Geometria Analítica (2)

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Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por 
uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é 
conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do 
plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a 
sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ 
(fazendo C-A); 2º Montar o vetor −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano 
(fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero 
(calcular o determinante com os três vetores). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, 
assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos 
A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4): 
Nota: 10.0 
 A 4x−8y−z=04x−8y−z=0 
 B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Você acertou! 
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o
 
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por: 
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04
 
(livro-base, p. 92) 
 C x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0 
 D 4x−8y=04x−8y=0 
 E x−y−z−1=0x−y−z−1=0 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, 
é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria 
Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto 
P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é: 
 
Dica: A equação simétrica tem a forma: 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, 
sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c). 
 
Nota: 10.0 
 A r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Você acertou! 
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor
 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ 
 
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos 
 
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ 
 D r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ 
 E r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas 
equações, uma delas é a simétrica, ou seja, 
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo 
P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e 
⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações 
escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor 
e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a 
reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao 
vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é: 
Nota: 10.0 
 A ⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Você acertou! 
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ. 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ 
 D r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ 
 E r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a 
fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| em 
que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114. 
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano 
π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ: 
 
Nota: 10.0 
 A θ=arcsin1√ 154 θ=arcsin 1154 
 B θ=arcsin8√ 151 θ=arcsin 8151 
 C θ=arcsin8√ 154 θ=arcsin 8154 
Você acertou! 
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal
ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| 
Cálculos auxiliares: 
⃗n=√ 32+(−1)2+12 =√ 9+1+1 =√ 11 n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11 
⃗r=√ 22+(−1)2+(−1)2 =√ 4+9+1 =√ 14 r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14 
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8 
 
Aplicando estes valores na fórmula 
 
θ=arcsin8√ 11 ⋅√ 14 =arcsin8√ 154 θ=arcsin 811⋅14=arcsin 8154 
 
(livro-base página 154). 
 
 D θ=30∘θ=30∘ 
 E θ=arcsin2√ 77 θ=arcsin 277 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:" 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto 
PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0: 
Nota: 10.0 
 A 9√ 21 921 
Você acertou! 
Comentário: 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√ 22+(−1)2+(−4)2 d(P,π)=|4−1+12−6|√ 4+1+16 d
(Livro-base p.119). 
 B 2√ 26 226 
 C 27√ 21 2721 
 D 135√ 23 13523 
 E 35√ 16 3516 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita 
em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto 
e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos. 
 
Fonte: Livro base pag. 116 
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, 
determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se reta 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o 
plano é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 . 
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a 
fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2
+c2. 
Nota: 10.0 
 A d=5u.a.d=5u.a. 
 B d=2√ 22 11u.a.d=22211u.a. 
 C d=2√ 11 22ud=21122u.a. 
 D d=2√ 11 11u.a.d=21111u.a. 
 E d=5√ 22 22u.a.d=52222u.a. 
Você acertou! 
Comentário: 
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é
é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3). 
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua distância à reta com a fórm
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r. 
Calculando a distância 
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√ 22+32+32 =5√ 22 =5√ 22 22d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=522=52222
 
(livro-base, p. 119) 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto: 
 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é 
dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, 
sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0. 
Nota: 10.0 
 A d(P,π)=2√ 13 5d(P,π)=2135 
 B d(P,π)=9√ 2 4d(P,π)=924 
 C d(P,π)=5√ 12 2d(P,π)=5122 
 D d(P,π)=√ 7 6d(P,π)=76 
 E d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
Você acertou! 
Comentário: 
 
A medida da distância entre PP e ππ é dadapor: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√ 22+22+(−2)2 d(P,π)=|2+0−2+3|√ 4+4+4 d(P,π)=3√ 12 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d
Racionalizando o denominador: 
 
d(P,π)=3√ 12 .√ 12 √ 12 d(P,π)=3√ 12 √ 144 d(P,π)=3√ 12 12d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se: 
 
d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
(Livro-base p.119). 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o texto a seguir: 
 
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a 
relação de elementos geométricos com os algébricos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os 
pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3): 
Nota: 10.0 
 A √ 2 2 
 B √ 3 3 
 C √ 5 5 
Você acertou! 
Comentário: 
 
