PROVA CÁLCULO III

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1a Questão (Ref.: 202008501179) 
Obtenha a solução geral da equação diferencial \(y - xy' = x^2 \text { cos⁡(x)}\): 
 
 
\(kx - \text{sen x}, \text{k real}\) 
 
\(k + \text{x cos x}, \text{k real}\) 
 
\(kx + \text{x cos x}, \text{k real}\) 
 
\(kx - \text{x sen x}, \text{k real}\) 
 
\(kx^2 + x^2 \text{sen}, \text{k real}\) 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 202008501206) 
Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que 
para \(t=0\) a população se encontra em \(3.000\) espécies e para \(t = 3\) anos se 
encontram \(3000e^6\) espécies. Determine a população para um instante de tempo de 4 
anos: 
 
 
\(3000 e^8\) 
 
\(3000 e^{12}\) 
 
\(1000 e^8\) 
 
\(1000 e^{10}\) 
 
\(3000 e^{10}\) 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 202008501573) 
Determine a solução geral da equação diferencial \(3y'' - 3y' - 6y = 0\). 
 
 
\(a e^{-x} + b x e^{-x}, \text { a e b reais.}\) 
 
\(a e^{-x} + be^{2x}, \text { a e b reais.}\) 
 
\(a e^{-x} + b sen(2x), \text { a e b reais.}\) 
 
\(a cos(2x) + b sen(2x), \text { a e b reais.}\) 
 
\(a e^{-x} cos(2x) + be^{-x} sen(2x), \text { a e b reais.}\) 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 202008501600) 
Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem \(3y''-3y'-18y=360\). 
 
 
\(y = axe^{-2x} + be^{3x} - 10, \text { a e b reais.}\) 
 
\(y = ae^{2x} + be^{-3x} + 20, \text { a e b reais.}\) 
 
\(y = ae^{-2x} + bxe^{3x} - 10, \text { a e b reais.}\) 
 
\(y = axe^{-2x} + bxe^{3x} - 20, \text { a e b reais.}\) 
 
\(y = ae^{-2x} + be^{3x} - 20, \text { a e b reais.}\) 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 202008503447) 
Marque a alternativa correta em relação às séries \(s_n = \Sigma_1^∞ {2 \over 
k^2+8}\) e \(t_n = \Sigma_1^∞ {2k \over (2k)^2+4}\). 
 
 
Ambas são convergentes. 
 
Não é possível analisar a convergência das séries. 
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A série \(s_n\) é divergente e \(t_n\) é convergente. 
 
Ambas são divergentes. 
 
A série \(s_n\) é convergente e \(t_n\) é divergente. 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 202008503470) 
Marque a alternativa que apresenta a série de Taylor para a função \(f(x) = ln x\) centrada 
em \(x = 1\). 
 
 
\(f(x) = (x-1) - {1 \over 2} (x-1)^2 + {1 \over 3} (x-1)^3 - {1 \over 4} (x-1)^4\) 
 
\(f(x) = (x-1) - {1 \over 2} (x-1)^2 + {1 \over 6} (x-1)^3 - {1 \over 24} (x-1)^4\) 
 
\(f(x) = (x-1) + {1 \over 2} (x-1)^2 + {1 \over 6} (x-1)^3 + {1 \over 24} (x-1)^4\) 
 
\(f(x) = (x-1) - (x-1)^2 + (x-1)^3 - (x-1)^4\) 
 
\(f(x) = (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + (x-1)^4\) 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 202008506021) 
Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função 
f(t) = sen (kt), k real. 
 
 
\(\frac{k}{s^2+k^2}\) 
 
\(\frac{s}{s^2-k^2}\) 
 
\(\frac{s}{s^2+k^2}\) 
 
\(\frac{1 }{s^2-k^2}\) 
 
\(\frac{1 }{s^2+k^2}\) 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 202008566098) 
Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação 
diferencial 2y'' + 3y' + y = 0 sabendo que y(0) = 1 e y'(0) = 1. 
 
 
\(\frac{2s+2}{(2s^2-3s+1)}\) 
 
\(\frac{2s-1}{(2s^2-3s+1)}\) 
 
\(\frac{2s}{(2s^2+3s+1)}\) 
 
\(\frac{2s-1}{(2s^2+3s+1)}\) 
 
\(\frac{2s+2}{(2s^2+3s+1)}\) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 202008506035) 
Seja uma partícula de massa m tal que \(\frac{h^2}{8π^2 m}\). A partícula se encontra em 
uma região com energia potencial nula e uma energia total em todos os pontos iguais a E = 
2 J. Sabe-se também que φ(0)=0 e φ\(\binom{π}{2}\)=5 . Determine sua função de onda 
unidimensional: 
 
 
φ(x)=\(\frac{5√3}{3}\) sen \(\binom{1}{3}x\) 
 
φ(x)=\(\frac{5√3}{3}\) cos\(\binom{1}{3}{x}\) 
 
φ(x)= sen \(\binom{1}{6}x\). 
 
φ(x)= 10 sen \(\binom{1}{3}x\). 
 
φ(x)= 10 cos \(\binom{1}{3}x\). 
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 10a Questão (Ref.: 202008566103) 
Seja um circuito RL em série com resistência de 20 Ω e indutor x, medido em H. A tensão é 
fornecida através de uma fonte contínua de 200V ligada em t = 0s. Determine ao valor de x 
sabendo que a tensão no indutor após 10 segundos é de 100 e ¿ 200. 
 
 
5 
 
2 
 
4 
 
1 
 
3 
 
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