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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Prova Optativa de Cálculo 2 - Turma 01
Prof. Duilio
Justifique suas respostas!
1)(2.0 ptos) Determine os valores máximo e mı́nimo da função
f(x, y) = 4x2y
sujeito a restrição x2 + y2 = 1.
2)(1.0 pto) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y, z) = x cos(y + 2z) + xe−2y
3) (2.0 ptos) Resolva as equações diferenciais
a) 4y′′ − 4y′ + y = 16et/2
b) y′′ + 2y′ = 3 + 4sen 2t
4)(1.0 pto) Resolva o problema de valor inicial
9y′′ − 12y′ + 4y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −1
5)(1.5 pto) Determine os valores máximo e mı́nimo locais e ponto(s) de sela da função
f(x, y) = x2 − xy + y2 + 9x− 6y + 10.
6)(1.5 pto) Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente:
a)
∫
∞
−∞
x
x2 + 1
dx
b)
∫
+∞
0
xe−x
2
dx
7)(1.0 pto) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = essen t.
a) Calcule
∂2u
∂s2
e
∂2u
∂t2
.
b) Usando o item (a), mostre que
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= e−2s
[
∂2u
∂s2
+
∂2u
∂t2
]
.
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