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por: 
 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=√ (3−1)2+(2−2)2+(3−4)2 d(A,B)=√ (2)2+(0)2+(−1)
 
(Livro-base, p. 116). 
 D √ 7 7 
 E √ 8 8 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas: A reta é 
coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O 
produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal 
informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for 
diferente de zero a reta intercepta o plano. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine 
o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados: 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano 
α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0. 
Nota: 10.0 
 A 11 
 B 00 
 C −3−3 
 D 22 
 E 33 
Você acertou! 
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de
 
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
 
(livro-base, p. 121) 
 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
 
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível 
determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas 
funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-
se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor 
⃗rr→, determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a 
reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr 
é: 
Nota: 10.0 
 A ⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2) 
 B ⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0) 
 C ⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2) 
 D ⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0) 
 E ⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2) 
Você acertou! 
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1. 
 
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos: 
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4) 
 
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos: 
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2) 
 
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→. 
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2) 
 
(livro-base, p. 88 a 99) 
Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:" 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto 
PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0: 
Nota: 10.0 
 A 9√ 21 921 
Você acertou! 
Comentário: 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√ 22+(−1)2+(−4)2 d(P,π)=|4−1+12−6|√ 4+1+16 d
(Livro-base p.119). 
 B 2√ 26 226 
 C 27√ 21 2721 
 D 135√ 23 13523 
 E 35√ 16 3516 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
 
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível 
determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas 
funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-
se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor 
⃗rr→, determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a 
reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr 
é: 
Nota: 0.0 
 A ⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2) 
 B ⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0) 
 C ⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2) 
 D ⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0) 
 E ⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2) 
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1. 
 
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos: 
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4) 
 
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos: 
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2) 
 
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→. 
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2) 
 
(livro-base, p. 88 a 99) 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto: 
 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é 
dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, 
sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0. 
Nota: 0.0 
 A d(P,π)=2√ 13 5d(P,π)=2135 
 B d(P,π)=9√ 2 4d(P,π)=924 
 C d(P,π)=5√ 12 2d(P,π)=5122 
 D d(P,π)=√ 7 6d(P,π)=76 
 E d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
Comentário: 
 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√ 22+22+(−2)2 d(P,π)=|2+0−2+3|√ 4+4+4 d(P,π)=3√ 12 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0
Racionalizando o denominador: 
 
d(P,π)=3√ 12 .√ 12 √ 12 d(P,π)=3√ 12 √ 144 d(P,π)=3√ 12 12d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se: 
 
d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
(Livro-base p.119). 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o texto a seguir: 
 
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a 
relação de elementos geométricos com os algébricos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os 
pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3): 
Nota: 0.0 
 A √ 2 2 
 B √ 3 3 
 C √ 5 5 
Comentário: 
 
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por: 
 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=√ (3−1)2+(2−2)2+(3−4)2 d(A,B)=√ (2)2+(0)2+(−1)
 
(Livro-base, p. 116). 
 D √ 7 7 
 E √ 8 8 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A distância entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2Após esta 
avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L.F.D. Geometria Analítica. Curitiba: Editora Intersaberes, 2016. p. 116. 
 
Calcule a distância entre os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, 0) e assinale a resposta 
correta: 
Nota: 0.0 
 A √ 18 18 
 B √ 13 13 
 C √ 8 8 
 D √ 6 6 
 E √ 3 3 
 
Comentário: 
 
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0) 
 
 
(Livro-base, p. 116) 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a 
fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| em 
que ⃗rr→ é o vetor diretor dareta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114. 
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano 
π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ: 
 
Nota: 0.0 
 A θ=arcsin1√ 154 θ=arcsin 1154 
 B θ=arcsin8√ 151 θ=arcsin 8151 
 C θ=arcsin8√ 154 θ=arcsin 8154 
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal
ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| 
Cálculos auxiliares: 
⃗n=√ 32+(−1)2+12 =√ 9+1+1 =√ 11 n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11 
⃗r=√ 22+(−1)2+(−1)2 =√ 4+9+1 =√ 14 r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14 
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8 
 
Aplicando estes valores na fórmula 
 
θ=arcsin8√ 11 ⋅√ 14 =arcsin8√ 154 θ=arcsin 811⋅14=arcsin 8154 
 
(livro-base página 154). 
 
