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Análise e previsão de séries temporais. Prof.: Henrique Hippert 
 
 
Bacharelado em Estatística – 2011.3 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 11 – Filtros lineares 
 
 
1. Definição 
 
Qualquer série Zt que apresente autocorrelação pode ser representada pela combinação 
linear de uma série de choques independentes at (realizações de VAs i.i.d.) [ ] tt ZFTa →→ 
 
onde FT é a função de transferência, e at ~ N(0,σ2) (isto é, at é um ruído branco). 
 
Um filtro linear é uma função de transferência definida pela combinação linear infinita 
dos valores da série de entrada: 
...2211 ++++= −− tttt aaaz ψψµ (1) 
 
onde µ é uma constante (nível da série), at é um ruído branco, e os ψi são os coeficientes. Para 
simplificar, às vezes escrevemos o filtro em termos dos valores centrados: 
µ−= tt zz 
...2211 +++= −− tttt aaaz ψψ (2) 
(neste caso, é claro, os coeficientes ψi serão diferentes dos encontrados na forma (1)) 
 
 
2. Operadores de retardo 
 
Um operador de retardo é um operador matemático, representado por B (do inglês 
backward), que, aplicado a um valor da série, produz o valor da série no instante anterior: 
1−= tt zBz 
 
Se aplicarmos o operador duas vezes seguidas, obtemos: 
21
2 )()(
−−
=== tttt zzBBzBzB 
 
Em geral, 
ktt
k zzB
−
= 
 
No caso particular de k=0, por definição 
B0=1 
 
Podemos re-escrever o filtro linear em (1) usando operadores de retardo, na forma: 
...
2
21 ++++= tttt aBBaaz ψψµ (3) 
 
Os operadores e pesos podem ser representados conjuntamente por meio de um polinômio: 
...)( 221100 +++=Ψ BBBB ψψψ (4) 
 
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onde ψ0=1. Note que usaremos, aqui e nos exemplos abaixo, as letras psi minúsculas (ψ ) para 
indicar os parâmetros do modelo, e a letra maiúscula (Ψ) para indicar o polinômio. Isto leva à 
representação simplificada: 
tt aBz )(Ψ+= µ (5) 
 
ou, usando valores centrados 
tt aBz )(Ψ= (6) 
 
Nesta representação, não é imediatamente óbvio que os valores de tz produzidos pelo 
filtro sejam autocorrelatados (isto é, que tz seja dependente de 1−tz ), já que 1−tz não figura 
explicitamente no modelo. Contudo, note que 
,...),,( 21 −−= tttt aaafz 
,...),,( 3211 −−−− = tttt aaafz 
 
Vemos que tz e 1−tz são funções lineares de vetores que tem vários componentes em comum 
(embora os coeficientes multiplicando estes componentes sejam diferentes). Portanto, é lógico 
supor que os valores consecutivos de zt serão de certa forma dependentes. 
 
 
3. Forma invertida do filtro 
 
O ruído branco at pode ser representado como função da série zt, se usarmos um filtro 
na forma invertida. O ruído branco (sem dependência serial) será obtido pela passagem da 
série temporal (com dependência) através do filtro, no sentido contrário; diremos então que a 
série zt foi “filtrada”, isto é, que o filtro retirou a estrutura de autocorrelação encontrada, 
devolvendo uma série “limpa” (em termos estatísticos, uma série que não carrega nenhuma 
informação). 
[ ] tt zFTa ←← ' 
 
Invertendo a série centrada em (6), 
tt azB =Ψ
− )(1 (7) 
 
Iremos representar a função de transferência FT’ que faz a filtragem por Π(B) 
)()( 1 BB −Ψ=Π 
 
Portanto, 
tt azB =Π )( (8) 
 
Se o processo estacionário em (6) pode ser também representado na forma em (8), 
dizemos que o processo é invertível. 
 
