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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Sistemas de 2a Ordem - Geral
(Item 4.5, livro texto, Nise)
-Objetivo: Generalizar a discussão sobre sistemas de 2a ordem e estabelecer especificações 
quantitativas, definidas de modo que a resposta de um sistema de segunda ordem possa ser 
descrita para um projetista, sem a necessidade de esboçar a resposta.
- São definidas duas especificações com significado físico. Estas grandezas podem ser usadas para 
descrever as características da resposta transitória de 2a ordem exatamente da mesma forma como 
as constantes de tempo descrevem a resposta de sistemas de 1a ordem.
1 – Frequência �atural (ωωωωn): 
A frequência natural de um sistema de 2a ordem é a frequência de oscilação do sistema 
sem amortecimento.
2- Relação de Amortecimento:
3 – Proposta: representar o sistema de 2a ordem geral a partir das grandezas: Frequência �atural
e Relação de Amortecimento.
nω
σ
==
(rad/s) Natural Frequência
(rad/s) Decaimento de lExponencia Freq.
ζ
Sistemas de Controle 2010-1
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Sistemas de 2a Ordem - Geral
(Item 4.5, livro texto, Nise)
-Sistema Genérico:
- Sem amortecimento, os pólos estariam sobre o eixo jω, e a resposta seria uma senóide sem 
amortecimento. Para que os pólos sejam puramente imaginários, a=0, portanto:
-Por definição, ωn é a frequência natural do sistema sem amortecimento. Como os pólos 
deste sistema estão sobre o eixo jω, em 
-Portanto: 
-A função de transferência de 2a ordem genérica finalmente adquire a forma:
bass
b
sG
++
=
2
)(
bs
b
sG
+
=
2
)(
bj±
2
nn bb ωω =→= n
nn
ζa
a
ω
σ
ζ ω
ω
2
2/
=→==
22
2
2
)(
nn
n
ss
sG
ωζω
ω
++
=
Sistemas de Controle 2010-1
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plano s
plano s
plano s
plano s
Pólos Resposta ao degrau
Não-amortecido
Subamortecido
Criticamente amortecido
Superamortecido
-Relação das grandezas 
Frequência natural e Relação 
de Amortecimento com a 
localização dos pólos.
-Calculando os pólos da 
função de transferência, 
resulta:
-Portanto, constata-se que os 
vários casos de resposta de 2a 
ordem são uma função da 
Relação de Amortecimento( )
122,1 −±−= ζωζω nns
22
2
2
)(
nn
n
ss
sG
ωζω
ω
++
=
Sistemas de 2a Ordem - Geral
ζ
Sistemas de Controle 2010-1
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(Item 4.6, livro texto, Nise)
-Objetivo 01: definir especificações associadas ao regime transitório de respostas 
subamortecidas.
-Objetivo 02: relacionar estas especificações à localização de pólos, extraindo uma 
associação entre a localização dos pólos e a forma da resposta de segunda ordem amortecida
-Objetivo 03: vincular a localização dos pólos aos parâmetros do sistema � uma resposta 
desejada gera os componentes do sistema que serão necessários para atendê-la.
-Para atingir estes objetivos é necessário conhecer a resposta aos degrau do sistema. A 
transformada da resposta, C(s), é a transformada da entrada multiplicada pela função de 
transferência:
-Para o caso subamortecido tem-se que:
-Utilizando os métodos de solução do capítulo 02, os resíduos valem:
( ) 22 32122
2
22
)(
nnnn
n
ss
KsK
s
K
sss
sC
ωζωωζω
ω
++
+
+=
++
=
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
10 << ζ
nKKK ζω2 1 1 321 −=−==
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-A solução C(s) resulta:
-Sabe-se que:
-Organizando C(s) de forma a atender a transformada de Laplace anterior:
-Comparando as duas expressões anteriores tem-se que:
22 2
21
)(
nn
n
ss
s
s
sC
ωζω
ζω
++
+
−=
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
( ) ( )222 11 e ζωζωωζω −=−== nnna
22)(
)(
]cos
ωas
BωasA
tsenBetL[Ae atat
++
++
=+ −− ωω
( )
( ) ( )222
2
2
1
1
11
)( ζωζω
ζωζ
ζζω
−++
−
−
++
−=
nn
nn
s
s
s
sC
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-A aplicação da transformada de Laplace inversa fornece c(t):
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
( )








−
=−−
−
−=








−
−
+−−=
−−
−
2
12
2
2
2
2
1
: 1cos
1
1
1)(
1
1
1cos1)(
ζ
ζφφζωζ
ζωζ
ζζω
ζω
ζω
tgondetetc
tsentetc
n
t
nn
t
n
n
0,11,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,4
0,5
0,8
0,6
•A figura a seguir mostra esta resposta 
para diversos valores para a Relação 
de Amortecimento (ζ), traçada em 
função do eixo dos tempos 
normalizado (ωnt).
•Observa-se que: quanto menor o valor 
de ζ, mais oscilatória será a resposta.
•- A frequência natural ωn é um fator 
de escala do eixo dos tempos e não 
afeta a natureza da resposta em 
nenhum aspecto, exceto o de colocá-la 
em escala, no tempo.
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- Outros parâmetros associados aos sistemas de segunda ordem subamortecida:
1 – Instante de Pico (Tp): Tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico (máximo).
2 – Ultrapassagem Percentual (%UP): representa o quanto a forma de onda, no instante de pico, 
ultrapassa o valor de estado estacionário, final, expresso como uma percentagem do valor de estado 
estacionário.
3 – Tempo de Assentamento (Ts): tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime
transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de ±2% em torno do valor de 
estado estacionário.
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
4 – Tempo de Subida (Tr): Tempo 
necessário para que a forma de onda vá
de 0,1 a 0,9 do valor final.
Observações:
1 - As definições de tempo de assentamento e 
de tempo de subida são fundamentalmente as 
mesmas para a resposta de 1a ordem.
2 – Todas as definições são também válidas par 
sistemas de ordem superior a dois, desde que a 
resposta destes sistemas possa ser aproximada 
como a de um sistema de 2a ordem.
3 – O tempo de subida, o tempo de 
assentamento e o instante de pico fornecem 
informação a respeito da velocidade da 
resposta transitória.
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,10,1 cfinal
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Cálculo do Tempo de Pico (Tp):
Cálculo da Ultrapassagem Percentual (%UP):
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21 ζω
pi
−
=
n
pT
100%
21/
×=