 D θ=30∘θ=30∘ 
 E θ=arcsin2√ 77 θ=arcsin 277 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita 
em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto 
e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos. 
 
Fonte: Livro base pag. 116 
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, 
determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se reta 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o 
plano é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 . 
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a 
fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2
+c2. 
Nota: 0.0 
 A d=5u.a.d=5u.a. 
 B d=2√ 22 11u.a.d=22211u.a. 
 C d=2√ 11 22ud=21122u.a. 
 D d=2√ 11 11u.a.d=21111u.a. 
 E d=5√ 22 22u.a.d=52222u.a. 
Comentário: 
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é
é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3). 
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua distância à reta com a fórm
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r. 
Calculando a distância 
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√ 22+32+32 =5√ 22 =5√ 22 22d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=522=52222
 
(livro-base, p. 119) 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
 
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por 
uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é 
conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do 
plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a 
sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ 
(fazendo C-A); 2º Montar o vetor −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano 
(fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero 
(calcular o determinante com os três vetores). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, 
assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos 
A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4): 
Nota: 0.0 
 A 4x−8y−z=04x−8y−z=0 
 B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produt
 
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,
 O produto misto é dado por: 
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04
 
(livro-base, p. 92) 
 C x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0 
 D 4x−8y=04x−8y=0 
 E x−y−z−1=0x−y−z−1=0 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas 
equações, uma delas é a simétrica, ou seja, 
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo 
P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e 
⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações 
escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor 
e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a 
reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao 
vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é: 
Nota: 0.0 
 A ⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ. 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ 
 D r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ 
 E r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, 
é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria 
Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto 
P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é: 
 
Dica: A equação simétrica tem a forma: 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, 
sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c). 
 
Nota: 0.0 
 A r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor
 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ 
 
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos 
 
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ 
 D r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ 
 E r:x2=y4=z5=λ 
Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas: A reta é 
coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O 
produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal 
informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for 
diferente de zero a reta intercepta o plano. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine 
o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados: 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano 
α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0. 
Nota: 0.0 
 A 11 
 B 00 
 C −3−3 
 D 22 
 E 33 
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de
 
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
 
(livro-base, p. 121) 
 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
 
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por 
uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é 
conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do 
plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a 
sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ 
(fazendo C-A); 2º Montar o vetor −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano 
(fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero 
(calcular o determinante com os três vetores). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, 
assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos 
A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4): 
Nota: 10.0 
 A 4x−8y−z=04x−8y−z=0 
 B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Você acertou! 
Comentário:Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produto misto dos vetores é igual a zero. Os vetores são:
 
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por: 
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04
 
(livro-base, p. 92) 
 C x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0 
 D 4x−8y=04x−8y=0 
 E x−y−z−1=0x−y−z−1=0 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto: 
 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é 
dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, 
sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0. 
Nota: 0.0 
 A d(P,π)=2√ 13 5d(P,π)=2135 
 B d(P,π)=9√ 2 4d(P,π)=924 
 C d(P,π)=5√ 12 2d(P,π)=5122 
 D d(P,π)=√ 7 6d(P,π)=76 
 E d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
Comentário: 
 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√ 22+22+(−2)2 d(P,π)=|2+0−2+3|√ 4+4+4 d(P,π)=3√ 12 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0
Racionalizando o denominador: 
 
d(P,π)=3√ 12 .√ 12 √ 12 d(P,π)=3√ 12 √ 144 d(P,π)=3√ 12 12d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se: 
 
d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
(Livro-base p.119). 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, 
é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria 
Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto 
P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é: 
 
Dica: A equação simétrica tem a forma: 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, 
sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c). 
 
