aula_03__amortecimento

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APST 1 - 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 3 – Modelo constante; previsão por amortecimento exponencial 
 
Modelo constante 
 
tt aZ ε+= 1 
onde εt são variáveis i.i.d., E(εt)=0, V(εt)=σ2, t∀ 
1)( aZE t = 
2)( σ=tZV 
 
 
1) Previsões: 
 
)|(ˆ | TkTTkT ZEZ Z++ = 
)(ˆ)|(ˆ 11| TaaEZ TkTTkT =+= ++ Zε (Barros, 5.2.2) 
 
 
2) Estimadores de a1: 
 
2.1) Previsor “naive” (ingênuo): 
TTkT ZZ =+ |ˆ 
 
2.2) por média “global” 
T
ZZZZZ TTTkT 121|
...
ˆ
++++
=
−
+ 
 
2.2) por médias móveis de tamanho N 
N
ZZZMZ NTTTTTkT 11|
...
ˆ +−−
+
+++
== (Barros, 5.2.3) 
 
 
2.3) por amortecimento exponencial 
 
2.3.1. Introdução 
 
A previsão, como nos métodos anteriores, será dada pela estimativa mais recente do nível, 
obtida através de alguma forma de média: 
TTkTTkT MTaaEZ ==+= ++ )(ˆ)|(ˆ 11| Zε [1] (Barros, 5.2.2) 
 
A idéia central dos métodos de amortecimento é que esta média seja uma média ponderada de 
todas as observações, mas com pesos decrescentes: quanto mais velha a observação, menos 
peso ela recebe. Isto pode ser expresso da forma: 
...
ˆ
3423121| ++++== −−−+ TTTTTTkT ZZZZMZ αααα 
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onde 
...4321 αααα >>> 
 
Este método, contudo, seria demasiado trabalhoso (teríamos que escolher todas estas 
constantes αi). 
 
O método de amortecimento exponencial resolve o problema de uma forma mais 
simples: há apenas uma constante α, e os pesos são dados por potências sucessivas desta 
constante, da forma: 
02
2
11
ˆ)1(...)1(...)1()1(ˆ ZZZZZMZ TkTkTTTTT ααααααααα −++−++−+−+== −−−+ [2] 
 
Como 0<α<1 e 0<(1-α)<1, os pesos (1-α)k→0, quando k→∞. Portanto, o maior peso é 
dado à observação mais recente (ZT) e pesos decrescem exponencialmente, quanto mais 
antiga for a observação. 
 
 
2.3.2. Implementação do método: cálculo recursivo da média 
 
A forma em [2] é simples porque envolve apenas uma constante α. Contudo, ainda 
seria trabalhoso ter que, a cada instante, computar a média levando em conta todos os valores 
passados. Existe uma forma recursiva de calcular a média que simplifica o trabalho: a cada 
instante, a média é dada por uma combinação linear entre a média anterior e a observação 
mais recente, na forma: 
1)1( −−+= TTT MZM αα 
 
Lembrando que 
TT MZ =+1ˆ 
1
ˆ
−
= TT MZ 
 
podemos escrever esta espressão em termos das previsões, 
TTT ZZZ ˆ)1(ˆ 1 αα −+=+ [3] (Barros, 5.2.3) 
 
O método também é frequentemente apresentado de outra forma, derivada da eq. [3]: 
TTT ZZZ ˆ)1(ˆ 1 αα −+=+ 
TTTT ZZZZ ˆˆˆ 1 αα −+=+ 
)ˆ(ˆˆ 1 TTTT ZZZZ −+=+ α [4] 
 
A expressão [1] pode ser obtida se substituirmos sucessivamente as previsões 
anteriores por suas expressões. Defasando sucessivamente a expressão [4] para os instantes 
passados, obtemos TZˆ , 1ˆ −TZ , etc.: 
)ˆ(ˆˆ 111 −−− −+= TTTT ZZZZ α [5] 
)ˆ(ˆˆ 2221 −−−− −+= TTTT ZZZZ α [6] 
)ˆ(ˆˆ 3332 −−−− −+= TTTT ZZZZ α [7] 
 ... 
 