 
4. Condições para estacionariedade e invertibilidade de um filtro 
 
Um filtro será estacionário se a sequência de ψj for finita, ou infinita mas somável em 
valores absolutos, isto é: 
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∞<∑
∞
=0j jψ 
 
Um filtro será invertível se a sequência de pesos pij for finita, ou infinita mas somável em 
valores absolutos: 
∞<∑
∞
=0j jpi 
 
 
5. Casos particulares de filtro linear 
 
5.1. Modelos de médias móveis (moving average, MA) 
 
O processo MA(q) é gerado por uma combinação linear dos q choques passados: 
qtqtttt aaaaz −−− −−−−+= θθθµ ...2211 
qtqtttt aaaaz −−− −−−−= θθθ ...2211 
t
q
qt aBBBz )...1( 221 θθθ −−−−= (9) 
 
O valor q é chamado de ordem do processo. É fácil ver que este processo é um caso particular 
do filtro linear visto acima, diferindo dele por ter um número finito de parcelas, isto é, uma 
ordem finita (esta distinção será indicada pelo uso da letra θ para os coeficientes, ao invés de 
ψ ; note que têm estes coeficientes têm, convencionalmente, sinais negativos). 
Este processo é chamado comumente de processo de média móvel (moving average), 
embora não se trate verdadeiramente de uma média ponderada (uma vez que a soma dos pesos 
θ não é necessariamente igual a unidade). Se definirmos um operador de média móvel de 
ordem q como: 
q
qBBBB θθθ −−−−=Θ ...1)( 221 (10) 
 
o processo em (9) pode ser escrito como: 
tt aBz )(Θ= (11) 
 
 
5.2. Modelos auto-regressivos (AR) 
 
Um modelo auto-regressivo é aquele em que o valor atual da série é dado pela 
combinação linear de valores passados da série e de um choque at. A forma mais simples é 
ttt azz ++= −11φξ 
 
onde ξ é uma constante. Se escrevermos em termos dos valores centrados: 
ttt azz += −11φ 
 
É feita portanto a regressão do valor atual nos valores anterior da série; daí o nome 
auto-regressivo dado ao modelo. A ordem do modelo será igual ao maior defasamento entre 
as variáveis do lado direito da equação; no exemplo, o modelo é de ordem 1, denotado por 
AR(1). Usando o operador de retardo definido acima, o modelo AR(1) pode ser escrito da 
forma: 
ttt azBz += 1φ 
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ttt azBz =− 1φ 
tt azB =− )1( 1φ 
 
Um modelo AR de ordem p qualquer poderá então ser escrito usando potências sucessivas do 
operador B, 
tptpttt azzzz ++++= −−− φφφ ...2211 (12) 
tt
p
p azBBB =−−−− )...1( 221 φφφ (13) 
 
Se definirmos como operador auto-regressivo de ordem p o polinômio em B dado por: 
p
pBBBB φφφ −+−−=Φ ...1)( 221 (14) 
 
o modelo em (12) poderá ser escrito concisamente como: 
tt azB =Φ )( (15) 
 
O processo AR é um caso especial do filtro linear na forma invertida em (8), tendo sua 
função de transferência um número finito de parcelas: 
)()( BB Π=Φ 
 
O processo AR pode portanto ser representado como uma combinação linear finita de 
valores defasados e um choque, ou como um combinação infinita de choques defasados - isto 
será mostrado mais tarde, para o caso mais simples, o do modelo AR(1). 
 
 
5.3. Modelos mistos auto-regressivos / médias móveis (ARMA) 
 
Na prática, para obter uma representação mais simples (com menos coeficientes), às 
vezes é necessário combinar tanto termos AR quanto MA no modelo, na forma: 
 ... ... 22112211 qtqtttptpttt aaaazzzz −−−−−− −−−−++++= θθθφφφ (16) 
tt aBzB )()( Θ=Φ (17) 
 
Este modelo combinado é chamado de ARMA(p,q). Podemos escrevê-lo na forma de filtro, 
usando tanto operadores AR/MA: 
tt aBBz )()( 1 ΘΦ= − (18) 
 
quanto usando uma razão de polinômios em B: 
tp
p
q
q
t aBBB
BBB
z φφφ
θθθ
−−−−
−−−−
=
...1
...12
21
2
21
 (19) 
 
Na maioria das aplicações práticas, não será necessário utilizar polinômios de ordem superior 
a dois, tanto para os modelos AR quanto para os MA. Na seções seguintes, estudaremos com 
mais detalhes as características dos modelos AR, MA e ARMA de primeira e de segunda 
ordem.