Nota: 10.0 
 A r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Você acertou! 
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor
 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ 
 
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos 
 
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ 
 D r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ 
 E r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:" 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto 
PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0: 
Nota: 0.0 
 A 9√ 21 921 
Comentário: 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√ 22+(−1)2+(−4)2 d(P,π)=|4−1+12−6|√ 4+1+16 d
(Livro-base p.119). 
 B 2√ 26 226 
 C 27√ 21 2721 
 D 135√ 23 13523 
 E 35√ 16 3516 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a 
fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| em 
que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114. 
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano 
π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ: 
 
Nota: 0.0 
 A θ=arcsin1√ 154 θ=arcsin 1154 
 B θ=arcsin8√ 151 θ=arcsin 8151 
 C θ=arcsin8√ 154 θ=arcsin 8154 
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal
ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| 
Cálculos auxiliares: 
⃗n=√ 32+(−1)2+12 =√ 9+1+1 =√ 11 n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11 
⃗r=√ 22+(−1)2+(−1)2 =√ 4+9+1 =√ 14 r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14 
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8 
 
Aplicando estes valores na fórmula 
 
θ=arcsin8√ 11 ⋅√ 14 =arcsin8√ 154 θ=arcsin 811⋅14=arcsin 8154 
 
(livro-base página 154). 
 
 D θ=30∘θ=30∘ 
 E θ=arcsin2√ 77 θ=arcsin 277 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
 
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível 
determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas 
funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-
se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor 
⃗rr→, determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a 
reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr 
é: 
Nota: 0.0 
 A ⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2) 
 B ⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0) 
 C ⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2) 
 D ⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0) 
 E ⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2) 
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1. 
 
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos: 
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4) 
 
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos: 
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2) 
 
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→. 
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2) 
 
(livro-base, p. 88 a 99) 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o texto a seguir: 
 
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a 
relação de elementos geométricos com os algébricos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os 
pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3): 
Nota: 0.0 
 A √ 2 2 
 B √ 3 3 
 C √ 5 5 
Comentário: 
 
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por: 
 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=√ (3−1)2+(2−2)2+(3−4)2 d(A,B)=√ (2)2+(0)2+(−1)
 
(Livro-base, p. 116). 
 D √ 7 7 
 E √ 8 8 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas 
equações, uma delas é a simétrica, ou seja, 
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo 
P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e 
⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações 
escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor 
e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a 
reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao 
vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é: 
Nota: 10.0 
 A ⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Você acertou! 
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ. 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ 
 D r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ 
 E r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita 
em termos de vetores, métodos para encontrara distância entre pontos, de ponto 
e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos. 
 
Fonte: Livro base pag. 116 
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, 
determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se reta 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o 
plano é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 . 
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a 
fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2
+c2. 
Nota: 0.0 
 A d=5u.a.d=5u.a. 
 B d=2√ 22 11u.a.d=22211u.a. 
 C d=2√ 11 22ud=21122u.a. 
 D d=2√ 11 11u.a.d=21111u.a. 
 E d=5√ 22 22u.a.d=52222u.a. 
Comentário: 
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é
é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3). 
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua di
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r. 
Calculando a distância 
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√ 22+32+32 =5√ 22 =5√ 22 22d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=5
 
(livro-base, p. 119) 
Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A distância entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2Após esta 
avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L.F.D. Geometria Analítica. Curitiba: Editora Intersaberes, 2016. p. 116. 
 
Calcule a distância entre os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, 0) e assinale a resposta 
correta: 
Nota: 0.0 
 A √ 18 18 
 B √ 13 13 
 C √ 8 8 
 D √ 6 6 
 E √ 3 3 
 
Comentário: 
 
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0) 
 
 
(Livro-base, p. 116) 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita 
em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto 
e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos. 
 
Fonte: Livro base pag. 116 
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, 
determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se reta 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o 
plano é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 . 
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a 
fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2
+c2. 
Nota: 0.0 
 A d=5u.a.d=5u.a. 
 B d=2√ 22 11u.a.d=22211u.a. 
 C d=2√ 11 22ud=21122u.a. 
 D d=2√ 11 11u.a.d=21111u.a. 
 E d=5√ 22 22u.a.d=52222u.a. 
Comentário: 
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é
é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3). 
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua dis
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r. 
Calculando a distância 
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√ 22+32+32 =5√ 22 =5√ 22 22d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=522=
 
(livro-base, p. 119) 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas: A reta é 
coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O 
produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal 
informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for 
diferente de zero a reta intercepta o plano. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine 
o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados: 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano 
α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0. 
Nota: 0.0 
 A 11 
 B 00 
 C −3−3 
 D 22 
 E 33 
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de
 
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
 
(livro-base, p. 121) 
 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:" 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto 
PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0: 
Nota: 0.0 
 A 9√ 21 921 
Comentário: 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√ 22+(−1)2+(−4)2 d(P,π)=|4−1+12−6|√ 4+1+16 d
(Livro-base p.119). 
 B 2√ 26 226 
 C 27√ 21 2721 
 D 135√ 23 13523 
 E 35√ 16 3516 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas 
equações, uma delas é a simétrica, ou seja, 
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo 
P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e 
⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações 
escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor 
e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a 
reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao 
vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é: 
Nota: 0.0 
 A ⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ. 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ 
 D r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ 
 E r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, 
é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria 
Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto 
P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é: 
 
Dica: A equação simétrica tem a forma: 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, 
sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c). 
 
