ListaTeorica 1 2009.1 GABARITO

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia 
 
 
Lista Teórica 1 - GABARITO 
 
 
1. Em um modelo com efeito individual não observado (ai), 
 
itiitit uaxy +++= ba (1) 
 
redefina o erro como vit = ai + uit, onde: (i) ai é não-correlacionado com uit e tem variância 
constante e igual a sa2 ; (ii) uit tem variância constante e igual a su2; (iii) uit é não-
correlacionado com x, além de serialmente não-correlacionado. 
 
 
a) Explique por que, sob as hipóteses acima, o estimador de MQO da equação (1) é 
consistente mas ineficiente. 
 
 
Defina, agora, a equação transformada: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit vvxxyy llblal -+-+-=- )1( (2) 
 
onde l=1-[ su2/( su2 + T sa2)]1/2. 
 
O estimador de efeitos aleatórios é obtido pela aplicação de MQO nessa equação 
transformada. 
 
 
b) Defina ( )iitit vve l-= . Mostre que, para t¹s, cov(eit,eis??)=0?. Você deve primeiro 
mostrar que E(eit) = 0; depois, que Var(eit) = su2, t=1,....T; e, enfim, provar o resultado 
desejado. 
 
c) Qual a implicação do resultado do item anterior para as propriedades do estimador de 
MQO na equação transformada (2) - isto é, para as propriedades do estimador de 
efeitos aleatórios? 
 
d) Compare a equação (2) com a equação transformada associada ao estimador de efeitos 
fixos: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxyy -+-=- b (3) 
 
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Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores – efeitos fixos 
e aleatórios) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
e) Agora compare a equação do estimador de efeitos aleatórios, (2), com a equação 
original (1). Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois 
estimadores - efeitos aleatórios em (2) e MQO em (1)) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
 
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2. Deseja-se estimar, para um painel com dois períodos e 500 indivíduos, a equação 
 
ln (Rendit) = b0 + dT2 + ai + b1 Informal it + uit 
 
Onde: T2 é uma dummy para o segundo período. 
Rend=rendimento 
Informal=dummy igual para trabalhadores informais e zero caso contrário 
ai é um efeito individual não observado 
uit é um erro não-correlacionado com as variáveis explicativas 
 
(i) Qual é o possível problema em estimar esse modelo por MQO (“pooled”)? 
 
(ii) Reescreva o modelo acima em primeira diferença e mostre como isso resolve o problema 
acima. 
 
(iii) Cite um outro método através do qual o problema citado poderia ser solucionado. 
 
(iv) Por que não podemos incluir uma variável dummy para gênero nas regressões dos itens (ii) 
e (iii)? 
 
 
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3. A tabela abaixo apresenta os resultados de regressões que usam dados de 27 Unidades da 
Federação (UFs) brasileiras em diferentes períodos, que vão de 1992 a 2002. Nessas regressões, a 
variável dependente é a porcentagem de domicílios, em cada UF, cuja renda per capita está abaixo 
da “linha de pobreza extrema”. Na primeira coluna é estimada uma regressão por Mínimos 
Quadrados Ordinários com os dados “empilhados” (“pooled”). A segunda coluna apresenta o 
resultado da regressão com efeitos fixos e na terceira coluna são mostrados os resultados com 
efeitos aleatórios. 
 
As variáveis explicativas que aparecem nas regressões são as seguintes: 
 
· Desig = Desigualdade de renda em cada UF medida pelo índice de Gini. 
· Educ = média dos anos de educação em cada UF 
· “Dummies” de tempo, representadas por: D1992, D1993,.....D2001. 
 
 
 
Variável dependente: Proporção de domicílios na pobreza extrema
Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t
desig 0.668 5.79 0.315 3.51 0.368 4.06
educ -0.060 -15.74 -0.016 -2.01 -0.039 -6.15
D1992 - - - - - -
D1993 -0.005 -0.33 -0.005 -0.71 -0.005 -0.68
D1995 -0.051 -3.36 -0.056 -7.73 -0.052 -6.94
D1996 -0.040 -2.61 -0.050 -6.44 -0.043 -5.44
D1997 -0.029 -1.87 -0.043 -5.25 -0.033 -4.10
D1998 -0.032 -2.08 -0.052 -6.01 -0.040 -4.71
D1999 -0.014 -0.90 -0.043 -4.60 -0.027 -3.02
D2001 -0.010 -0.61 -0.044 -4.39 -0.025 -2.70
Constante 0.107 1.42 0.099 1.50 0.175 2.75
Obs.
Teste de Hausman
c2(9)
(1) (2) (3)
MQO Efeitos fixos Efeitos aleatórios
19.41
216 216 216
 
 
a) Sob que condições cada um dos estimadores acima é consistente? 
 
b) Comparando os coeficientes estimados para as variáveis desig e educ nas colunas (1) e (2) 
da tabela acima, notamos que os coeficientes estimados por MQO são maiores em módulo 
do que os estimados usando efeitos fixos. O que pode explicar essas diferenças entre os 
coeficientes nas duas regressões? Exemplifique sua argumentação adequadamente. 
 
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c) Na regressão com efeitos fixos: 
 
(i) Podemos incluir uma “dummy” para a região geográfica (Norte, Nordeste etc.) da 
UF? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito?. 
(ii) Podemos reespecificar o modelo de modo a estimar de que forma o efeito da 
educação varia entre regiões geográficas? Em caso negativo, por que não? Em 
caso positivo, como isso seria feito? 
 
d) O valor-p do teste de Hausman apresentado na tabela acima é menor que 0,025. Qual a 
conclusão que podemos tirar desse teste? Explique. 
 
e) Em geral, sob que condições o estimador de efeitos aleatórios seria superior ao estimador de 
efeitos fixos? 
 
f) Qual é a interpretação dos coeficientes associados às “dummies” de tempo? Como a inclusão 
dessas “dummies” na regressão se diferencia da inclusão de uma tendência temporal linear? 
 