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Substituindo [5] em [4], obtemos um expressão para 1ˆ +TZ em termos de 1ˆ −TZ : 
)]ˆ(ˆ[)ˆ(ˆˆ 1111111 −−−−−−+ −−−+−+= TTTTTTTT ZZZZZZZZ ααα 
1
2
1
2
11111
ˆˆˆˆˆ
−−−−−−+ +−−+−+= TTTTTTTT ZZZZZZZZ αααααα 
1
2
11
ˆ)1()1(ˆ
−−+ −+−+= TTTT ZZZZ αααα [8] 
 
Substituindo [5] em [7], obtemos uma expressão para 1ˆ +TZ em termos de 2ˆ −TZ : 
])ˆ(ˆ[)1()1(ˆ 222211 −−−−+ −+−+−+= TTTTTT ZZZZZZ ααααα 
])ˆˆ[)1()1(ˆ 222211 −−−−+ −+−+−+= TTTTTT ZZZZZZ αααααα 
])ˆˆ[)1()1()1(ˆ 2222211 −−−−+ −−+−+−+= TTTTTT ZZZZZZ ααααααα 
2
2
2
2
11
ˆ)1)(1()1()1(ˆ
−−−+ −−+−+−+= TTTTT ZZZZZ ααααααα 
2
3
2
2
11
ˆ)1()1()1(ˆ
−−−+ −+−+−+= TTTTT ZZZZZ αααααα [9] 
 
Substituindo [7] em [9], obtemos 1ˆ +TZ em termos de 3ˆ −TZ : 
)]ˆ(ˆ[)1()1()1(ˆ 33332211 −−−−−+ −+−+−+−+= TTTTTTT ZZZZZZZ ααααααα 
)]ˆˆ[)1()1()1()1(ˆ 333332211 −−−−−+ −−+−+−+−+= TTTTTTT ZZZZZZZ ααααααααα 
3
4
3
3
2
2
11
ˆ)1()1()1()1(ˆ
−−−−+ −+−+−+−+= TTTTTT ZZZZZZ αααααααα 
 
Procedendo assim, sucessivamente, obteremos ao final a expressão [2], que dá 1ˆ +TZ como a 
média ponderada de todas as observações passadas, com os pesos decrescendo 
exponencialmente. 
 
 
2.3.3. O amortecimento como um procedimento de correção do erro de previsão 
 
A equação [3] revela uma outra interpretação possível do método: a cada passo, a 
previsão vai sendo corrigida por uma parcela do último erro observado (se a previsão foi 
baixa, será aumentada; se foi alta, será abaixada: 
TTTTTT ZZZZZ αεα +=−+=+ ˆ)ˆ(ˆˆ 1 
 
O método portanto implementa uma forma automática de correção do erro, particularmente 
útil quanto o nível da série sofre oscilações. 
 
 
2.3.4. Formas alternativas de escrever o método 
 
Há como vimos duas formas usuais de apresentar as equações: 
forma 1: TTT ZZZ ˆ)1(ˆ 1 αα −+=+ [3] (Barros, 5.2.3) 
forma 2: )ˆ(ˆˆ 1 TTTT ZZZZ −+=+ α [4] 
 
Estas duas formas podem ser reescritas em termos das médias MT, usando [1]: 
TT MZ =+1ˆ 
1
ˆ
−
= TT MZ 
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forma 1: 1)1( −−+= TTT MZM αα [10] 
forma 2: )( 11 −− −+= TTTT MZMM α [11] 
 
ou em termos das estimativas do nível a1 da série. Uma vez que 
)(ˆˆ 11 TaZT =+ 
 
podemos reescrever as equações como: (formas usadas em Barros, 5.2.5 e 5.2.6) 
forma 1: )1(ˆ)1()(ˆ 11 −−+= TaZTa T αα [12] 
forma 2: ])1(ˆ[)1(ˆ)(ˆ 111 −−+−= TaZTaTa Tα [13] 
 
Há portanto várias forma de se escrever as previsões: em termos das previsões 
anteriores 1ˆ −TZ (como em [3] e [4]), em termos das médias amortecidas MT (como [10] e 
[11]), ou em termos das estimativas da constante )(ˆ1 Ta (como em [12] e [13]). Para evitar 
confusão, usaremos de preferência a forma [4]; é importante sempre ter em mente, contudo, 
que estas previsões são apenas estimativas da constante a1, obtidas através de médias 
ponderadas MT. 
 
 
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2.3.5. Efeito do valor dos pesos 
 
Os valores da sequência de pesos são, é claro, controlados pelo valor da constante α. 
Se o valor de α é pequeno, o decaimento é lento, e a observação mais recente não recebe 
muito mais peso que as observações antigas; se alfa é grande, muito peso é dado à observação 
mais recente, e pouco às mais antigas. (Note, aliás, que se fazemos α=1 recaímos no método 
de previsão ingênuo, onde a previsão é dada apenas pela última observação.) 
Comparando graficamente as sequências de pesos obtidas, para três valores diferentes 
de α: 
 
 
α=0,1 
 
α=0,3 
 
α=0,6 
 
α=0,9 
 
 
 Portanto, quanto menor for α, mais “estável” será a previsão, se aproximando daquela 
obtida pela média global; quanto maior α, mais instável a previsão, aproximando-se daquela 
do previsor ingênuo. Na prática, o melhor valor de α para prever uma série terá que ser 
determinado experimentalmente, numa amostra de teste. 
 
Podemos comparar a evolução dos pesos dos métodos vistos até agora por meio de 
gráficos: 
 
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