Nota: 0.0 
 A r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor
 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ 
 
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos 
 
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ 
 D r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ 
 E r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
 
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por 
uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é 
conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do 
plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a 
sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ 
(fazendo C-A); 2º Montar o vetor −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano 
(fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetorese igualar a zero 
(calcular o determinante com os três vetores). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, 
assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos 
A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4): 
Nota: 0.0 
 A 4x−8y−z=04x−8y−z=0 
 B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produto misto dos vetores é igual a zero. Os vetores
 
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por: 
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04
 
(livro-base, p. 92) 
 C x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0 
 D 4x−8y=04x−8y=0 
 E x−y−z−1=0x−y−z−1=0 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto: 
 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é 
dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, 
sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0. 
Nota: 0.0 
 A d(P,π)=2√ 13 5d(P,π)=2135 
 B d(P,π)=9√ 2 4d(P,π)=924 
 C d(P,π)=5√ 12 2d(P,π)=5122 
 D d(P,π)=√ 7 6d(P,π)=76 
 E d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
Comentário: 
 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√ 22+22+(−2)2 d(P,π)=|2+0−2+3|√ 4+4+4 d(P,π)=3√ 12 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0
Racionalizando o denominador: 
 
d(P,π)=3√ 12 .√ 12 √ 12 d(P,π)=3√ 12 √ 144 d(P,π)=3√ 12 12d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se: 
 
d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
(Livro-base p.119). 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível 
determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas 
funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-
se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor 
⃗rr→, determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a 
reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr 
é: 
Nota: 0.0 
 A ⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2) 
 B ⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0) 
 C ⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2) 
 D ⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0) 
 E ⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2) 
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1. 
 
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos: 
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4) 
 
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos: 
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2) 
 
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→. 
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2) 
 
(livro-base, p. 88 a 99) 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a 
fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| em 
que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114. 
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano 
π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ: 
 
Nota: 10.0 
 A θ=arcsin1√ 154 θ=arcsin 1154 
 B θ=arcsin8√ 151 θ=arcsin 8151 
 C θ=arcsin8√ 154 θ=arcsin 8154 
Você acertou! 
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal
ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| 
Cálculos auxiliares: 
⃗n=√ 32+(−1)2+12 =√ 9+1+1 =√ 11 n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11 
⃗r=√ 22+(−1)2+(−1)2 =√ 4+9+1 =√ 14 r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14 
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8 
 
Aplicando estes valores na fórmula 
 
θ=arcsin8√ 11 ⋅√ 14 =arcsin8√ 154 θ=arcsin 811⋅14=arcsin 8154 
 
(livro-base página 154). 
 
 D θ=30∘θ=30∘ 
 E θ=arcsin2√ 77 
Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a 
fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| em 
que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114. 
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano 
π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ: 
 
Nota: 0.0 
 A θ=arcsin1√ 154 θ=arcsin 1154 
 B θ=arcsin8√ 151 θ=arcsin 8151 
 C θ=arcsin8√ 154 θ=arcsin 8154 
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal
ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin |n→⋅r→|||n→||⋅||r→|| 
Cálculos auxiliares: 
⃗n=√ 32+(−1)2+12 =√ 9+1+1 =√ 11 n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11 
⃗r=√ 22+(−1)2+(−1)2 =√ 4+9+1 =√ 14 r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14 
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8 
 
Aplicando estes valores na fórmula 
 
θ=arcsin8√ 11 ⋅√ 14 =arcsin8√ 154 θ=arcsin 811⋅14=arcsin 8154 
 
(livro-base página 154). 
 
 D θ=30∘θ=30∘ 
 E θ=arcsin2√ 77 θ=arcsin 277 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita 
em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto 
e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos. 
 