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4. Suponha que você esteja interessado em saber qual é o efeito do preço da gasolina sobre a 
demanda por esse produto. Você tem à sua disposição os resultados estimados para 18 países com 
dados anuais de 1960 a 1978 da seguinte equação: 
 
Ln (gasolina/carros)it = a + b1 (Y/N) it + b 2 (PG) it + b 3 (carros/N) it + u it 
 
Onde: 
(gasolina/carros)it = consumo de gasolina por automóvel no país i no ano t. 
(Y/N) it = renda real per capita no país i no ano t. 
(PG) it = preço real da gasolina no país i no ano t. 
(carros/N) it = número de carros per capita no país i no ano t. 
 
A tabela abaixo apresenta os resultados estimados usando Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e 
Efeitos Fixos. 
 
Coeficientes estimados 
 
MQO Efeitos Fixos 
1bˆ 0,89 
(0,04) 
0,66 
(0,07) 
2bˆ -0,89 
(0,03) 
-0,32 
(0,04) 
3bˆ -0,76 
(0,02) 
-0,64 
(0,03) 
 
 
a) Após observar esses resultados, uma economista afirma: “O efeito do preço da gasolina sobre o 
consumo está estimado de forma viesada ao usarmos MQO, mas não ao usarmos o estimador 
de efeitos fixos. Logo, a estimação por efeitos fixos é mais confiável”. Explique (sucintamente) 
cada passo da argumentação da economista, exemplificando adequadamente. 
 
b) Um segundo economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina usando efeitos 
aleatórios. Quais as condições para que isso seja apropriado? Você concorda com a sugestão 
desse economista? Explique. 
 
c) Um terceiro economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina reespecificando o 
modelo em primeiras diferenças. Sob que condições (se houver) esse procedimento é preferível 
à estimação por MQO? Sob que condições (se houver) esse procedimento não é preferível à 
estimação por MQO? 
 
 
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5. Você trabalha no Ministério da Justiça do Brasil, onde há grande preocupação com os elevados 
índices de criminalidade nos municípios brasileiros. O Ministro da Justiça lhe solicita a realização 
de um estudo econométrico para comprovar a hipótese de que um aumento do número de 
policiais per capita do município poderia reduzir os índices de criminalidade. 
 
Para uma amostra aleatória dos municípios da Federação, você dispõe de dados anuais entre 2000 e 
2004, inclusive: 
 
Crime: Número de crimes (em unidades) PIB: PIB (em R$ milhões) 
Pop: População (em 1.000 habitantes) SalPol: Salário médio dos policiais do município (em 
R$) 
Esc: Escolaridade média da população (em anos) EduPol: Educação média dos policiais do município 
(em anos) 
Rural: Variável binária (dummy) indicando se o 
município é rural 
ExpPol: Experiência média dos policiais do 
município (em anos de serviço) 
Ind: Variável binária (dummy) indicando se o 
município é industrial 
IdPol: Idade média da população (em anos) 
Des: Índice de desigualdade social NumPol: Número de policiais per capita do 
município 
U: Taxa de desemprego (em %) Cond: Percentual dos crimes que foram resolvidos e 
o(s) criminosos foram efetivamente condenados 
Apo: Número de aposentados do município NumEsc: Número de escolas per capita do município 
 
Além disso, você dispõe dos seguintes dados para o Brasil como um todo: 
PIBBrasil: PIB do Brasil (em R$ bilhões) TxJuros: Taxa de juros (em %) 
UBrasil: Taxa de desemprego (em %) IdPopBrasil: Idade média da população (em anos) 
Salmin: Salário mínimo Inf: Taxa de inflação 
 
(a) Proponha um modelo econométrico a ser estimado usando parte, ou a totalidade, das variáveis 
acima que permita testar a hipótese de interesse e ao mesmo tempo possa explicar as principais 
causas dos elevados índices de criminalidade. Caso a hipótese não seja rejeitada, determine o 
aumento percentual do número de policiais per capita requerido para reduzir os índices de 
criminalidade em 15%. Seja preciso no que se refere aos seguintes pontos, justificando-os 
adequadamente: 
- Defina claramente a forma funcional da equação a ser estimada; 
- Defina claramente a variável dependente da equação. 
- Defina claramente as variáveis explicativas incluídas na equação. 
- Defina claramente possíveis variáveis que não estão listadas acima e que deveriam 
ser incluídas no modelo. 
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- Defina claramente os índices de cada variável, ou seja, indique precisamente quais 
variáveis variam somente ao longo do tempo, quais variam unicamente entre municípios e 
quais variam em ambas as dimensões; 
- Defina claramente, em termos dos parâmetros do seu modelo, a hipótese a ser testada. 
- Defina os possíveis fatores não observados, fixos ao longo do tempo, que poderiam 
afetar os índices de criminalidade. Como você incluiria esses fatores no seu modelo? 
(b) Como você estimaria o modelo definido no item anterior? Justifique cuidadosamente. 
(c) Suponha que os níveis de escolaridade de todos os municípios da amostra tenham se mantido 
constantes ao longo do tempo. O método de estimação proposto por você permite estimar a 
elasticidade entre escolaridade e índices de criminalidade? 
 
(d) Explique como você testaria a hipótese de interesse. Seja preciso no que se refere ao nível de 
significância, valor crítico e regra de rejeição do teste. 
 
RESPOSTA: VERIFICAR COM O PROFESSOR. 
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