−− ζζpi
eUP
( )
( )100/%ln
100/%ln
22 UP
UP
+
−
=
pi
ζ
Relação de amortecimento, ζ
U
l
t
r
a
p
a
s
s
a
g
e
m
 
p
e
r
c
e
n
t
u
a
l
,
%
U
P
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Ultrapassagem percentual em 
função da relação de 
amortecimento
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Cálculo do Tempo de Assentamento (Ts):
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( )
n
sT ζω
ζ 2102,0ln −−
=
n
sT ζω
4
=
Aproximação
Cálculo do Tempo de Subida (Tr):
- Não é possível determinar uma relação 
analítica precisa entre o tempo de subida e a 
relação de amortecimento;
- Usando um computador e a solução geral do 
sistema de 2a ordem subamortecido, pode-se 
determinar o tempo de subida;
- Define-se primeiro ωnt como variável de 
tempo normalizado e seleciona-se um valor 
para ζ;
- Utilizando-se o computador, calcula-se os 
valores de ωnt que conduzem c(t)=0,9 e 
c(t)=0,1;
- Subtraindo os dois valores de ωnt, tem-se o 
valor do tempo de subida normalizado (ωnTr).( )φζωζ ζω −−−−= − tetc ntn 22 1cos1 11)( Relação de amortecimento
T
e
m
p
o
 
d
e
 
s
u
b
i
d
a
 
×
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
 
n
a
t
u
r
a
l
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1 1,104
1,203
1,321
1,463
1,638
1,854
2,126
2,467
2,883
Tempo de 
subida
normalizado
Coeficiente 
de
amortecimento
Tempo de subida normalizado versus relação de 
amortecimento para uma resposta de 2a ordem subamortecida
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Relação de Tp, %UP e Ts com a Localização dos Pólos que produzem estas características:
- Do gráfico dos pólos de um sistema de 2a ordem subamortecido, pode-se observar, com base no 
teorema de pitágoras, que a distância radial da origemao pólo é a frequência natural (ωn) e que cosθ=ζ.
- Portanto, as expressões obtidas anteriormente para Tp e Ts, ficam:
-Onde: ωd é a parte imaginária do pólo (frequência amortecida de oscilação) e σd é a magnitude da 
parte real do pólo (frequência exponencial amortecida).
- O Tp é inversamente proporcional à parte imaginária do pólo � como as retas horizontais no plano s
são linhas de valores imaginários constantes, elas são também linhas de instante de pico constante.
- O Ts é inversamente proporcional à parte real do pólo � como as restas verticais no plano s são 
linhas de valor real constante, elas são também linhas de tempo de assentamento constante.
- Como ζ=cosθ, as linhas radiais são linhas de valores constantes de ζ� como a ultrapassagem 
percentual é função somente de ζ, as linhas radiais no plano s são também linhas de valores constantes 
de ultrapassagem percentual (%UP).
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
dn
pT ω
pi
ζω
pi
=
−
=
21 dn
sT σζω
44
==
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Relação de Tp, %UP e Ts com a Localização dos Pólos que produzem estas características:
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
plano s
plano s
%UP1
%UP2
Gráfico dos pólos de um sistema de 
2a ordem subamortecido
Linhas de valores constantes para 
tempo de pico (Tp), tempo de 
assentamento (Ts) e ultrapassagem 
percentual (%UP)
Nota: Ts2< Ts1; Tp2 <Tp1; %UP1 < %UP2
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A mesma envoltória
A mesma freqüência
A mesma ultrapassagem
plano s
plano s
plano s
Movimentação
do pólo
Movimentação
do pólo
Movimentação
do pólo
Relação de Tp, %UP e Ts com a Localização dos Pólos que produzem estas características:
Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos
1 – Pólos deslocados na vertical, mantendo a parte 
real constante:
- À medida que os pólos se deslocam na 
vertical, no sentido indicado, a frequência aumenta, 
mas a envoltória permanece a mesma, uma vez que a 
parte real não está sendo modificada.
- Como todas as curvas se ajustam sob a 
mesma curva de decaimento exponencial, o tempo de 
assentamento é praticamente o mesmo
Respostas ao degrau devido à movimentação dos 
pólos no plano s.
2 – Pólos deslocados na horizontal, mantendo a 
parte imaginária constante:
- À medida os pólos se deslocam para a 
esquerda, a resposta é amortecida mais rapidamente, 
enquanto a frequência permanece a mesma;
- O instante de pico é o mesmo para todas as 
formas de onda, uma vez que a parte imaginária 
permanece a mesma.
3 – Pólos deslocados ao longo da linha radial
- A ultrapassagem percentual permanece a 
mesma;
- Quanto mais longe da origem estiverem os 
pólos, tanto mais rápida será a resposta.
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Atividades para os alunos:
- Estudar item 4.7 – Resposta de sistemas com pólo adicional
- Estudar item 4.8 – Resposta de sistemas com zeros
- Olhar exemplos resolvidos do livro referentes à matéria
- Fazer exercícios referentes à matéria.
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