Fonte: Livro base pag. 116 
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, 
determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se reta 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o 
plano é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 . 
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a 
fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2
+c2. 
Nota: 0.0 
 A d=5u.a.d=5u.a. 
 B d=2√ 22 11u.a.d=22211u.a. 
 C d=2√ 11 22ud=21122u.a. 
 D d=2√ 11 11u.a.d=21111u.a. 
 E d=5√ 22 22u.a.d=52222u.a. 
Comentário: 
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é
é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3). 
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua di
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r. 
Calculando a distância 
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√ 22+32+32 =5√ 22 =5√ 22 22d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=5
 
(livro-base, p. 119) 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
 
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por 
uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é 
conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do 
plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a 
sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ 
(fazendo C-A); 2º Montar o vetor −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano 
(fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero 
(calcular o determinante com os três vetores). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, 
assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos 
A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4): 
Nota: 0.0 
 A 4x−8y−z=04x−8y−z=0 
 B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Comentário:Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o
 
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por: 
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04
 
(livro-base, p. 92) 
 C x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0 
 D 4x−8y=04x−8y=0 
 E x−y−z−1=0x−y−z−1=0 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o texto a seguir: 
 
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a 
relação de elementos geométricos com os algébricos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os 
pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3): 
Nota: 0.0 
 A √ 2 2 
 B √ 3 3 
 C √ 5 5 
Comentário: 
 
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por: 
 
d(A,B)=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 d(A,B)=√ (3−1)2+(2−2)2+(3−4)2 d(A,B)=√ (2)2+(0)2+(−1)
 
(Livro-base, p. 116). 
 D √ 7 7 
 E √ 8 8 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:" 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto 
PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0: 
Nota: 0.0 
 A 9√ 21 921 
Comentário: 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√ 22+(−1)2+(−4)2 d(P,π)=|4−1+12−6|√ 4+1+16 d
(Livro-base p.119). 
 B 2√ 26 226 
 C 27√ 21 2721 
 D 135√ 23 13523 
 E 35√ 16 3516 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, 
é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria 
Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto 
P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é: 
 
Dica: A equação simétrica tem a forma: 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, 
sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c). 
 
Nota: 0.0 
 A r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor
 
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ 
 
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos 
 
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ 
 D r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ 
 E r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
 
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível 
determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas 
funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-
se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor 
⃗rr→, determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a 
reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr 
é: 
Nota: 0.0 
 A ⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2) 
 B ⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0) 
 C ⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2) 
 D ⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0) 
 E ⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2) 
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1. 
 
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos: 
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4) 
 
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos: 
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2) 
 
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→. 
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2) 
 
(livro-base, p. 88 a 99) 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho de texto: 
 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é 
dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√ a2+b2+c2 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119. 
 
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, 
sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0. 
Nota: 0.0 
 A d(P,π)=2√ 13 5d(P,π)=2135 
 B d(P,π)=9√ 2 4d(P,π)=924 
 C d(P,π)=5√ 12 2d(P,π)=5122 
 D d(P,π)=√ 7 6d(P,π)=76 
 E d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
Comentário: 
 
A medida da distância entre PP e ππ é dada por: 
 
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√ 22+22+(−2)2 d(P,π)=|2+0−2+3|√ 4+4+4 d(P,π)=3√ 12 d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0
Racionalizando o denominador: 
 
d(P,π)=3√ 12 .√ 12 √ 12 d(P,π)=3√ 12 √ 144 d(P,π)=3√ 12 12d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se: 
 
d(P,π)=√ 12 4d(P,π)=124 
(Livro-base p.119). 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas: A reta é 
coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O 
produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal 
informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for 
diferente de zero a reta intercepta o plano. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine 
o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados: 
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano 
α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0. 
Nota: 0.0 
 A 11 
 B 00 
 C −3−3 
 D 22 
 E 33 
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de
 
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2k
 
(livro-base, p. 121) 
 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas 
equações, uma delas é a simétrica, ou seja, 
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo 
P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e 
⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações 
escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor 
e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a 
reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao 
vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é: 
Nota: 0.0 
 A ⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ 
 B r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ 
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ. 
 
(livro-base, p. 89) 
 C r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ 
 D r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ 
 E r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y