
2
-
√3
12 x -
π
6
3
-
1
48 x -
π
6
4
+ …
B) f(x) =
1
2 +
√3
2 x -
π
6 -
1
4 x -
π
6
2
-
√3
12 x -
π
6
3
+
1
48 x -
π
6
4
+ …
C) f(x) =
1
2 +
√3
2 x -
π
6 +
1
4 x -
π
6
2
+
√3
12 x -
π
6
3
+
1
48 x -
π
6
4
+ …
D) f(x) =
1
2 +
1
2 x -
π
6 -
√3
4 x -
π
6
2
-
1
12 x -
π
6
3
+
√3
48 x -
π
6
4
+ …
E) f(x) =
1
2 +
√2
2 x -
π
6 -
1
4 x -
π
6
2
-
√2
12 x -
π
6
3
+
1
48 x -
π
6
4
+ …
6. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA
SÉRIE DE POTÊNCIA ∑∞1
( - 2 ) KXK
4
√K
:
A) 
1
2 e -
1
2 ,
1
2
B) 1 e -
1
2 ,
1
2
C) 0 e 
1
2
D) 
1
2 e -1,
1
2
E) ∞ e (-∞, ∞)
GABARITO
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ]
( ]
[ ]
( ]
1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑∞1
( x + 1 ) k
k ! :
A alternativa "E " está correta.
Usando o teste da razão:
an + 1
an
=
( x + 1 ) n + 1
( n + 1 ) !
( x + 1 ) n
n !
= (x + 1)
1
( n + 1 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar lim
n → ∞
x + 1
n + 1 = 0
Assim, o limite é menor do que 1 para todo x, pelo teste da razão será absolutamente convergente para todo x.
Assim, o raio de convergência será ∞ e o intervalo de convergência será ( - ∞, ∞).
2. Marque a alternativa que apresenta uma série trigonométrica ímpar.
A alternativa "E " está correta.
Uma série trigonométrica ímpar é aquela com forma ∑∞0 ansen nx
Analisando as opções, a única que apresenta essa forma é a letra e.
A letra a e b apresentam as funções cos(nx) que não são ímpares. As funções da letra c e d não são funções
trigonométricas.
3. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑∞1 (x - 2)
k(k + 1): :
A alternativa "C " está correta.
Usando o teste da razão:
an + 1
an
=
( x - 2 ) n + 1 ( n + 2 ) !
( x - 2 ) n ( n + 1 ) !
= x - 2 n + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar lim
n → ∞
|(x - 2) (n + 2)|.
Para x – 2 = 0 → x = 2 → lim
n → ∞
|(x - 2) (n + 2)| = 0, então a série será absolutamente convergente;
Para x ≠ 2 → lim
n → ∞
|(x - 2) (n + 2)| → ∞ > 1, então a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será
x = 2
.
4. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin para a função f x = 1 – x ) – 1
A alternativa "C " está correta.
| |
[ ( )]
( ) ( )
( ) (
SÉRIES DE MACLAURIN
5. Marque a alternativa que apresenta a série de Taylor para a
funçãof(x) = senx
centrada no ponto x =
π
6 .
A alternativa "B " está correta.
Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, precisamos das derivadas da função
f(x) = sen(x)
e o valor de f
π
6 =
1
2 .
f’ x = cos x → f '
π
6 =
√3
2
f’’ x = – sen x → f ' '
π
6 = -
1
2
f’’’ x = – cos x → f ' ' '
π
6 = -
√3
2
f ( 4 x = sen x → f ( 4 )
π
6 =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e assim sucessivamente.
A série de Taylor será:
f(x) = f x0 +
f ' x0
1 ! x - x0 +
f '' x0
2 ! x - x0
2 +
f ''' x0
3 ! x - x0
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
f(x) =
1
2 +
√3
2 x -
π
6 -
1
4 x -
π
6
2
-
√3
12 x -
π
6
3
+
1
48 x -
π
6
4
+ …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑∞1
( - 2 ) kxk
4√k
:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A alternativa "A " está correta.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja
f(x) = 2ln(x)
. Utilize a série de Taylor, até seu termo de quarta ordem, centrada no ponto
x = 1
, para obter o valor de
f(x)
nos pontos
x = 1– 0, 001
e
x = 1 + 0, 001
.
RESOLUÇÃO
SÉRIE DE TAYLOR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA
SÉRIE DE POTÊNCIA ∑∞1 (X + 8)
K(K + 3):
A) 2 e(-8, 1]
B) 1 e 1,8
C) 0 e [-8]
D) ∞ e [-8]
E) ∞ e (-∞, ∞)
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN DA FUNÇÃO 
F X = E5X.
A) f(x) = 1 + 5x +
25
2 x
2 +
125
3 x
3+ …
B) f(x) = 1 - 5x +
25
2 x
2 -
125
6 x
3 + …
C) f(x) = 1 + 5x + 25x2 + 125x3 + …
D) f(x) = 1 + 5x +
25
2 x
2 +
125
6 x
3 + …
E) f(x) = 1 + x + x2 + x3 + …
GABARITO
1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑∞1 (x + 8)
k(k + 3):
A alternativa "C " está correta.
 
( )
Usando o teste da razão:
an + 1
an
=
( x + 8 ) n + 1 ( n + 4 ) !
( x + 8 ) n ( n + 3 ) !
= x + 8 n + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar lim
n → ∞
|(x + 8)(n + 4)|.
Para x + 8 = 0 → x = - 8 → lim
n → ∞
|(x + 8) (n + 4)| = 0. Então, a série será absolutamente convergente;
Para x ≠ – 8 → lim
n → ∞
|(x + 8) (n + 4)| → ∞ > 1 Então, a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será
x = – 8
.
2. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f x = e5X.
A alternativa "D " está correta.
 
A série de Maclaurin será:
f(x) = ∑ ∞n = 0
f ( n ) ( 0 )
n ! x
n = f(0) +
f ' ( 0 )
1 ! x +
f '' ( 0 )
2 ! x
2 +
f ''' ( 0 )
3 ! x
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos obter os valores dos coeficientes; para isso, precisamos das derivadas da função f x = e5x e o valor
de f(0) = 1.
f’ x = 5e5x → f ' (0) = 5
f’’ x = 25e5x → f ' (0) = 25
f’’ x = 25e5x → f ' (0) = 25
f ( 4n ) x = 625e5x → f ' (0) = 625
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A série de Maclaurin será substituindo os valores
f(x) = 1 + 5x +
25
2 x
2 +
125
6 x
3 + …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse tema apresentou o conceito das séries.
No primeiro módulo, apresentamos a definição e os conceitos iniciais da série numérica. No módulo dois, os testes de
convergência que permitem verificar se uma determinada série é ou não convergente. No último módulo, apresentamos
duas séries de funções, séries de potências e séries trigonométricas, de grande aplicação na aproximação de funções.
Assim, esperamos que, ao chegar ao fim desse tema, você tenha capacidade de resolver os problemas de séries.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H.L. Cálculo. Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 2, p. 15-35, cap. 3, p. 36-65, cap.4, p. 66-74
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 9, p.417-454
STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 11, p. 698-791.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas aplicações na internet e em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);